十六章 整式乘法 微专题01 幂的运算通关专练(原卷版+解析版）-人教版初中数学8上

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微专题01 幂的运算通关专练 一、单选题1．下列计算正确的是（　　）A．a2•a3=a6B．（a2）4=a6C．（2a2b）3=8a6b3D．4a3b6÷2ab2=2a2b3【答案】C【详解】解：A．a2a3=a5，故原题计算错误；B．（a2）4=a8，故原题计算错误；C．（2a2b）3=8a6b3，故原题计算正确；D．4a3b6÷2ab2=2a2b4，故原题计算错误．故选C．2．计算−m2n36÷−m2n32的结果为（    ）.A．m8n12B．m6n9C．−m8n12D．−m6n9【答案】A【分析】先计算积的乘方进行运算后，再利用同底数幂的除法法则运算即可【详解】解：−m2n36÷−m2n32=（m12n18）÷（m4n6）=m8m12故选A【点睛】本题考查了积的乘方、同底数幂的除法，记住并运用法则是解决本题的关键．3．下列运算中，正确的是（    ）A．2x3•3x3=6x6B．3x2+2x3=6x5C．（x2）3=x5D．（-ab）3=a3b【答案】A【分析】直接利用幂的乘方与积的乘方法则以及合并同类项、同底数幂的乘法运算法则进而得出答案．【详解】A．2x3•3x3=6x6，正确；B．3x2+2x3，不是同类项，不能合并，故此选项错误；C．（x2）3＝x6，故此选项错误；D．（－ab）3＝－a3b3，故此选项错误．故选A．【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方以及合并同类项、同底数幂的乘法运算等知识，正确掌握运算法则是解题的关键．4．ma=2，mb=3，mc=4，则ma+b−c的值为．（　　　）A．1B．1.5C．2D．2.5【答案】B【分析】根据幂的运算的逆运算，把所求变成同底数幂相乘和除法即可．【详解】解：ma+b−c=ma×mb÷mc，=2×3÷4=1.5故选：B．【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练运用幂的运算的逆运算，把所求式子变形．5．下列四个算式：①-a3-a22=−a7；②−a32=−a6；③-a33÷a4=−a2；④-a6÷-a3=−a3中，正确的有（　　）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方逐项分析判断即可求解．【详解】解：①-a3-a22=−a3⋅a4=−a7，故①正确；②−a32=a6，故②错误；③-a33÷a4=-a9÷a4=-a5，故③错误；④-a6÷-a3=−a6÷a3=−a3，故④正确；所以正确的共有2个．故选C．【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，熟练掌握运算性质是解题的关键.6．已知3m=4，32m−4n=2．若9n=x，则x的值为（    ）A．8B．4C．22D．2【答案】C【分析】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由32m−4n=3m÷9n2即可解答．【详解】∵32m−4n=32m−2n=3m−2n2=3m÷9n2，依题意得：4x2=2，x>0．∴4x=2，∴x=22，故选：C．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形．7．下列计算正确的是（     ）A．a2⋅a3=a6B．a24=a6C．2a2b3=8a6b3D．4a3b6÷2ab2=2a2b3【答案】C【详解】解：A．结果是a5，故本选项错误；B．结果是a8，故本选项错误；C．结果是8a6b3，故本选项正确；D．结果是2a2b4，故本选项错误．故选C．8．若n为正整数，则计算−a2n+−an2的结果是（    ）A．0B．2anC．−2a2nD．0或2a2n【答案】D【分析】分n为奇数和偶数两种情况，根据幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则计算即可．【详解】若n为奇数，原式=−a2n+a2n=0；若n为偶数，原式=a2n+a2n=2a2n．故选D．【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则和分类讨论思想的运算．9．下列计算正确的是（　　）A．a3+a3＝2a6B．（﹣a2）3＝a6C．a6÷a2＝a3D．a5•a3＝a8【答案】D【分析】根据合并同类项的法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法法则分别进行计算即可．【详解】A．a3+a3=2a3，故原题计算错误；B．（﹣a2）3=﹣a6，故原题计算错误；C．a6÷a2=a4，故原题计算错误；D．a5•a3=a8，故原题计算正确．故选D．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、积的乘方，关键是掌握各计算法则．10．下列运算正确的是（    ）A．−a32=a6B．a8÷a2=a4C．a3+a3=a6D．a⋅a5=a5【答案】A【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可．【详解】A、(−a3)2=a6，此项符合题意；B、a8÷a2=a6，此项不符合题意；C、a3+a3=2a3， 此项不符合题意；D、a·a5=a6，此项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．11．下列运算正确的是（    ）A．a−2b2·a2b−2−3=a8b8B．−a3m÷am=−1ma2mC．−3x2n−6xn=−3xnx2+2D．a2+1a−1−a+1=2aa−1【答案】B【分析】此题考查了幂的运算法则、因式分解、分式的加减等知识，根据运算法则进行计算后即可得到答案．【详解】解：A．a−2b2·a2b−2−3=a−2b2·a−6b6=b8a8，故选项错误，不符合题意；B．−a3m÷am=−13ma3m÷am=−13ma2m=−1ma2m，故选项正确，符合题意；C．−3x2n−6xn=−3xnxn+2，故选项错误，不符合题意；D．a2+1a−1−a+1=a2+1a−1−a−1a+1a−1=2a−1，故选项错误，不符合题意．故选：B．12．探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”,满足某种条件的所有数，通过一种计算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．比如：任意找一个3的倍数，先把这个数每个数位都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和……，重复运算下去，就能得到一个固定的数T= ，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是（ ）A．363B．153C．159D．456【答案】B【分析】找一个3的倍数，按照数字“黑洞”定义进行多次运算，即可求解，本题考查了新定义问题，幂的运算，解题的关键是：正确分析理解新定义，依照规则进行计算．【详解】解：把6代入计算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；开始重复，则T=153，故选：B．13．下列运算正确的是（　　）A．x3+x3=x6B．3x3y2÷xy2=3x4C．x3•（2x）2=4x5D．（﹣3a2）2=6a2【答案】C【详解】试题分析：A、原式＝2x3，故此选项错误；B、原式＝3x，故此选项错误；C、原式＝x3·4x2＝4x5，故此选项正确；D、原式＝9a4，故此选项错误．故选：C．14．计算(23)2017×1.52016 ×(－1)2018所得的结果是（　　）A．－23B．2C．23D．－2【答案】C【详解】解：(23)2017×1.52016×(−1)2018=(23)2016×1.52016×23=(23×1.5)2016×23=23．故选C．15．定义：如果2m=n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m=Dn．例如：因为21=2，所以D2=1；因为24=16，所以D16=4，D数有如下运算性质： Ds·t=Ds+Dt，Dqp=Dq−Dp，其中q>p．下列说法错误的是（    ）A．D8=3B．若D3=2，D5=a+b,D15=2a+2bC．若Da=1，则Da3=3D．若D3=2a−b，D5=a+b，则D53=−a+2b【答案】B【分析】本题主要考查了幂的运算性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．利用新定义的规定对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【详解】解：∵23=8，∴D(8)=3．∴A选项的结论正确，不符合题意；∵若Da =1，∴a=21=2，∴a3=23，∴D(a3)=3，∴C选项的结论正确，不符合题意；∵D(15)=D(3×5)=D3 +D5 =2+a+b，∴B选项的结论不正确，符合题意；∵D3 =2a−b，D5 =a+b，则D(53)=D5 −D3 =(a+b)−(2a−b)=−a+2b，∴D选项的结论正确，不符合题意．故选：B二、填空题16．若3a=8，9b=2，则3a−2b= .【答案】4【分析】根据幂的运算即可解答出．【详解】根据幂的运算3a−2b=3a÷32b=3a÷32b=3a÷9b=8÷2=4    故本题答案为4．【点睛】本题考查了幂的运算，熟练的掌握幂的运算法则对题干进行适当变形是解决本题关键．17．已知10m=2，10n=3，则103m+2n−2= .【答案】1825【分析】先根据幂的乘方的法则分别求出103m和102n的值，然后根据同底数幂的除法法则求解．【详解】∵10m=2,10n=3，,103m=8，102n=9，则103m+2n-2=103m×102n÷102=8×9÷100=1825，所以答案为1825.【点睛】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握同底数幂的的运算.18．观察等式：2+22=23−2；2+22+23=24−2；2+22+23+24=25−2；….已知按一定规律排列的一组数：230，231，232，…，260….若230=m，用含m的式子表示这组数的和是 ．【答案】2m2−m【分析】由题意可得230＋231＋232＋…＋259＋260＝230（1＋2＋22＋…＋229＋230）＝230（1＋231−2）＝230（230×2−1），再将230＝m代入即可求解．【详解】∵2+22=23−2，2+22+23=24−2，2+22+23+24=25−2∴2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1−2∵230=m，∴230＋231＋232＋…＋259＋260＝230（1＋2＋22＋…＋229＋230）＝230（1＋231−2）=230（230×2−1）＝m（2m−1）=2m2−m．故答案为：2m2−m．【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1−2．19．已知xm=18，xn=16，则x2m+n的值为 ．【答案】14【分析】根据同底数幂的乘法可得x2m+n=x2m⋅xn，再根据幂的乘方可得x2m=xm2，然后再代入xm=18，xn=16求值即可．【详解】解：x2m+n=x2m⋅xn=xm2⋅xn=182×16=14 ，故答案为14．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．20．52009×22006= ．（结果用科学记数法表示）【答案】1.25×102008【分析】先根据同底数幂的乘法法则将52009变形，再逆用积的乘方变形为(5×2)2006×53，计算后再用科学记数法表示出来即可．【详解】解：原式=(5×2)2006×53=1.25×102008．故答案为：1.25×102008．【点睛】此题主要考查了幂的混合运算以及科学记数法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．21．已知幂的运算有如下转换：an=b⇔logab=n（其中a>0，且a≠1，b>0），例如，32=9⇔log39=2；33=27⇔log327=3，则log22+log222= ．【答案】2【分析】设log22=a,log222=b，根据题意可得：2a=2,2b=22，根据同底数幂的乘法的逆用可得2a+b=2a•2b=4=22，从而求出a＋b的值，然后代入即可．【详解】解：设log22=a,log222=b根据题意可得：2a=2,2b=22∴2a+b=2a•2b=4=22∴a+b=2∴log22+log222=a+b=2故答案为：2．【点睛】此题考查的是幂的逆运算，读懂转化方法和掌握同底数幂的乘法是解决此题的关键．22．已知10a=3,10b=5,则用底数是10的幂的形式表示75= .【答案】10a+2b【详解】解：75=3×25=3×52=10a⋅(10b)2=10a+2b．故答案为10a+2b．23．计算：（2x）3•（﹣x）4÷x2＝ ．【答案】8x5【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则计算得出答案．【详解】解：原式＝8x3•x4÷x2＝8x7÷x2＝8x5．故答案为：8x5．【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．24．已知ax＝3，ay＝9，则a2x+y＝ ．【答案】81．【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则将原式变形即可得出答案．【详解】∵ax=3，ay=9，∴a2x+y=（ax）2•ay=9×9=81．故答案为81．【点睛】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题的关键．25．计算:−an2= 【答案】a2n【分析】根据幂的乘方和积的乘方的计算法则计算即可得解.【详解】解：−an2=a2n故答案为a2n【点睛】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握整数指数幂的运算法则是解题关键.三、解答题26．(1)若xm＝10，xn＝－1，xk＝2，求xm－2k＋3n的值；(2)若3x＝4，3y＝6，求92x－y的值．【答案】(1)－2.5   (2)649【分析】根据am÷an=am-n,( am) n=amn,即可解题.【详解】解: (1) xm－2k＋3n=xm÷x2k·x3n=10÷4×（-1）=－2.5(2) 92x－y=32（2x－y）=34x-2y=34x÷32y=44÷62=649【点睛】本题考查了同底数幂的混合运算,属于简单题,熟悉运算法则,转变成同底数是解题关键.27．已知xn=5,yn=3,求 (1)（x2y)2n(2)x3n÷y4n【答案】（1）5625    （2） 12581【详解】试题分析：根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘，分别把所求算式整理成已知条件的形式，然后代入数据计算即可．试题解析：解：（1）∵xn=5，yn=3，∴（x2y）2n=x4ny2n=（xn）4（yn）2=54×32=5625；（2）∵xn=5，yn=3，∴x3n÷y4n=（xn）3÷（yn）4=53÷34=12581．28．计算或化简：（1）（﹣a2）3·a3+（﹣a）2·a7﹣2（a3）3    （2）2a2b·（﹣3b2c）2÷（﹣6a2b2）【答案】（1）﹣2a9；（2）﹣3b3c2．【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则化简后，再合并同类项即可；（2）根据积的乘方法则以及单项式的乘除法法则计算即可．【详解】解：（1）原式＝﹣a6·a3+a2·a7﹣2a9＝﹣a9+a9﹣2a9＝﹣2a9；（2）原式＝2a2b·9b4c2÷（﹣6a2b2）＝18a2b5c2÷（﹣ 6a2b2）＝﹣3b3c2．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则、积的乘方法则以及单项式的乘除法法则，熟记相关运算法则是解答本题的关键．29．计算：(1)m⋅m7−2m42；(2)3x2x−y−x−2y−3x+y．【答案】(1)−3m8(2)9x2−10xy+2y2【分析】（1）原式利用同底数幂的乘法，以及积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；（2）原式利用单项式乘以多项式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．【详解】（1）m⋅m7−2m42=m8−4m8=−3m8；（2）3x2x−y−x−2y−3x+y=6x2−3xy−−3x2+7xy−2y2=6x2−3xy+3x2−7xy+2y2=9x2−10xy+2y2．【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．30．计算：(1)(a2)3·(a2)4÷(a2)5；(2)(x－y＋9)(x＋y－9)；(3)[(3x＋4y)2－3x(3x＋4y)]÷(－4y)．【答案】(1) a4；(2) x2－y2＋18y－81；(3)－3x－4y；【分析】（1）根据同底数幂的乘除法法则求解即可；（2）利用平方差公式求解即可；（3）先提取公因式，再根据多项式的乘除法法则求解即可.【详解】(1)(a2)3·(a2)4÷(a2)5＝a6·a8÷a10＝a14÷a10＝a4；(2)(x－y＋9)(x＋y－9)＝[x－(y－9)][x＋(y－9)]＝x2－(y－9)2＝x2－y2＋18y－81；(3)[(3x＋4y)2－3x(3x＋4y)]÷(－4y)＝4y(3x＋4y)÷(－4y)＝(12xy＋16y2)÷(－4y)＝－3x－4y.31．已知22m=16，23n=27，2a=12（其中m,n,a为任意实数）（1）m=____，2n=____；（2）先化简再求值：xx+a−xx+n，其中x=2；（3）若6b=12，请判断a+b4 ×ab4是否为同底数幂的乘法运算，试说明理由．【答案】（1）m=2，2n=3；（2）(a−n)x，4；（3）是，理由见解析．【分析】（1）根据幂的乘方运算的逆运算即可求解；（2）先通过条件求出a−n的值，再代入化简结果即可；（3）根据幂的乘方运算法则得出(a−1)(b−1)=1，进一步得出两个底数相等即可．【详解】（1）∵22m=16，∴ 22m=24，即2m=4，解得：m=2；由23n=(2n)3=33，得：2n=3，∴ m=2，2n=3；（2）x(x+a)−x(x+n)=x2+ax−x2−nx=ax−nx=(a−n)x，由2a=12，2n=3，利用同底数幂相除得：2a÷2n=2a−n=12÷3=4，即：2a−n=22，得：a−n=2，将a−n=2，x=2代入化简结果得：原式=2×2=4；（3）由6b=12，得：6b−1=2，由2a=12，得：2a−1=6，∴(6b−1)a−1=6，即：6(a−1)(b−1)=6，得：(a−1)(b−1)=1，整理可得：a+b=ab， ∴(a+b)4×(ab)4的底数相同，即为同底数幂的乘法运算．【点睛】本题考查了整式的混合运算、积的乘方和幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题关键．32．(1)已知(9n) 2=320，求n的值．(2)已知2·8n·16n=236，求n的值．(3)已知8n=5，4m=7，求24m+6n的值．【答案】(1)n=5  (2)n=5  (3)1225【分析】（1）把等号左边的数都能整理成以3为底数的幂相乘，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，然后根据指数相等列式求解即可；（2）把等号左边的数都能整理成以2为底数的幂相乘，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，然后根据指数相等列式求解即可；（3）先根据幂的乘方的法则分别求出24m和46n的值，然后根据同底数幂的乘法法则求解.【详解】解：（1）∵(9n) 2=92n=34n=320，∴4n=20，解得：n=5；（2）∵2·8n·16n=2·23n·24n=27n+1=236，∴7n+1=36，解得：n=5；（3）∵8n=5，4m=7，即23n=5，22m=7，∴(23n)2=26n=25，（22m）2=24m=49，∴24m+6n=24m×26n=49×25=1225.【点睛】本题主要考查了幂的有关运算：幂的乘方法则：底数不变指数相乘；幂的乘法法则：底数不变指数相加．解此题的关键在于熟练掌握其知识点.33．计算：(1)(－x)2·x3÷(－x)3；(2)(2x－3y)·(2x－3y)4·(3y－2x)3÷(3y－2x)2.【答案】(1) －x2;(2) －(3y－2x)6【分析】（1）原式利用积的乘方以及同底数幂的乘法和除法法则进行计算，即可得到结果；（2）对原式变形化为同底数幂的形式，再按同底数幂的乘法除法法则计算即可.【详解】(1)原式＝x2·x3÷(－x3)＝－x2＋3－3＝－x2；(2)原式＝－(3y－2x)·(3y－2x)4·(3y－2x)3÷(3y－2x)2＝－(3y－2x)1＋4＋3－2＝－(3y－2x)6.【点睛】本题考查了幂的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方运算法则．34．化简：(1)(−2a3)2⋅a6÷(−a2)+a10(2)3m+2nm−5n+13mn【答案】(1)−3a10(2)3m2−10n2【分析】（1）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂的乘法和除法，最后合并即可；（2）先根据多项式乘多项式法则计算，在合并同类项即可．【详解】（1）解：(−2a3)2⋅a6÷(−a2)+a10=4a6⋅a6÷(−a2)+a10=4a12÷(−a2)+a10=−4a10+a10=−3a10；（2）解：3m+2nm−5n+13mn=3m2−15mn+2mn−10n2+13mn=3m2−10n2．【点睛】本题考查整式的混合运算，涉及积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，多项式乘多项式．熟练掌握整式的混合运算法则是解题关键．35．已知a3m=3,b3n=2,求a2m3+bn3−a2mbn•a4mb2n的值 ．【答案】-7【详解】试题分析：根据幂的乘方及积的乘方运算法则，将底数变为a3m，b3n的形式，然后代入运算即可．试题解析：原式=a6m+b3n−a6m⋅b3n=(a3m)2+b3n−(a3m)2⋅b3n ，将a3m=3，b3n=2代入，原式=9+2−9×2=−7.