第05讲 全称量词与存在量词—【暑假导航】2025年新高一数学暑假优学讲练（人教A版 必修第一册）

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模块二：考点讲解举一反三
考点1：全称、特称量词命题的识别
考点2：判断全称、特称量词命题的真假
考点3：命题的否定
考点4：求含有量词的参数
模块四：过关检测
题型分组练
巩固提高综合练
模块一 新知归纳
【知识点1】全称量词与全称量词命题
1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示．
【注意】
（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；
（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”．
2．全称量词命题
（1）定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．
（2）符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为．
【注意】
（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；
（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；
（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来．
如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行” ．
3．判断全称量词命题真假
若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；
若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可．
【知识点2】存在量词与存在量词命题
1．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示．
【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等．
2．存在量词命题
（1）定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题．
（2）符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为
【注意】
（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；
（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；
（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题．
3．判断存在量词命题真假
只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个命题为真，否则为假．
【知识点3】全称量词命题与存在量词命题的否定
1．命题的否定：
（1）定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否定．命题p的否定可用“”来表示，读作“非p”或p的否定．
（2）命题的否定与原命题的真假关系：p的否定与p“一真一假”
（3）常见正面词语的否定：
2．全称量词命题与存在量词命题的否定
模块二 考点讲解举一反三
考点1：全称、特称量词命题的识别
【例1】下列命题为全称量词命题的是（ ）
A．圆内接三角形中有等腰三角形B．存在一个实数与它的相反数的和不为0
C．矩形都有外接圆D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行
【答案】C
【详解】A，B，D是存在量词命题，C是全称量词命题．
【例2】下列命题中，是存在量词命题的是（ ）
A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形
C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的定义即可得出答案．
【详解】D含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题， ABC含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题.
故选：D
【变式1】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）下列命题中的存在量词命题是（ ）
A．所有能被3整除的整数都是奇数B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上
C．有的三角形是等边三角形D．任意两个等边三角形都相似
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的定义求解即可.
【详解】对于A，含有量词所有，为全称量词命题，故A错误；
对于B，含有量词每一个，为全称量词命题，故B错误；
对于C，含有量词有的，为存在量词命题，故C正确；
对于D，含有量词任意，为全称量词命题，故D错误.
故选：C.
【变式2】下列命题中全称量词命题的个数是（ ）
①任意一个自然数都是正整数；
②有的平行四边形也是菱形；
③n边形的内角和是．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】①③是全称量词命题．
【变式3】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示．
（1）整数的平方大于或等于零；
（2）存在实数，满足；
（3）实数的绝对值是非负数；
（4）存在实数，使函数的值随的增大而增大．
【答案】（1）全称量词命题，符号表示为
（2）存在量词命题，符号表示为
（3）全称量词命题，符号表示为
（4）存在量词命题，符号表示为,的值随的增大而增大．
【分析】（1）（2）（3）（4）根据全称命题、特称命题的定义及形式求解．
【详解】（1）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为；
（2）这是存在量词命题，符号表示为；
（3）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为；
（4）这是存在量词命题，符号表示为，的值随的增大而增大．

考点2：判断全称、特称量词命题的真假
【例3】判断下列命题的真假．
（1）是偶数；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）真命题
（2）真命题
（3）假命题
（4）假命题
【分析】根据全称命题及特称命题的定义分别判断各个小题即可.
【详解】（1），均为偶数，是真命题．
（2）0中，方程有两个不相等的实根，是真命题．
（3）中，无解，是假命题．
（4）时，是假命题．
【变式1】）已知命题：命题.则（ ）
A．命题是真命题，命题是真命题 B．命题是假命题，命题是假命题
C．命题是真命题，命题是假命题 D．命嶡是假命题，命题是真命题
【答案】C
【分析】根据全称命题与特称命题的定判断两命题的真假即可.
【详解】因为，所以命题是真命题，
因为，所以不存在，所以命题是假命题，
故选：C.
【变式2】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）下列命题中为真命题的是（ ）
A．B．是整数
C．D．
【答案】B
【分析】依次对每个选项中的命题进行真假判断，通过举例或推理来确定.
【详解】对于A 选项，对于命题，因为对于任意实数，，所以，恒大于，A选项错误.
对于B 选项，对于任意的整数，一定是整数，也一定是整数，所以是整数，B选项正确.
对于C 选项，对于命题，当时，，不满足，C选项错误.
对于D 选项，对于命题，例如，则，D选项错误.
故选：B.
【变式3】（24-25高一上·北京西城·期末）已知命题：，；命题：，，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是假命题
C．是真命题，是假命题D．是假命题，是真命题
【答案】C
【分析】根据条件，直接判断出命题和的真假，即可求解.
【详解】由，得到，解得或，所以命题为真命题，
又当时，，所以命题是假命题，故选项A，B和D错误，选项C正确，
故选：C.

考点3：命题的否定
【例4】（23-24高二下·内蒙古鄂尔多斯·期末）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定定义即可求解.
【详解】命题“，”中含有全称量词，
故该命题的否定需要将全称量词改为存在量词，且只否定结论，不否定条件，
所以该命题的否定为：“，”.
故选：C.
【例5】命题“对任意，都有”的否定为（ ）
A．对任意，都有B．不存在，使得
C．存在，使得D．存在，使得
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题“对任意，都有”的否定为“存在，使得”.
故选：D
【变式1】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可得到答案.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：
命题“”的否定为“”.
故选：A.
【变式2】（24-25高二下·重庆·期末）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据特称命题的否定,存在改为任意，将结论否定即可得出答案.
【详解】命题“，”的否定为，.
故选:D
【变式3】（23-24高一上·甘肃白银·期中）写出下列命题的否定，并判断真假.
（1）正方形都是菱形；
（2）；
（3）；
（4）所有能被2整除的数都是偶数.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析
【分析】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定，结合常识及特例判断即可.
【详解】（1）否定为：正方形不都是菱形.
正方形都是菱形，故为假命题；
（2）否定为：.
当时，，故为假命题；
（3）否定为：.
当时，，故为真命题.
（4）否定为：存在能被2整除的数不是偶数.
能被2整除的数都是偶数，故为假命题.

考点4：求含有量词的参数
【例6】已知集合，．
（1）若命题，是真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题，是真命题，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】解：（1）由于，是真命题，所以，所以，解得，故m的取值范围是．
（2）由题意，所以，即，解得．当时，或，解得．所以当时，．故m的取值范围是．
【例7】设全集，集合，，其中．
（1）若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围；
（2）若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据条件可知，列不等式，即可求解；
（2）首先求当时的取值范围，再求其补集.
【详解】（1），
“”是“”的必要而不充分条件，

，解得，
即实数的取值范围为；
（2）若命题“，使得”是假命题，则，
，或，
①当时，，解得，
②当时，则，无解，
即命题为假命题时，实数的取值范围为，
命题为真命题时，实数的取值范围为．
【变式1】（24-25高一上·河南·期末）若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据原命题的否定是真命题，令，由求解参数范围即可.
【详解】由题意知，原命题的否定“，”是真命题，
令，
所以，
解得，即m的取值范围是.
故答案为：.
【变式2】已知集合，且.
（1）若命题是真命题，求m的取值范围；
（2）若命题是真命题，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件可得，再由集合间的包含关系求解即可；
（2）由条件得到，再由集合间的包含关系求解即可；
【详解】（1）由于命题是真命题，
所以，所以，
解得，
（2）q为真，则，因为，所以.
所以，
解得.
【变式3】（23-24高一上·云南楚雄·期中）已知p：；q：．
（1）若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围；
（2）若是q的必要不充分条件，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）化简得到p：，q：，根据p是q的充分不必要条件，由p⫋q求解；
（2）先得到：或．根据是q的必要不充分条件，由q⫋求解；.
【详解】（1）解：由题意可得p：，q：．
因为p是q的充分不必要条件，所以，等号不同时成立，
解得．
（2）因为p：，
所以：或．
因为是q的必要不充分条件，
所以或，
解得或．
模块三 知识检测
考点1：全称、特称量词命题的识别
1．（2024高二下·黑龙江·学业考试）下列命题为全称量词命题的是（ ）
A．存在实数，使得 B．有的有理数的立方是无理数
C．有一个实数的绝对值是负数 D．任意三角形的内角和都是
【答案】D
【分析】根据全称，特称命题的概念依次判断选项即可.
【详解】对选项A，为存在量词命题，
对选项B，为存在量词命题，
对选项C，为存在量词命题，
对选项D，为全称量词命题.
故选：
2．下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360°
C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得
【答案】B
【分析】由存在量词和全称量词的性质逐项判断即可；
【详解】选项A，C，D中的命题均为存在量词命题；选项B中的命题是全称量词命题.
故选：B.
3．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数B．，
C．对任意一个无理数x，也是无理数D．有一个偶数是素数
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的概念即可判断.
【详解】对于A中含有“所有的”，该命题是全称量词命题；
对于B中含有“”，该命题是全称量词命题；
对于C中含有“任意一个”，该命题是全称量词命题；
对于D中含有“有一个”，该命题是存在量词命题；
故选：D.
4．（多选）（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）下列命题中，是全称量词命题的是（ ）
A．至少有一个x，使成立B．对任意的x，都有成立
C．对任意的x，都有不成立D．存在x，使成立
【答案】BC
【分析】根据全称量词和存在量词命题的定义判断即可.
【详解】A选项中有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题，故A错误；
BC选项中有全称量词“任意的”，是全称量词命题，故BC正确；
D选项中有存在量词“存在”，是存在量词命题，故D错误.
故选：BC.
5．用量词符号“”“”表示下列命题：
(1)有理数都能写成分数形式；
(2)方程有实数解；
(3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0．
【答案】(1)一个有理数都能写成分数形式
(2)，使方程成立
(3)，它乘以任意一个实数都等于0
【分析】（1）根据全称量词命题书写形式进行书写；
（2）（3）根据存在量词命题书写形式进行书写.
【详解】（1）这是全称量词命题，一个有理数都能写成分数形式．
（2）这是存在量词命题，，使方程成立．
（3）这是存在量词命题，，它乘以任意一个实数都等于0．
考点2：判断全称、特称量词命题的真假
6．（多选）（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．为奇数
【答案】AC
【分析】对A，由绝对值的意义可判断；对B，计算判别式，判断对应方程根的情况得解；对C，由题可得，得解；对D，由，是3个连续的整数，所以是偶数，得解.
【详解】对于A，因为，故A正确；
对于B，因为方程的判别式，方程无实数解，故B错误；
对于C，任意，则，所以，故C正确；
对于D，因为，当时，是3个连续的整数，
至少有一个是偶数，所以是偶数，故D错误.
故选：AC.
7．（多选）（24-25高一上·云南昭通·期中）下列命题中是真命题的有（ ）
A． B．
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件
【答案】ABC
【分析】对A配方即可判断；对B，求解方程即可判断；对C，解出一元二次不等式即可判断；对D，根据菱形和正方形关系即可判断.
【详解】对于A项，因为，所以，此命题为真命题，A正确；
对于B项，由，解得或1，所以命题“”为真命题，B正确；
对于C项，由，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件，C正确；
对于D项，由“四边形为菱形”不能推出“四边形为正方形”，充分性不成立，
但由“四边形为正方形”可以推出“四边形为菱形”，必要性成立，D错误，
故选：ABC.
8．（多选）（24-25高一上·江苏无锡·期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】判断每个选项的命题的真假即可.
【详解】对于A，因为，所以，或，所以，故A错误；
对于B，当时，，故B正确；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，，则，满足条件，故D正确；
故选：BD
9．（多选）（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列四个命题是假命题的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】BCD
【分析】根据全称量词命题和存在量词命题，解方程或不等式即可判断选项中命题的真假.
【详解】对于A，因为，，可得，即A真命题；
对于B，易知当时，不是整数，即不存在，，所以B为假命题；
对于C，易知当时，，因此C为假命题；
对于D，解不等式可得，显然内不存在整数，即不存在，，可得D为假命题.
故选：BCD
10．下列命题中是假命题的个数为 ．
（1）每一个末位是0的整数都是5的倍数；
（2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
（3）有些实数是无限不循环小数；
（4）存在一个三角形不是等腰三角形．
【答案】0
【分析】（1）根据能被5整除的整数的判定方法即可判断出正误；（2）根据线段垂直平分线定理加以判断，可得答案；（3）根据实数的分类即可判断出正误；（4）举例即可判断正误．
【详解】（1）若一个整数的末位是0，则它可以被5整除，
故“每一个末位是0的整数都是5的倍数．”是真命题；
（2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，
根据线段的垂直平分线定理，可知它是真命题；
（3）实数包含无理数，而无理数就是无限不循环小数，
故“有些实数是无限不循环小数”是真命题；
（4）有的三角形不是等腰三角形，比如三个角分别为的直角三角形，
故“存在一个三角形不是等腰三角形”是真命题．
故假命题的个数为0.
故答案为：0
考点3：命题的否定
11．（2025·湖南长沙·模拟预测）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由命题的否定求解即可.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：B.
12．（24-25高一上·全国·周测）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定规则，即可求解.
【详解】全称量词命题的否定一是量词改为存在量词，二是改成命题的否定，
所以命题的否定是“，”.
故选：B
13．（24-25高二下·江苏苏州·期末）命题的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题.
【详解】由全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题的否定是.
故选：A.
14．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由特称命题的否定定义可判断.
【详解】由特称命题的否定可知，命题“”的否定是.
故选：D
15．（24-25高二下·河北·期中）“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】由命题的否定的定义即可得解.
【详解】“，”的否定是“，”．
故选：C.
16．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）已知命题，则是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可解.
【详解】因为命题，
所以：，
故选：B.
17．（24-25高二下·江西赣州·期末）命题“存在，”的否定是（ ）
A．不存在，B．存在，
C．任意的，D．任意的，
【答案】D
【分析】根据含量词的命题的否定，否定量词和结论即可.
【详解】由题意有“存在，”的否定：“任意的，” .
故选：D.
考点4：求含有量词的参数
18．若命题“，使”是假命题，则实数的一个可能取值为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】由题意得有解，再根据一元二次方程根的判别式即可得解.
【详解】因为命题“，使”是假命题，
所以命题“，使”是真命题，
即方程有解，
所以，得，
故实数的一个可能取值为（满足即可）．
故答案为：（答案不唯一）.
19．命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据得到答案.
【详解】，，为真命题，故，
解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：
20．若命题“，使得”是真命题，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】原命题转化为“方程有实数解”，再由可求实数的取值范围.
【详解】若命题“，使得”是真命题，也就是“方程有实数解”，
∴.
故答案为：
21．（24-25高一上·河北·期中）已知，.
(1)若是真命题，求实数的取值集合；
(2)在（1）的条件下，集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，求解即可；
（2）由已知可得，可得，求解即可.
【详解】（1）若是真命题，则，解得，
所以；
（2）因为“”是“”的充分条件，所以，
因为，所以，
解得，所以实数的取值范围为.
1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
【答案】B
【分析】判断出、的真假，即可得出结论.
【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题，
对于命题，由可得或，则命题为真命题，
因此，和都是真命题.
故选：B.
2．（24-25高三上·陕西渭南·期中）已知命题，，命题，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
【答案】A
【分析】分别判断命题、的真假，即可得答案.
【详解】解：因为命题，，所以为真命题；
命题当时，，故为真命题.
故选：A.
3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，命题，；命题，．
(1)若p是真命题，求a的最大值；
(2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）命题p为真得出不等式恒成立利用二次函数求给定区间上的最值即可求出a的最大值.
（2）先求出命题q为真时a的取值范围，q为假时a的取值范围，然后利用集合的运算求a的取值范围.
【详解】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以，
即a的最大值为.
（2）若q是真命题，，解得或，
若q是假命题，，解得，
由已知p、q一真一假，
若p真q假，则，
若q真p假，则，
综上： 或
4．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合，，且.
(1)若命题，是真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题，是假命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由命题为真命题可得，且，再根据子集列不等式求解范围即可；
（2）由，是假命题，则，是真命题，即，再列不等式求解即可.
【详解】（1）由命题为真命题可得，且
则，解得.
即实数的取值范围为.
（2），是假命题
，是真命题，即
，解得，
即实数的取值范围为.
5．已知集合，，且．
(1)若是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可；
（2）由求出的取值范围，依题意可得，求出时参数的取范围，即可得解.
【详解】（1）由于是真命题，所以．
而，所以，解得，故的取值范围为．
（2）因为，所以，解得．
由为真命题，得，
当时，或，解得．
因为，所以当时，；
所以当时，．故的取值范围为．
6．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知命题，当命题为假命题时，正实数的取值集合为．
(1)求集合；
(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合二次方程根的存在条件即可求解；
（2）结合必要不充分条件与集合包含关系的转化即可求解．
【详解】（1）命题为真命题，，解得，
又；
（2）是的必要不充分条件，是的真子集，
解得，故实数的取值范围为
命题p
真
假
假
真
正面词语
等于（＝）
大于（＞）
小于（＜）
是
都是
否定
不等式（≠）
不大于（≤）
不小于（≥）
不是
不都是
正面词语
至多有一个
至少有一个
任意
所有
至多有n个
否定
至少有两个
一个都没有
某个
某些
至少有n+1个
命题类型
全称量词命题
存在量词命题
形式
否定形式
结论
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题