第十六章 整式乘法 单元测试【解析+原卷】

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第十六章 整式的乘法 单元测试一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（本题3分）马虎同学在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是(　　)A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据幂的乘方，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法进行计算即可求解．【详解】解：A. 故该选项不正确，不符合题意；B. ，故该选项不正确，不符合题意；C. ，故该选项不正确，不符合题意；D. ，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了幂的乘方，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．2．（本题3分）计算的结果是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查整式的乘法．先利用完全平方公式将原式展开，然后再根据单项式乘多项式的运算法则进行运算即可．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键．【详解】解：．故选：D．3．（本题3分）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（　　）①；②；③；④．A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】本题主要考查了列代数式，根据最大长方形的面积的不同表示方式列出对应的代数式即可．【详解】解：最大长方形的长为，宽为，则最大长方形的面积可以表示为，故①正确；最大长方形面积可以表示为长为，宽为b的长方形面积加上2个长为，宽为a的长方形面积，则最大长方形的面积可以表示为，故②正确；最大长方形面积可以表示为长为，宽为m的长方形面积加上长为，宽为n的长方形面积，则最大长方形的面积可以表示为，故③正确；最大长方形面积可以表示为长为，宽为m的长方形面积加上长为，宽为n的长方形面积再加上2个长为a，宽为m的长方形面积再加上2个长a，宽为n的长方形面积，则最大长方形的面积可以表示为，故④正确；故选D．4．（本题3分）计算的值为（   ）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】本题考查了积的乘方的逆运算,依据“乘方的积等于积的乘方”进行化简计算即可．【详解】解：，故选：C．5．（本题3分）如图，将两张边长分别为和（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边的长度分别为．设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．当时，的值为（    ）    A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题中已知线段长度，结合图形，数形结合表示出阴影部分面积，按要求求差即可得到答案．【详解】解：两个正方形的边长分别为和（），且长方形中边的长度分别为，在图1中，；在图2中，；，，，故选：A．【点睛】本题考查求阴影部分面积关系，数形结合，准确表示出阴影部分面积是解决问题的关键．6．（本题3分）已知，其中（），则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】用作差法比较即可．【详解】解：∵，∴， ，∵，∴，∴．故选A．【点睛】本题考查了整式的加减，整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，然后再合并同类项．7．（本题3分）观察：，，，，据此规律，求的个位数字是（  ）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】根据题目规律解答即可．【详解】根据题意可得规律：，∴，∵的个位数字是；的个位数字是；的个位数字是；的个位数字是；的个位数字是；的个位数字是；而∴的个位数字是；故选：C．【点睛】本题主要考查了平方差公式，根据材料找出规律是解答本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）8．（本题3分）已知，B是多项式，在计算时，某同学把看成了，结果得，则 ．【答案】【分析】本题考查整式的混合运算，根据结果为，利用整式的混合运算法则算出，再算出，即可解题．【详解】解：根据题意列出，则．故答案为：．9．（本题3分）若不论x为何值，，则 ．【答案】【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开，求出a的值以及a与k的关系，然后可得答案．【详解】解：∵，，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．10．（本题3分）已知，则 ， ．【答案】 2 0【分析】已知，两边分别平方可求得，再进行求解即可得出答案．【详解】解：∵，两边平方得：，即：，∴对其两边进行平方得：：，即：，，∵，∵，∴，故．故答案为：2，0．【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，难度适中，关键是熟练灵活运用完全平方公式进行解题．11．（本题3分）若 的展开式中不含和项，则的值为 ．【答案】17【分析】利用多项式乘以多项式计算法则展开，然后再合并同类项，进而可得、的值．不含二次项、三次项，说明二次项的系数与三次项的系数都为零，由此即可求出答案．【详解】原式 ，∵展开式中不含和项，∴ ， ，∴ ， ，故答案为：．【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即合并同类项．最后根据不含哪项，则该项的系数为零，是解题的关键．12．（本题3分）对于任何实数，我们都规定符号的意义是，按照这个规定请你计算：当时，的值为 ．【答案】3【分析】根据规定符号的意义可得3x（x-2）-（x+1）（x-1），然后先去括号，再合并同类项，最后把x2-3x=1代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：原式=3x（x-2）-（x+1）（x-1）=3x2-6x-x2+1=2x2-6x+1，当x2-3x=1时，原式=2（x2-3x）+1=2×1+1=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，理解规定符号的意义是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共52分）13．（本题8分）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂以及积的乘方，乘法公式．（1）利用负整数指数幂，零指数幂以及积的乘方、幂的乘方运算法则计算即可求解；（2）利用乘法公式简便计算即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．14．（本题10分）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．  (1)小李同学拼成一个宽为，长为的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式： （答案直接填写到横线上）；(2)如果用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张；(3)利用上述方法，画出面积为的长方形，并求出此长方形的周长（用含a，b的代数式表示）．【答案】(1)(2)A纸片需要2张，B纸片需要3张，C纸片需要7张(3)【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是：（1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图2的面积即可；（2）用代数式表示纸片，纸片，纸片的面积，再根据总面积得出数量即可；（3）根据拼成的长方形的面积是可得，需要纸片需要2张，纸片需要2张，纸片需要5张，画出相应的图形，并根据长方形的周长公式计算其周长即可．【详解】（1）解：图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，图2是6个部分的 面积和，即，因此，故答案为：；（2），纸片的面积为，纸片的面积为，纸片的面积为，纸片需要2张，纸片需要3张，纸片需要7张；（3）由于，因此可以拼成长为，宽为的长方形，如图所示：  这个长方形的周长为：，答：此长方形的周长为．15．（本题12分）阅读下列材料，回答问题：材料一：我们定义一种新运算：我们把形如这样的式子叫作“行列式”，行列式的运算方式是：．例如：；；．材料二：在探究的时候，我们不妨利用多项式和多项式的乘法将其打开：，我们把这个公式叫作“差的完全立方公式”．按同样的方法我得出“和的完全立方公式”为：．这两个公式常运用在因式分解和简便运算等过程中．(1)计算：______；______．(2)已知，，求的值．(3)已知，，，求的值．【答案】(1)13，(2)18(3)【分析】（1）根据材料一直接计算，再根据材料二中公式变形即可；（2）将变形为，代入计算即可；（3）根据已知得到，再将所求式子利用新定义和公式变形，得到，再整体代入计算即可．【详解】（1）解：由题意可得：；；（2）∵，，∴；（3）∵，，，∴，，∴．【点睛】本题考查了完全平方公式，代数式求值，新定义运算，解题的关键是读懂材料所提供的新运算法则，灵活运用给出的差的完全立方公式与和的完全立方公式进行变形．16．（本题12分）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．例如：分解因式：；又例如：求代数式的最小值：∵，又∵；∴当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：(1)分解因式：_______．(2)已知实数，满足，求的值；(3)当______、______时，多项式的最大值______．【答案】(1)(2)16(3)，，9【分析】（1）根据阅读材料，先将配方后，再利用平方差公式分解即可；（2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质求出a，b的值，代入计算即可；（3）把所给的多项式配方后根据非负数的性质进行解答．【详解】（1）解：；（2）∵，∴，∴，∴，∴，解得：，∴；（3），；，当，时，即，时，取得最大值为9．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，平方差公式，非负数的性质，解题时要注意配方的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．