初中数学沪教版（五四制）（2024）八年级上册（2024）21.3 一元二次方程的判别式第1课时习题

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1．（2022秋•宝山区校级期中）关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根
C．无实数根D．不能确定
【分析】先计算根的判别式得到Δ＝4m2+1，再根据非负数的性质得到Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：Δ＝（﹣3）2﹣4（2﹣m2）
＝4m2+1，
∵4m2≥0，
∴4m2+1＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
2．（2022秋•浦东新区期中）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝8＞0，进而可得出一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
3．（2022秋•虹口区校级期中）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k＜1C．k＞﹣1且k≠0D．k＜1且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
4．（2022秋•黄浦区校级期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）
A．B．（x﹣2）2＝5
C．x2+2x＝0D．
【分析】先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义进行判断．
【解答】解：A．x2﹣x+＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×＝0，
∴方程有两个相等的实数根；
B．x2﹣4x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×（﹣1）＝20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
C．x2+2x＝0，
∵Δ＝22﹣4×1×0＝4，
∴方程有两个不相等的实数根；
D．2x2﹣x+1＝0，
∵Δ＝（﹣）2﹣4×2×1＝﹣6＜0，
∴方程没有实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
5．（2022秋•越秀区校级月考）关于x的一元二次方程x2+k＝0有实数根，则（ ）
A．k＜0B．k＞0C．k≥0D．k≤0
【分析】由一元二次方程有实数根得出Δ＝02﹣4×1×k≥0，解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+k＝0有实数根，
∴Δ＝02﹣4×1×k≥0，
解得：k≤0；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况、根的判别式；熟练掌握根的判别式，由一元二次方程根的情况得出不等式是解决问题的关键．
6．（2022秋•普陀区期中）一元二次方程x2﹣6x＝﹣9的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【分析】先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到Δ＝0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：方程化为一般式为x2﹣6x+9＝0，
∵Δ＝（﹣6）2﹣4×9＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（2022秋•宝山区校级期中）关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣2B．k＞﹣2且k≠0C．k≥﹣2且k≠0D．k≤﹣2
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，
解得k≥﹣2且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．（2022秋•黄浦区期中）下列方程中，无实数根的方程为（ ）
A．2x2+6x＝3B．3x2+4x+6＝0C．x2﹣2x＝0D．3x2﹣4x﹣6＝0
【分析】先分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断四个方程的根的情况即可．
【解答】解：A．方程化为一般式为2x2+6x﹣3＝0，Δ＝62﹣4×2×（﹣3）＝60＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B．Δ＝42﹣4×3×6＝﹣56＜0，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；
C．Δ＝（﹣2）2﹣4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；
D．Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣6）＝88＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9．（2022秋•宝山区期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx﹣ab＝0，其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式得Δ＝b2+4a2b，根据根据a，b在数轴上的对应点，可得a＜0，b＞0，即可确定判别式得符号，进一步确定根的情况．
【解答】解：在一元二次方程ax2+bx﹣ab＝0中，
Δ＝b2+4a2b，
根据a，b在数轴上的对应点，可得a＜0，b＞0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．
10．（2022秋•闵行区期中）已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程ax2+2（b﹣c）x+a＝0的实数根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【分析】Δ＝[2（b﹣c）]2﹣4a2＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a），根据三角形的三边关系可知Δ＜0，可知一元二次方程根的情况．
【解答】解：Δ＝[2（b﹣c）]2﹣4a2＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a），
∵a、b、c是三角形三边的长，
∴b﹣c+a＞0，b﹣c﹣a＜0，
∴Δ＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a）＜0，
∴原方程没有实数根，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．
11．（2022秋•普陀区校级期中）如果关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．且k≠0B．C．且k≠0D．
【分析】需要分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程进行解答．
【解答】解：①当k＝0时，2k+1≠0，该方程是一元一次方程，有实数根；
②当k≠0时，Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4k2≥0，
整理的：4k+1≥0，
解得：k≥﹣．
故k的取值范围是k≥﹣且k≠0．
综合①②k的取值范围是k≥﹣．
故选：B．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与根的判别式Δ的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
12．（2022秋•浦东新区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．方程x2﹣a2＝0没有实数根
B．方程x2﹣4x﹣4＝0有两个相等的实数根
C．在方程ax2+bx+c＝0中，如果b2﹣4ac＞0．那么这个方程有两个不相等的实数根
D．无论a取何值，方程x2+4ax﹣1＝0总有两个不相等的实数根
【分析】利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
【解答】解：A、方程x2﹣a2＝0的Δ＝4a2≥0，则该方程有实数根，不符合题意；
B、方程x2﹣4x﹣4＝0的Δ＝16+16＝32＞0，则该方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、在方程ax2+bx+c＝0中，若a＝0时，那么这个方程没有有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、方程x2+4ax﹣1＝0的Δ＝16a2+4＞0，则该方程总有两个不相等的实数根，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
13．（2022秋•杨浦区期中）下列关于x的方程中，无实数根的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝0
B．2x2﹣4x+1＝0
C．ax2+b＝0（a≠0、b≠0，且a、b同号）
D．x2﹣（a+2）x+a＝0
【分析】先求出Δ的值，再比较出其与0的大小即可求解．
【解答】解：A、Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，该方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、Δ＝（﹣4）2﹣4×2×1＝8＞0，该方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、Δ＝﹣4ab＜0，该方程没有实数根，符合题意；
D、Δ＝[﹣（a+2）]2﹣4a＝a2+4＞0，该方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与Δ的关系是解答此题的关键．
14．（2022秋•黄浦区校级月考）关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1B．m≤﹣1C．m＞﹣1D．m＞1
【分析】根据根的判别式求出Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＞0，再求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＞0，
解得：m＞﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），①当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，③当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
15．（2021秋•静安区校级期末）下列关于x的方程说法正确的是（ ）
A．x2＝﹣x没有实数根
B．x2+1＝0有实数根
C．4x2﹣2x+1＝0有两个相等的实数根
D．x2﹣mx﹣2＝0（其中m是实数）一定有实数根
【分析】A．将原方程变形为一般式，由根的判别式Δ＝1＞0，可得出方程x2＝﹣x有两个不相等的实数根，选项A不符合题意；
B．根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝﹣4＜0，进而可得出方程x2+1＝0没有实数根，选项B不符合题意；
C．根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝﹣12＜0，进而可得出方程4x2﹣2x+1＝0没有实数根，选项C不符合题意；
D．根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝m2+8＞0，进而可得出方程x2﹣mx﹣2＝0有两个不相等实数根，选项D符合题意．
【解答】解：A．原方程变形为一般式为x2+x＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×0＝1＞0，
∴方程x2＝﹣x有两个不相等的实数根，选项A不符合题意；
B．∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴x2+1＝0有实数根，选项B不符合题意；
C．∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×4×1＝﹣12＜0，
∴方程4x2﹣2x+1＝0没有实数根，选项C不符合题意；
D．∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）＝m2+8＞0，
∴方程x2﹣mx﹣2＝0（其中m是实数）有两个不相等的实数根，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
16．（2022秋•宝山区校级期中）下列一元二次方程没有实数解的是（ ）
A．x2﹣2x＝0B．（x﹣1）（x﹣3）＝0
C．x2﹣2＝0D．x2+x+1＝0
【分析】分别计算四个方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac，然后根据△的意义分别判断方程根的情况．
【解答】解：A、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以，A选项不符合题意；
B、由原方程得到：x2﹣4x+3＝0，则Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；
C、Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；
D、Δ＝12﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程有没有的实数根，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
二．填空题（共18小题）
17．（2022秋•奉贤区校级期中）关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
【分析】m＝0时是一元一次方程，一定有实根；
m≠0时，方程有两个实数根，则根的判别式△≥0，建立关于m的不等式，求得m的取值范围．
【解答】解：当m≠0时：
∵a＝m，b＝﹣2，c＝3且方程有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣12m≥0
∴m≤．
当m＝0时，
方程为一元一次方程，仍有解，
故m的取值范围是m≤．
【点评】方程有两个不相等的实数根，则一元二次方程的根的判别式△≥0．由于没有说是一定是一元二次方程，所以不用考虑二次项系数为0的情况，若二次项系数为0，方程就变成了一元一次方程，这样的方程还是有解的．
18．（2023春•虹口区期末）已知关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 m≤且m≠0 ．
【分析】由于关于x的一元二次方程有实数根，计算根的判别式，得关于m的不等式，求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，
则Δ＝1﹣4m≥0，且m≠0．
解得m≤且m≠0．
故答案为：m≤且m≠0．
【点评】本题考查了根的判别式、一次不等式的解法及一元二次方程的定义．题目难度不大，解题过程中容易忽略m≠0条件而出错．
19．（2022秋•虹口区校级期中）关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，k的取值范围是 ﹣1≤k＜2且k≠ ．
【分析】由二次项系数非零、被开方数非负及根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程 （1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：﹣1≤k＜2且k≠．
故答案为：﹣1≤k＜2且k≠．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
20．（2022秋•黄浦区校级期末）如果关于x的一元二次方程kx2+3x+4＝0有实数根，那么k的取值范围是 k≤且k≠0 ．
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝32﹣4×k•4≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝32﹣4×k•4≥0，
解得k≤且k≠0．
故答案为：k≤且k≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
21．（2022秋•普陀区校级期中）若关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，则代数式的值是 ﹣2 ．
【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝0，即可得出b2＝﹣4c，将其代入中，即可求出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4×1×（﹣c）＝0，
∴b2＝﹣4c，
又∵c≠0，
∴＝＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
22．（2022秋•闵行区校级期中）若等腰三角形的一边长是2，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个根，则m的值为 9 ．
【分析】讨论：当底边长为2时，则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根，利用判别式的意义得到∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解方程得到m的值；当腰长为2，则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根，求出m＝8，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，然后根据三角形三边的关系可判断这种情况不符合题意．
【解答】解：当底边长为2时，则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根，
∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9；
当腰长为2，则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根，
∴4﹣12+m＝0，解得m＝8，
方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，
∵2+2＝4，
∴2、2、4不符合三角形三边的关系，舍去，
综上所述，m的值为9．
故答案为9．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．
23．（2022秋•静安区校级期中）如果关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ﹣≤k＜ ．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣）2﹣4k＞0，且2k+1≥0，然后解不等式即可求得k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣）2﹣4k＞0，且2k+1≥0，
解得﹣≤k＜．
故答案为：﹣≤k＜．
【点评】本题考查了根的判别式，熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解决问题的关键．
24．（2022秋•长宁区校级期中）已知关于x的方程（m+1）x2+2x＝1，方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 m＞﹣2且m≠﹣1 ．
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：将原方程转化为一般形式得（m+1）x2+2x﹣1＝0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＞﹣2且m≠﹣1，
∴m的取值范围是m＞﹣2且m≠﹣1．
故答案为：m＞﹣2且m≠﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
25．（2022秋•青浦区期中）若关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0没有实数解，则k的取值范围是 ．
【分析】若关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0，没有实数根，则Δ＝b2﹣4ac＜0，列出关于k的不等式，求得k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0，没有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＜0，
即（﹣3）2﹣4×2×k＜0，
解这个不等式得：k．
故答案为：k．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0方程没有实数根．
26．（2022秋•浦东新区校级月考）已知关于x的一元二次方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 k＜1且k≠﹣1 ．
【分析】根据方程有两个实数根可以得到根的判别式大于等于0，由此求出k的范围即可；
【解答】解：∵方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，且k2﹣1≠0，
解得：k＜1；
故答案为：k＜1且k≠﹣1．
【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
27．（2022秋•浦东新区期中）已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是 ﹣1 ．
【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4m×1＞0且m≠0，
解得：m＜1且m≠0．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
28．（2022秋•宝山区期中）等腰三角形的一边长为4，另两边的长是关于x的方程x2﹣5x+k＝0的两根，那么k的值是 4或 ．
【分析】分3为腰长及4为底边长两种情况考虑，当4为腰长时，将x＝4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出方程的根，再利用三角形的三边关系验证后可得出k＝4符合题意；当4为底边长时，由根的判别式Δ＝0可求出k值，将k值代入原方程可求出方程的根，再利用三角形的三边关系验证后可得出k＝符合题意．
【解答】解：当4为腰长时，将x＝4代入原方程得42﹣5×4+k＝0，
解得：k＝4，
∴原方程为x2﹣5x+4＝0，即（x﹣1）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝1，x2＝4，
∴等腰三角形的三条边长分别为1，4，4，
∵1+4＝5＞4，
∴1，4，4能组成三角形，
∴k＝4符合题意；
当4为底边长时，关于x的方程x2﹣5x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝，
∴原方程为x2﹣5x+＝0，即（x﹣）2＝0，
解得：x1＝x2＝，
∴等腰三角形的三条边长分别为，，3，
∵+＝5＞4，
∴，，4能组成三角形，
∴k＝符合题意．
∴k的值为4或．
故答案为：4或．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分3为腰长及3为底边长两种情况，求出k值是解题的关键．
29．（2022秋•徐汇区校级期中）如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，那么m的取值范围是 m＜﹣ ．
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，得出Δ＝9﹣4×（﹣2m）＜0，从而求出m的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，
∴Δ＝9﹣4×（﹣2m）＜0，
∴m＜﹣，
故答案为：m＜﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式，关键是掌握Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
30．（2022秋•嘉定区期中）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x＝1有两个实数根，k的取值范围是 k≥0且k≠1 ．
【分析】根据方程有两个实数根，得出Δ≥0且k﹣1≠0，求出k的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：由题意知，k≠1，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）×（﹣1）＝4k≥0，
解得：k≥0，
则k的取值范围是k≥0且k≠1；
故答案为：k≥0且k≠1．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；③Δ＜0⇔方程没有实数根．
31．（2022秋•青浦区期中）等腰三角形的一边长为2，另外两边长是方程x2﹣kx+16＝0的两个根，则此三角形的周长为 10 ．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系三角形的三边关系判断分情况即可得到结果．
【解答】解：当2是等腰三角形的底边时，方程x2﹣kx+16＝0有两个相等时实数根，
Δ＝k2﹣64＝0，
解得：k＝±8，
∴方程为x2±8x+16＝0的两根之和为8或﹣8（舍去），
此时三角形的周长为：2+8＝10；
当2为腰时，方程的一个根为2，将2代入方程，4﹣2k+16＝0，
解得：k＝10，方程为x2﹣kx+16＝0，解得另一个根为8，
此时2+2＜8（不合题意，舍去）．
故答案为：10．
【点评】此题考查了解一元二次方程根与系数的关系以及三角形三边关系，正确记忆相关内容是解题关键．
32．（2022秋•徐汇区校级期末）方程3x2+4x﹣2＝0的根的判别式的值为 40 ．
【分析】根据根的判别式等于b2﹣4ac，代入求值即可．
【解答】解：∵a＝3，b＝4，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16+24＝40．
故答案为：40．
【点评】本题考查了根的判别式，熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式的公式为Δ＝b2﹣4ac．
33．（2022秋•杨浦区期末）关于x的方程x2﹣k（x+1）+x＝0有实数根，则k的取值范围是 一切实数 ．
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（1﹣k）2+4k＝（k+1）2≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：方程x2﹣k（x+1）+x＝0整理得x2+（1﹣k）x﹣k＝0，
∵关于x的方程x2﹣k（x+1）+x＝0有实数根，
∴Δ＝（1﹣k）2+4k＝（k+1）2≥0，
解得k是一切实数．
故答案为：一切实数．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根，
34．（2022秋•虹口区校级期中）已知关于x的方程（m﹣3）x2﹣（m2﹣m+2）x+2m2+2m＝0的根是正整数，则整数m的值为 3或4或5或7或11 ．
【分析】利用因式分解法求出方程的两个根，再根据方程的两个实数根都为正整数，即可求出m的值．
【解答】解：当m﹣3＝0，即m＝3时，方程为8x+24＝0，解得x＝﹣3，不合题意舍去；
当m﹣3≠0，即m≠3时，
（m﹣3）x2﹣（m2﹣m+2）x+2m2+2m＝0
[（m﹣3）x﹣（2m+2）]（x﹣m）＝0，
∴x1＝＝，x2＝m，
∵方程的两个实数根都为正整数，
∴是正整数，
∴m＝4或5或7或11，
故答案为：3或4或5或7或11．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是结合方程的解为正整数，找出关于m的分式方程．
三．解答题（共3小题）
35．（2022秋•杨浦区期末）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．
【分析】由一元二次方程的Δ＝b2﹣4ac＝1，建立m的方程，求出m的解后再化简原方程并求解．
【解答】解：由题意知，m≠0，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣1）＝1，
∴m1＝0（舍去），m2＝2，
∴原方程化为：2x2﹣5x+3＝0，
解得，x1＝1，x2＝．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
36．（2022秋•浦东新区校级期中）已知关于x的一元二次方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根均为整数，求正整数m的值．
【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；
（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．
【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0．
∴Δ＝（m﹣3）2﹣4×m×（﹣3）＝m2+6m+9＝（m+3）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：由求根公式可求得x＝或x＝﹣1，
若方程的两个根均为整数，则m＝1或3．
【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
37．（2022秋•宝山区期末）已知关于x一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有两个实数根，求k的取值范围．
【分析】由二次项系数非零及根的判别式△≥0，可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有两个实数根，
∴，
解得：k≥﹣2且k≠0，
∴k的取值范围为k≥﹣2且k≠0．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
一、单选题
1．（2021秋·上海·八年级期中）若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ ）．
A．a≤B．a≥4C．a≤或 a≥4D．≤a≤4
【答案】C
【分析】把a−ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程，由△≥0，得关于a的不等式，解不等式即可．
【详解】把a−ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程，
因为b是实数，所以关于b的一元二次方程b2−ab+a+2＝0
的判别式△≥0，即a2-4（a+2）≥0，a2-2a-8≥0，
（a-4）（a+2）≥0，
解得a≤-2或a≥4．
故选C．
2．（2021秋·上海·八年级期中）下列方程一定有实数解的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式，二次根式有意义的条件、分式的有意义的条件和立方根的性质逐项判定即可．
【详解】解：A. ,△=，故无实数解；
B. 由得，故无实数即；
C. ，故无实数即；
D. 由得，即x=．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了无理方程的解，掌握一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式的有意义的条件和立方根的性质是解答本题的关键．
二、填空题
3．（2021秋·上海·八年级期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是
【答案】
【分析】设一元二次方程的两个根分别为，根据方程有两个不相等的正实数根可得出，，，由此可得出m的取值范围.
【详解】设一元二次方程的两个根分别为
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根
∴
∴
由①得：
由②得：
故m的取值范围是：
【点睛】本题主要考查根的判别式以及根与系数的关系，还涉及解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识点是解题关键.
4．（2021秋·上海·八年级期中）已知等腰△ABC的两边是关于x的方程x²-3mx+9m=0的两根，第三边的长是4，则m= .
【答案】4或
【分析】等腰三角形ABC中4可能是底边，也可能是腰，应分两种情况进行讨论，①4是底时，关于x的方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，从而求出m,再根据三角形的边不能是零，舍去；②4是腰时，则方程有一个根是4，代入即可求得m的值.
【详解】当4是底边时，则关于x的方程有两个相等的实数根，
∴ ，
解得，或

（舍去）
当4是腰时，则方程有一个根是4，把x=4代入方程得，
解得：
综上所述，m的值为4或
故答案为4或
【点睛】本题考点涉及等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.
5．（2021秋·上海·八年级期中）在等腰△ABC中，已知a=3,b和c是关于x的方程的两个根，则△ABC的周长为
【答案】7或
【分析】等腰三角形ABC中a可能是底边，也可能是腰，应分两种情况进行讨论，①a是底时，即b=c时，根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，从而求出其周长；②a是腰时，则方程有一个根是3，代入即可求得m的值，从而求解.
【详解】a是底边时，则b=c，关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得或（舍去）
当时，方程变形为
此时
所以此时△ABC的周长为3+4=7；
当a是腰时，则方程有一个根是3，把x=3代入方程得，
解得：
方程变形为：，则，解得：
所以此时△ABC的周长为；
综上所述，△ABC的周长为7或
故答案为7或
【点睛】本题考点涉及等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.
三、解答题
6．（2021秋·上海·八年级期中）已知关于x的方程(m+1)x2+2mx+(m-3)=0，当m取何值时，
(1)方程有两个不相等的实数根.
(2)方程有一个根为零，求另一个根.
【答案】(1)m>-且m≠-1；(2)x2=-.
【分析】（1）根据题意可知，，即可求得m的取值范围；
（2）设方程的两个根为，利用根与系数的关系即可求m的值，进而求出方程的另一个根.
【详解】（1）由题意得：
解得：
∵m+1≠0
∴m≠﹣1
∴且m≠﹣1
（2）设方程的两个根为
∵
∴
∴原方程为
∵
∴
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.
7．（2023·上海·八年级假期作业）已知关于x的方程没有实数根，试判断关于x的方程的根的情况.
【答案】有两个不相等的实数根.
【分析】根据关于x的方程没有实数根，求出a的求值范围；再表示关于x的方程，，即可判断该方程根的情况.
【详解】解：∵方程没有实数根
∴
∴
解得：
关于x的方程，
∵
∴
∴关于x的方程有两个不相等的实数根.
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题关键.
8．（2022秋·上海·八年级专题练习）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a＝4，b和c是关于x的方程x2﹣mx+3m＝0的两根，求m的值．
【答案】12
【分析】分类讨论：当a为底，b，c为腰时，当a为腰时，则b＝4或c＝4两种情况进行求解．
【详解】解：等腰△ABC中，当a为底，b，c为腰时，b＝c，若b和c是关于x的方程x2﹣mx+3m＝0的两个实数根，
则△＝（﹣m）2﹣12m＝0，
解得：m＝0（舍去）或m＝12；
当a为腰时，则b＝4或c＝4，若b和c是关于x的方程x2﹣mx+3m＝0的两个实数根，
则42﹣4m+3m＝0，
解得：m＝16；
此时x＝4或12，三角形三边为4，4，12，
∵4+4＜12
∴不满足三角形三边关系，应舍去，
故m的值为12．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，以及一元二次方程根的情况考查，关键在于掌握分类，以及解一元二次方程．