第05讲 全称量词与存在量词-【暑假预科讲义含答案】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

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模块一
全称量词与存在量词
1．全称量词与全称量词命题
2.存在量词与存在量词命题
【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义.
常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义.
【题型1 全称量词命题与存在量词命题的理解】
【例1】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．∃x∈R，x2>2B．存在一个菱形的四条边不相等
C．偶数的平方是偶数D．有一个数不能做除数
【变式1.1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数B．∀x∈R，x+1≥1
C．对任意一个无理数x，x2也是无理数D．有一个偶数是素数
【变式1.2】（24-25高一上·全国·随堂练习）下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．任何一个实数乘以0都等于0B．任意一个负数都比零小
C．每一个正方形都是矩形D．一定存在没有最大值的二次函数
【变式1.3】（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中：①任意一个正方形都是中心对称图形；②所有三角形都有外接圆；③存在x,y∈R，使得3x+y=5；④任意一个菱形都是平行四边形．
其中全称量词命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假判断】
【例2】（24-25高一上·广东东莞·期中）下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（ ）
A．梯形是四边形B．∀x∈R，x3+1≠0
C．∃x∈R，x+1≥1D．存在一个实数x，使x2+2x−3=0
【变式2.1】（24-25高一上·湖北·期中）下列含有量词的命题中为真命题的是（ ）
A．任意实数的平方都大于0
B．∃m∈N，m2+1∈N
C．存在整数x,y，使得2x+4y=3
D．∀a∈R，一元二次方程x2−ax+1=0有实根
【变式2.2】（24-25高一上·陕西西安·期中）下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（ ）
A．∀x∈R,x2−3x+5>0
B．任意两个无理数之和仍是无理数
C．∃x∈R,x2−3x+2>0
D．至少存在两个质数的平方是偶数
【变式2.3】（24-25高一上·云南德宏·期中）已知命题p:∃x∈R,x>x2，命题q:∀x∈R,−x20，x+2x≤1B．∃x>0，x+2x0D．∃x≤0，x2−2x+a>0
【变式5.1】（24-25高一上·海南儋州·期中）命题“∃x∈−2,5，x2−4x−50
C．∀x∈−2,5，x2−4x−5≥0D．∃x∉−2,5，x2−4x−5≥0
【变式5.2】（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）命题“∀x∈R,∃n∈N∗，使得n≥x2”的否定形式是（ ）
A．∀x∈R,∃n∈N∗，使得n3，x≤m成立，若¬p为真命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．m>3B．m0
C．∃x0≤0，2x0+x0−a>0D．∀x≥0，2x+x−a>0
3．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知p:∃x∈R，2x2−3x+2=0，则（ ）
A．p是假命题，¬p:∀x∈R，2x2−3x+2=0
B．p是假命题，¬p:∀x∈R，2x2−3x+2≠0
C．p是真命题，¬p:∀x∈R，2x2−3x+2≠0
D．p是真命题，¬p:∃x∈R，2x2−3x+2≠0
4．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题p:∀x∈R,x2+x+a≠0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤14B．a0D．∃x∈N,2x2−3x+1=0
10．（24-25高一上·云南昭通·期中）下列命题中是真命题的有（ ）
A．∀x∈R,x2>x−1
B．∃x>0,x2=x
C．“x0”的充分不必要条件
D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件
11．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的有 （ ）
A．“∃x∈R，使得x2−x+1≤0”的否定是“∀x∈R，都有x2−x+1>0”
B．命题“∀x∈R,x≥x”是真命题
C．若命题∃x∈R,x2+4x+m=0为假命题，则实数m的取值范围是4,+∞
D．若命题∀x∈R,x2−2x+m>0为真命题，则实数m的取值范围是1,+∞
三、填空题
12．（24-25高一上·云南德宏·期末）命题“∃x∈Z,x∈Z”的否定是 .
13．（24-25高一上·上海闵行·期末）命题“若x>1，则x>a”是真命题，则实数a的取值范围为 .
14．（24-25高一上·河南·期末）若命题“∃x∈−1,2，使得2x2+mx−m−10≥0”是假命题，则m的取值范围是 ．
四、解答题
15．（24-25高一上·全国·课后作业）写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)∀a∈R，方程x2+ax+2=0有实数根；
(3)∀a，b∈R，方程ax=b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0．
16．（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知命题p:∀x≥2,mx−1≤12,q:∃x∈R,x2−m+1x+1=0.
(1)若命题p为真命题，求m的取值范围；
(2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围.
17．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合A=xa≤x≤a+3，集合B=xx5，全集U=R.
(1)若a=4，求A∩B，A∪B；
(2)若命题“∀x∈A，都有x∈B”是真命题，求实数a的取值范围.
18．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）设全集U=R，集合A=x1≤x≤5，集合B=x−1−2a≤x≤a−2．
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)若命题“∀x∈B，则x∈A”是假命题，求实数a的取值范围．
19．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知命题p:∀x≥2,mx−1≤12，q:∃x∈R，x2−m+1x+1=0．
(1)若命题p为真命题，求m的取值范围；
(2)若命题p为假命题和命题q为真命题．求m的取值范围．
全称量词
所有的、任意一个、 一切、每一个、任给
符号
∀
全称量词命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
∃
存在量词命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”