第02讲 正数与负数——【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（苏科版2024）（解析版）-A4

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第一步：主动学
析教材 学知识：教材精讲精析，全方位预习
讲典例 练习题：教材习题学解题，快速掌握解题方法
练考点 强知识：四大核心考点四种常考题型精准练
第二步：用心记
串知识 识框架：学习目标复核内容掌握，思维导图助力掌握知识脉络，理清知识之间的联系
第三步：限时测
过关测 稳提升：过关检测效果好，查漏补缺练考点
知识点1：生活中的正数与负数意义
具有相反意义的量包括三个要素： eq \\ac(○,1)具有同类性； eq \\ac(○,2)具有相反意义； eq \\ac(○,3)具有数量。
生活中引入正数和负数两个概念是为了表示两个相反意义的量：
典型实例：
表示海拔高度：海拔高度超过海平面的用正数表示，海拔高度低于海平面的用负数表示；
表示温度高低：温度高于0摄氏度用正数表示，温度低于0摄氏度用负数表示；
表示盈利亏损：盈利的钱数用正数表示，亏损的钱数用负数表示；
表示事物变化：人口增加用正数表示，人口减少用负数表示。
2.表示两个相反意义的量，哪个用正数表示，哪个用负数表示，是人为规定的，一般表示高的，上涨的，等量用正数表示，相反的用负数表示。
知识点2：正数与负数概念
名师点拨：
（1）正数前面的“+”一般省略不写，特定场合下需要的时候可以写出，但 “-”不能省略.
（2）我们不能说带“+”的数是正数，带“-”的数是负数；
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．
知识点3：整数与分数概念
整数包括正整数、0、负整数；
分数包括正分数、负分数。
名师点拨：
有限小数、无限循环小数也是分数；
形如这样的虽然样子像分数，实际上它不是分数！所以含有分数线的不一定都是分数！
常用含“非”的数：
非负数：是指正数和0；
非正数：是指负数和0；
非负整数：是指正整数和0；
知识点4：有理数及其分类
有理数的概念：有理数是整数和分数的统称。
有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。判断一个数是不是有理数，只要看看这个数是不是这四种就行了，如果是这四种中一个，那这个数一定是有理数；如果不是这四种中的任何一种，那它一定不是有理数。
有理数的分类方法：
（1）按概念分类： （2）按正负分类：

名师点拨：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．
（3）正数和零统称为非负数，这是有一个很常用的概念．
题型1正数与负数的区分
1．下列四个数中，是负数的是（ ）
A．1B．C．0D．
【答案】B
【分析】本题考查负数的定义，小于0的数是负数，掌握负数的定义是解题的关键，据此即可解答．
【详解】解：，
则下列四个数中，是负数的是，
故选：B．
2．下列实数中，是负数的是（ ）
A．3B．C．0D．
【答案】B
【分析】本题考查的是负数的定义，关键就是明白什么是负数．利用负数的定义：比0小的数，来选择即可．
【详解】解：负数是小于0的数，，所以是负数；是正数，0既不是正数也不是负数．
故选：B．
3．在，0，，，，中，负数的个数有几个（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中实际含义．根据题目中的数据可以判断哪些数是负数，从而可以解答本题．
【详解】解：在，0，，，，中，负数有：，，，共3个，
故选：B．
4．在5.2、、0、10、中，正数有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查正数的概念，解题的关键是明确正数的定义，据此判断给定数字中正数的个数．
依据正数的定义，逐一分析所给数字，统计其中正数的数量．
【详解】正数是大于0的数．在5.2、、0、10、中
5.2大于0，所以5.2是正数；小于0，是负数；0既不是正数也不是负数；10大于0，所以10是正数；小于0，是负数．
综上，正数有5.2和10，共2个，
故选：B．
5．下列各数，，，，，，中负数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】本题考查了负数的定义，小于0的数为负数，据此进行逐个分析，即可作答．
【详解】解：依题意，，，，都是负数，
∴负数有个，
故选：C．
题型2利用正数与负数表示相反意义的量
1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.若零上10摄氏度记作，则零下5摄氏度可记作（ ）
A．B．5℃C．D．10℃
【答案】A
【分析】本题考查了用正负数表示具有相反意义的量，理解题意是关键；
用正负数可以表示具有相反意义的量，而零上与零下是一对具有相反意义的量，即可得出答案.
【详解】解：若零上10摄氏度记作，则零下5摄氏度可记作；
故选：A.
2．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若收入3万元记作万元，那么支出8万元可记作（ ）
A．万元B．万元C．万元D．万元
【答案】D
【分析】本题考查正负数表示具有相反意义的量，根据题意，即可得到答案．读懂题意是解决问题的关键．
【详解】解：若收入3万元记作万元，那么支出8万元可记作万元，
故选：D．
3．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进20吨粮食记为“”，则“”表示（ ）
A．亏损20吨粮食B．吃掉20吨粮食C．卖掉20吨粮食D．运出20吨粮食
【答案】D
【分析】本题考查了相反意义的量，正负数的应用．熟练掌握相反意义的量，正负数的应用是解题的关键．根据运进吨粮食记为“”，可知“”表示运出吨粮食，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，运进吨粮食记为“”，
∴“”表示运出吨粮食，
故选：D．
4．某蓄水池标准水位记为，如果表示高于标准水位，那么表示（ ）
A．高于标准水位B．低于标准水位
C．高于标准水位D．低于标准水位
【答案】B
【分析】本题主要考查了正数和负数，解题关键是熟练掌握“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，根据正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示水面低于标准水位．
【详解】解：∵用正数表示水面高于标准水位的高度，
∴表示水面低于标准水位．
故选：B．
5．北京时间2025年1月21日1时12分，经过约小时的出舱活动，“神舟十九号”乘组航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽密切协同，在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置安装、舱外设备设施巡检等任务．出舱航天员蔡旭哲、宋令东已安全返回问天实验舱，出舱活动取得圆满成功.如果航天员蔡旭哲出舱前5秒记为秒，那么航天员蔡旭哲出舱后10秒应记为（ ）
A．秒B．秒C．秒D．秒
【答案】A
【分析】本题考查了正数和负数，准确理解它们是表示相反意义的量是解题的关键．正数和负数是表示相反意义的量，根据题目中的规定用正数或负数表示即可．
【详解】解：如果航天员蔡旭哲出舱前5秒记为秒，那么航天员蔡旭哲出舱后10秒应记为秒．
故选：
题型3古代数学文化问题
1．我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高时，水位变化记作，则水库的水位下降时，水位变化记作 ．
【答案】
【分析】本题考查了正负数表示相反意义的量的运用，理解题意，掌握相反意义的量的运用是关键．
根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答．
【详解】解：∵水库的水位升高时，水位变化记作，
∴水库的水位下降时，水位变化记作，
故答案为：．
2．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入300元，记作元，则元表示 ．
【答案】支出200元
【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键．根据题意，正数表示收入，则负数表示支出，据此即可解答．
【详解】解：若收入300元，记作元，则元表示支出200元．
故答案为：支出200元．
3．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在秦汉时期的《九章算术》就引入了负数．如果将“向东走2米”记为“米”，那么“向西走8米”记为 米．
【答案】
【分析】本题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负是解题的关键．
根据向东走记为正，则向西走就记为负，直接得出结论即可．
【详解】解：根据题意，“向东走2米”记为“米”
那么“向西走8米” 记为．
故答案为：．
4．中国是最早采用正数、负数表示相反意义的量的国家，战国时期李惺所著《法经》已经使用负数．若向东走50米记作米，则向西走35米记作 米．
【答案】
【分析】本题主要考查了正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【详解】解：若向东走50米记作米，则向西走35米记作米，
故答案为：．
5．《九章算术》中记载有“今两算得失相反，要令正负以名之”意思是：在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们．如：深圳的纬度是北纬度，记作度；则南极长城站的纬度是南纬62度，记作 度．
【答案】
【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示，再解答即可．
【详解】解：深圳的纬度是北纬度，记作度；则南极长城站的纬度是南纬62度，记作度；
故答案为：
题型4有理数的分类问题
1．把下列各数填写在相应的集合中．
，7， ，，，，，0 ，
(1)整数集合：；
(2)分数集合：；
(3)正数集合：；
(4)非负数集合：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】本题考查了有理数的分类，正确把握相关定义是解题关键．
（1）根据整数的定义即可得出答案；
（2）根据分数的定义即可得出答案；
（3）根据正数的定义即可得出答案；
（4）根据非负数的定义即可得出答案；
【详解】（1）解：整数集合：，
故答案为：；
（2）解：分数集合：，
故答案为：；
（3）解：正数集合：，
故答案为：；
（4）解：非负数集合：，
故答案为：．
2．把下列各数填在相应的大括号内：
，0.01，，0，，，4.01，22，，，
正数：{ }；
整数：{ }；
分数：{ }；
有理数：{ } ．
【答案】见解析
【分析】本题考查有理数的分数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键：根据正数是大于0的数，整数包括正整数，负整数和0，分数包括有限小数和无限循环小数，整数和分数统称为有理数，进行作答即可．
【详解】解：正数：{0.01，4.01，22，}；
整数：{ 0，，22，}；
分数：{，0.01，，， 4.01，， }；
有理数：{，0.01，，0，，，4.01，22，，} ．
3．将下列各数填入相应的大括号里．
，0.618 ， ， ， 260 ，0 ， ，， ，．
整数集合：{ …}；
负有理数集合：{ …}；
【答案】见解析
【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．根据整数\负有理数的定义解答即可．
【详解】解∶ 整数集合：{， 260 ，0 ， ，…}；
负有理数集合：{， ， ， ，…}
4．将下列各数填入它所属的集合内：，，2024，，0，，，，，．
(1)正有理数集合：{ …}．
(2)负有理数集合：{ …}．
(3)整数集合：{ …}．
【答案】(1)，2024，，，
(2)，，，
(3)，，2024，0
【分析】本题考查了有理数的分类．根据正有理数，负有理数和整数的定义即可．
【详解】（1）解：正有理数集合：{，2024，，，，…}．
（2）解：负有理数集合：{，，，，…}．
（3）解：整数集合：{，，2024，0，…}．
5．把下列各数填在相应的集合里：
，，，，，，，，，，．
正数集合：
负数集合：
整数集合：
正分数集合： ．
【答案】，，，，，；
，，，；
，，，，；
，，．
【分析】本题考查了正数概念，以及有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据有理数的分类进行求解，即可解题．
【详解】解：正数集合：，，，，，；
负数集合：，，，；
整数集合：，，，，；
正分数集合：，，．
故答案为：，，，，，；，，，；，，，，；，，．
知识导图记忆
知识目标复核
1.体会数学中引入正数与负数的必要性；
2.理解正数与负数的概念；
3.知道正数与负数可以表示具有相反意义的量；
4.知道有理数的概念和简单分类。
一、选择题
1．四个数、、、，其中负数是（ ）
A．6B．C．D．0.7
【答案】C
【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，根据正数和负数的定义判断即可．
【详解】解：A．，是正数，不符合题意；
B．，是正数，不符合题意；
C．，是负数，符合题意；
D．，是正数，不符合题意；
故选：C．
2．下列各数中，正数是（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了正数和负数，掌握正数和负数的定义是解题的关键，正数都大于0，负数都小于0，0既不是正数也不是负数．
根据正数都大于0，注意判断即可．
【详解】解：A、，是负数，故A错误；
B、，是负数，故B错误；
C、0 既不是正数也不是负数，故C错误
D、，是正数，故D正确．
故选：D．
3．零上13摄氏度记作摄氏度，零下2摄氏度可记作（ ）．
A．2B．C．2摄氏度D．摄氏度
【答案】D
【分析】本题主要考查了正负数的意义，正负数是一对具有相反意义的量，若零上的温度用“”表示，那么零下的温度就用“”表示，据此求解即可．
【详解】解：零上13摄氏度记作摄氏度，零下2摄氏度可记作摄氏度，
故选：D．
4．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入60元记作元，则支出100元可记作（ ）
A．100元B．元C．40元D．元
【答案】B
【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，解题的关键是掌握具有相反意义量的定义．
根据具有相反意义量的定义进行表示即可．
【详解】解：根据题意支出和收入是具有相反意义的量，所以支出100元记作元，
故选：B．
5．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果风车顺时针旋转记作，那么逆时针旋转记作（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了正数和负数，用正数和负数表示两种具有相反意义的量，由此求解即可，理解具有相反意义的量是解此题的关键．
【详解】解：如果风车顺时针旋转记作，那么逆时针旋转记作，
故选：D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．是负分数B．是负数，但不是整数
C．0是正数D．是分数但不是正数
【答案】A
【分析】本题主要考查了正负数的定义，分式的定义，0的意义，大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数，据此结合分数的定义可得答案．
【详解】解：A、是负分数，原说法正确，故此选项符合题意；
B、是负数，也是整数，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、0不是正数，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、是分数，也是正数，原说法错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
7．下列说法中，错误的有（ ）
① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ．
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的两种分类方法判断即可．
【详解】解：① 是负分数，故①正确；
②是分数，不是整数，故②正确；
③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误；
④是有理数，故④错误；
⑤没有最小的有理数，故⑤错误；
⑥有理数包括整数和分数，故⑥错误；
故选：D．
8．在下列各数中：15，，，7，0.5，，12，，2.3，负有理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的分类，根据负有理数的概念求解即可．
【详解】解：负有理数有，，，，共4个，
故选：C．
9．在，，，，中，非负数的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查非负数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．非负数即和正数，据此进行判断即可．
【详解】解：在，，，，中，非负数是，，，共有个，
故选：A．
10．下列有理数：，其中非负有理数有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的分类、非负有理数等知识点，掌握非负有理数是大于等于0的数成为解题的关键．
根据非有理数的定义逐个判断，然后再统计即可解答．
【详解】解：有理数，其中非负有理数有，共5个．
故选D．
二、填空题
11．在“，35，，，，0，，”这8个数中，正数有 个，负数有 个．
【答案】 5 2
【分析】本题考查正数与负数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
根据正数与负数的定义，直接作答即可．
【详解】解：正数有35，，，，，共5个；
负数有，共2个．
故答案为：5：2．
12．如果收入100元记为，那么支出80元记为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正负数的意义，正负数是一对具有相反意义的量，若收入用“”表示，那么支出就用“”表示，据此求解即可．
【详解】解；如果收入100元记为，那么支出80元记为，
故答案为：．
13．你知道成语“南辕北辙”吗？它的意思是心里想往南去，却驾车往北走，比喻行动和目的相反．如果车子向南行驶，记作，那么车子向北行驶，记作 ．
【答案】
【分析】本题考查了正负数，相反意义的量的运用，理解相反意义的量的含义，正负数表示实际意义是关键．
根据向南行驶，记作，则向北记为负，由此即可求解．
【详解】解：∵向南行驶，记作，
∴车子向北行驶，记作，
故答案为： ．
14．下列各数中：，，0，，，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中正有理数有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了有理数的定义和分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键；
有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，正有理数是大于的有理数，据此解答即可．
【详解】解：：是正分数，属于正有理数；
：是负整数，小于，不是正有理数；
：既不是正数也不是负数，不是正有理数；
：是负数，不是正有理数；
，是正整数，属于正有理数；
：是无限不循环小数，不是正有理数；
：是有限小数，可化为分数，且大于，属于正有理数；
（每相邻两个之间的个数逐次加）：是无限不循环小数，不是正有理数；
综上，正有理数有，和，共3个．
故答案为：3．
15．在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有 个．
【答案】6
【分析】本题主要考查了分数的定义，负分数是小于0有限小数和无限循环小数的统称，据此可得答案．
【详解】解：在数；；；；；；；0；；中，属于负分数的，，，，，，， 共6个，
故答案为；6．
16．在下列各数：7，，，，，，，0中，属于分数的有 个．
【答案】5
【分析】本题主要考查了分数的定义，分数是有限小数和无限循环小数的统称，据此可得答案．
【详解】解：在下列各数：7，，，，，，，0中，属于分数的有，，，，，共5个，
故答案为：5．
17．在中，非负整数有 个．
【答案】4
【分析】本题主要考查了有理数的分类，非负整数是大于等于的整数，据此求解即可．
【详解】解：在，，，，，，，中，非负整数有，，，，共个，
故答案为：．
18．在，0，，，2024，，，11中，非负整数有 个．
【答案】4
【分析】本题主要考查了有理数的分类，非负整数是大于等于0的整数，据此求解即可．
【详解】解：在，0，，，2024，，，11中，非负整数有，0，2024，11，共4个，
故答案为：4．
19．在，25，0，，中，非负数是 ．
【答案】25，0，
【分析】本题考查了有理数，利用有理数中非负数的概念解答．
【详解】解：在，25，0，0.02，中，非负数是25，0，0.02．
故答案为：25，0，0.02．
20．在，，，，，，，中，非负数有 个．
【答案】
【分析】本题考查非负数定义，非负数指负数与零，根据非负数定义逐个判断即可得到答案，熟记非负数定义是解决问题的关键．
【详解】解：，，，，，，，中，非负数有，，，，共个，
故答案为：．
三、解答题
21．画示意图表示下列概念之间的关系：整数、正整数、负整数．
【答案】画图见解析
【分析】本题考查的是整数的分类，根据整数分为正整数，0，负整数，再画图即可．
【详解】解：如图，
22．把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称．
，0，，，，
【答案】见解析
【分析】本题主要查了有理数的分类．根据有理数的分类解答即可．
【详解】解：如图：
23．把以下各数填在相应的括号里：．
整数集合：{ }
分数集合：{ }
非负数集合：{ }
非负整数集合：{ }
【答案】；；；
【分析】本题考查的是有理数的分类，根据负数，分数以及非负整数的定义进行分类即可．
【详解】解：整数集合：{，••••••}；
分数集合：{，••••••}；
非负数集合：{，••••••}；
非负整数集合：{7，2024，0，53，••••••}；
故答案为：；；．
24．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里（用逗号隔开）．
10，，，，0，，，．
(1)正数：{________________________________…}；
(2)整数：{________________________________…}；
(3)负分数：{________________________________…}；
(4)非负整数：{________________________________…}．
【答案】(1)10，，
(2)10，，0
(3)，，
(4)10，0
【分析】本题考查了有理数的分类．
（1）根据正数的概念进行填空即可；
（2）根据整数的概念进行填空即可；
（3）根据负分数的概念进行填空即可；
（4）根据非负整数的概念进行填空即可
【详解】（1）解：正数：10，，，
（2）解：整数：10，，0，
（3）解：负分数：，，，
（4）解：非负整数：10，0．
25．把下列各数填在相应的集合里：
，，，，，，，，，，．
正数集合：
负数集合：
整数集合：
正分数集合： ．
【答案】，，，，，；
，，，；
，，，，；
，，．
【分析】本题考查了正数概念，以及有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据有理数的分类进行求解，即可解题．
【详解】解：正数集合：，，，，，；
负数集合：，，，；
整数集合：，，，，；
正分数集合：，，．
故答案为：，，，，，；，，，；，，，，；，，．
表示海拔高度
表示温度高低
正数表示海平面之上
负数表示海平面之下
正数表示温度高于零度
负数表示温度低于零度
表示盈利亏损
表示事物变化
正数表示收入钱数
负数表示支出钱数
正数表示人口增长
负数表示人口减少
举例
概念
读法
注意
正数
像+1、2、1.2、、π等
大于0的数，叫做正数；
+1读作正1
读数时可以省略正字不读，直接读作1；
书写时可以省略＋不写
负数
-1、-2、－1.2、 QUOTE ，
小于0的数，叫做负数
-1读作负1
读数时不可省略负字不读；
书写时不可以省略-。
教材习题第14页练习第2题
把下列各数填入相应的圈内：
解题方法指导
方法一：按圈选数，逐一判断
方法二：按数选圈，逐一填入
防止漏数
【分析】
正有理数：
负有理数：
易错提醒：注意区分逗号和小数点；注意含+的和不含+号的，有些正数是省略+的。
教材习题第15页习题第3题
指出下列数中的正整数、负整数、正有理数、负有理数
解题方法指导
1.正确理解各类数的概念；
2.注意区分正整数与正有理数；
3.对各个数逐一判断，防止漏数。
【分析】
正整数：
负整数：
正有理数：
负有理数：
易错提醒：判断前要正确理解各种数的概念；要按顺序逐一判断，防止漏数！