2025年苏科版七年级上数学暑期衔接课讲义：第一讲正数与负数

这是一份2025年苏科版七年级上数学暑期衔接课讲义：第一讲正数与负数，共17页。
课题
第1讲：正数与负数
教学内容
【考点1】相反意义的量
【考点2】正数与负数和0
【考点3】正负数的实际应用
【考点4】有理数的定义及分类
【考点5】数字0的意义
【考点5】“六非问题”
【考点6】分数与无限循环小数的互化
考点1：相反意义的量
为了区分具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量用负数表示。
特别指出：相反意义的量的“两要素”
（1）具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能称为相反意义的量；
（2）具有相反意义的量必须是同类量，只要求具有相反意义和数量。不要求数量一定相等，所以与一个量具有相反意义的量不止一个。
典例1：《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果表示向东走，那么表示（ ）
A．向东走B．向西走C．向东走D．向西走
典例2：如果收入80元记作元，那么支出50元记作_____元．
典例3：一次考试中，老师采取一种记分制：得分记为分，得分记为分，那么得分应记为______分．
考点2：正数与负数
像+3、+1.5、、+584 等大于 0 的数， 叫做正数； 像－3、－1.5、、－584 等在正
数前面加“－”号的数，叫做负数．
考点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上
升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0 既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．
典例4：把下列各数分别填在相应的横线上：
1，315，325，﹣789，0，﹣23.13，0.618，﹣2022．
正数有： ；
负数有： ；
典例5：如果河水的警戒水位记为0m，汛期时水位高于警戒水位2m，记为+2m；旱季时水位低于警戒水位1.5m，记为 m．
典例6：一种食品包装袋上标有“质量：500±5克”，这种食品一袋最多 克．
典例7：把六一班男生平均体重45kg作为标准，记作0kg，超过平均体重的记作正，低于平均体重的记作负．明明重39kg应记作 kg．
考点3有理数的定义
正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数．
我们把能写成分数形式（m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数．
无理数：无限不循环小数叫做无理数．
典例8：在2.5，﹣π，0，223，0.1010010001…（每隔一个1增加一个0）中，有理数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
典例9：下列说法中，不正确的是（ ）
A．负分数一定是负有理数
B．可以写成分数形式的数称为有理数
C．﹣2025是负整数，但不是有理数
D．0是正数和负数的分界
典例10：下列各数0，−547，−3.14，π3，0.36，﹣3.020020002⋯（相邻两个2之间的0的个数逐次增加），其中有理数的个数是（ ），无理数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
典例11：下列说法正确的是（ ）
A．零是整数，又是分数
B．有理数可以分为正数和负数
C．收入200元和支出﹣200元是互为相反意义的量
D．若向南走8m记作+8m，则向北走9记作﹣9m
考点4有理数的分类
（1）按定义分类： （2）按性质分类：
要点诠释：有理数“0”的作用：
作用
举例
表示数的性质
0是自然数、是有理数
表示没有
3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态
表示冰点
表示正数与负数的界点
0非正非负，是一个中性数
典例12：有下列说法：①一个有理数不是正数就是负数；②零是最小的有理数；③正分数一定是有理数；④﹣a一定是负数．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
典例13：给出下列实数：227、33、0、−0.25、3.1415678、π2、﹣0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0），其中分数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
典例14：下列各数：116，−3，+233，−2110，223，0，60，−517，其中正数有 ，负数有 ，整数有 ，负分数有 ．
典例15：在337，﹣8，2025，0，﹣5，+13，14，﹣6.9，π5中，有理数有a个，非负整数有b个，分数有c个，则a﹣b﹣c的值为 ．
典例15：已知a与b都是自然数，在a+b，a﹣b，a×b，a÷b中一定是自然数的有 个．
典例16：把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称：
﹣16，0，−23，﹣4，﹣3.6，+32．
典例17：把下列各数填在相应的大括号内：
6，﹣3，2.4，−34，0，29，+2，−312，﹣1.414，﹣17，23，−π24．
正数：{ …}；
非负整数：{ …}；
整数：{ …}；
负分数：{ …}．
典例18：把下列各数填在相应的横线上：
5，14，﹣3，−312，0，2010，﹣35，6.2，﹣l．
正数： ；
负数： ；
非负整数： ；
整数： ；
分数： ；
负分数： ．
典例19：将下列各数填入相应的集合中：
﹣7；0；227；﹣2213；+9；+1%；3.14159；﹣0.6；﹣0.01．
负有理数：{ …}；
正分数：{ …}；
非负整数：{ …}．
典例20：把下列各数填在相应的括号里：+12，﹣6，0.54，7，0，3.14，20%，﹣3，3.4365，−413，﹣2.543．
正整数集合{ …}，
负整数集合{ …}，
分数集合{ …}，
负数集合{ …}，
正数集合{ …}．
考点5数字0的意义
有理数“0”的意义：
意义
举例
表示数的性质
0是自然数、是有理数
表示没有
3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态
表示冰点
表示正数与负数的界点
0非正非负，是一个中性数
典例21：下列有关“0”的叙述中，错误的是（ ）
A．既不是正数，也不是负数
B．不是有理数，是整数
C．是整数，也是有理数
D．不是负数，是有理数
典例22：请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外）
典例23：下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．0是自然数B．0是偶数
C．0没有倒数D．0是最小的整数
典例24：某栏目有一竞猜游戏：两人搭档，一人用语言描述，一人回答，要求描述者不能说出答案中的字或数.如果现在给的数是0，那么你给搭档描述的是_______.
典例25：下面关于0的说法：
（1）0是最小的正数；（2）0是最小的非负数；
（3）0既不是正数也不是负数；（4）0既不是奇数也不是偶数；
（5）0是最小的自然数；（6）海拔0m就是没有海拔．
其中正确说法的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
考点5“六非问题”
非负数：正数、0 非负整数：正整数、0 非正有理数：负有理数、0
非正数：负数、0 非正整数：负整数、0 非负有理数：正有理数、0
典例26：把下列各数分别填入相应的括号内：，，，，，，0，
正数：
负数：
分数：
非负数：
典例27：在，，，，，，，．这八个有理数中非负数有( )
A．个B．个C．个D．个
典例28：在0，1，，，这五个数中，是非负整数的有_____．
考点6分数与无限循环小数互化
典例29：阅读与探究：
我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“ratinalnumber”，而“ratinal”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“ratinal”这个词的词根“rati”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比．
(1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：；
化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）；
(2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________；
(3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程．
(4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________
(5)【应用】在中，属于非负有理数的是__________________．
《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果表示向东走，那么表示（ ）
A．向东走 B．向西走 C．向东走D．向西走
解答：表示向东走，那么表示向西走．
故选：D
如果收入80元记作元，那么支出50元记作_____元．
解：如果收入元记作元，那么支出元记作：元．
故答案为：．
一次考试中，老师采取一种记分制：得分记为分，得分记为分，那么得分应记为______分．
解：∵得分记为分，得分记为分，
∴分为基准点，
∴得分应记为分，
故答案为：．
把下列各数分别填在相应的横线上：
1，315，325，﹣789，0，﹣23.13，0.618，﹣2022．
正数有： 1，315，325，0.618 ；
负数有： ﹣789，﹣23.13，﹣2022 ；
【解答】解：根据正数，负数的定义逐空解答，正数是大于0的数，负数是正数前带负号的数判断如下：
正数：1，315，325，0.618；
负数：﹣789，﹣23.13，﹣2022．
故答案为：1，315，325，0.618；﹣789，﹣23.13，﹣2022．
如果河水的警戒水位记为0m，汛期时水位高于警戒水位2m，记为+2m；旱季时水位低于警戒水位1.5m，记为 ﹣1.5 m．
【解答】解：由题意得：旱季时水位低于警戒水位1.5m，记为﹣1.5m，
故答案为：﹣1.5．
一种食品包装袋上标有“质量：500±5克”，这种食品一袋最多 505 克．
【解答】解：这种食品一袋最多：500+5＝505（克），
故答案为：505．
把六一班男生平均体重45kg作为标准，记作0kg，超过平均体重的记作正，低于平均体重的记作负．明明重39kg应记作 ﹣6 kg．
【解答】解：45﹣39＝6kg，
所以明明的体重与平均体重相比不足6kg，
所以明明重39kg应记作﹣6kg，
故答案为：﹣6．
在2.5，﹣π，0，223，0.1010010001…（每隔一个1增加一个0）中，有理数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：有理数有：2.5，0，223，共3个，
故选：C．
下列说法中，不正确的是（ ）
A．负分数一定是负有理数
B．可以写成分数形式的数称为有理数
C．﹣2025是负整数，但不是有理数
D．0是正数和负数的分界
【解答】解：A．负分数一定是负有理数，说法正确，故本选项不符合题意；
B．可以写成分数形式的数称为有理数，说法正确，故本选项不符合题意；
C．﹣2025是负整数，属于是有理数，原说法错误，故本选项符合题意；
D．0是正数和负数的分界，说法正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
下列各数0，−547，−3.14，π3，0.36，﹣3.020020002⋯（相邻两个2之间的0的个数逐次增加），其中有理数的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：0，−547，﹣3.14，0.36属于有理数，所以有理数有4个．
故选：B．
下列说法正确的是（ ）
A．零是整数，又是分数
B．有理数可以分为正数和负数
C．收入200元和支出﹣200元是互为相反意义的量
D．若向南走8m记作+8m，则向北走9记作﹣9m
【解答】解：根据有理数的定义、分类以及正负数表示一对具有相反意义的量判断如下：
A、零是整数，但不是分数，故原说法错误；
B、有理数可分为正有理数、负有理数和0，故原说法错误；
C、收入200元和支出﹣200元是互为相同意义的量，故原说法错误；
D、若向南走8m记作+8m，则向北走9记作﹣9m，说法正确．
故选：D．
有下列说法：①一个有理数不是正数就是负数；②零是最小的有理数；③正分数一定是有理数；④﹣a一定是负数．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：根据有理数的分类依据进行判断如下：
有理数包括正数、0、负数，故①错误；
零不是最小的有理数，故②错误；
有理数包括分数和整数，分数包括正分数和负分数，∴正分数是有理数，故③正确；
﹣a表示一个数a的相反数，∴﹣a不一定是负数，故④错误，
故选：A．
给出下列实数：227、33、0、−0.25、3.1415678、π2、﹣0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0），其中分数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【解答】解：实数：227、33、0、−0.25、3.1415678、π2、﹣0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，
−0.25=−0.5，
∴227，−0.25，3.1415678，属于分数，共计3个．
故选：A．
下列各数：116，−3，+233，−2110，223，0，60，−517，其中正数有 116，+233，223，60 ，负数有 ﹣3，−2110，−517 ，整数有 116，﹣3，0，60 ，负分数有 −2110，−517 ．
【解答】解：在实数116，−3，+233，−2110，223，0，60，−517中，
正数有116，+233，223，60；
负数有﹣3，−2110，−517；
整数有116，﹣3，0，60；
负分数有−2110，−517．
故答案为：116，+233，223，60；﹣3，−2110，−517；116，﹣3，0，60；−2110，−517．
在337，﹣8，2025，0，﹣5，+13，14，﹣6.9，π5中，有理数有a个，非负整数有b个，分数有c个，则a﹣b﹣c的值为 2 ．
【解答】解：由题意可得：a＝8，
非负整数有2025，0，+13，共3个，
∴b＝3，
分数有337，2025，﹣6.9，共3个，
∴a﹣b﹣c＝8﹣3﹣3＝2，
故答案为：2．
已知a与b都是自然数，在a+b，a﹣b，a×b，a÷b中一定是自然数的有 2 个．
【解答】解：一定是自然数的有a+b，a×b，共2个．
故答案为：2．
把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称：
﹣16，0，−23，﹣4，﹣3.6，+32．
【解答】解：根据有理数的分类解答如图：
把下列各数填在相应的大括号内：
6，﹣3，2.4，−34，0，29，+2，−312，﹣1.414，﹣17，23，−π24．
正数：{ 6，2.4，29，+2，23 …}；
非负整数：{ 6，0，+2 …}；
整数：{ 6，﹣3，0，+2，﹣17 …}；
负分数：{ −34，﹣312，﹣1.414 …}．
【解答】解：正数：{6，2.4，29，+2，23⋯}，
非负整数：{6，0，+2…}，
整数：{6，﹣3，0，+2，﹣17…}，
负分数：{−34，﹣312，﹣1.414…}，
故答案为：6，2.4，29，+2，23；6，0，+2；6，﹣3，0，+2，﹣17；−34，﹣312，﹣1.414．
把下列各数填在相应的横线上：
5，14，﹣3，−312，0，2010，﹣35，6.2，﹣l．
正数： 5，14，2010，6.2 ；
负数： ﹣3，﹣312，﹣35，﹣1 ；
非负整数： 5，0，2010 ；
整数： 5，﹣3，0，2010，﹣35，﹣1 ；
分数： 14，﹣312，6.2 ；
负分数： ﹣312 ．
【解答】解：正数：5，14，2010，6.2，
负数：﹣3，﹣312，﹣35，﹣1，
非负整数：5，0，2010，
整数：5，﹣3，0，2010，﹣35，﹣1，
分数：14，﹣312，6.2，
负分数：﹣312，
故答案为：5，14，2010，6.2；﹣3，﹣312，﹣35，﹣1；5，0，2010；5，﹣3，0，2010，﹣35，﹣1；14，﹣312，6.2；﹣312．
将下列各数填入相应的集合中：
﹣7；0；227；﹣2213；+9；+1%；3.14159；﹣0.6；﹣0.01．
负有理数：{ ﹣7；﹣2213；﹣0.6；﹣0.01； …}；
正分数：{ 227；+1%；3.14159； …}；
非负整数：{ 0；+9； …}．
【解答】解：负有理数：{﹣7；﹣2213；﹣0.6；﹣0.01；…}；
正分数：{227；+1%；3.14159；…}；
非负整数：{0；+9；…}．
故答案为：﹣7；﹣2213；﹣0.6；﹣；+1%；3.14159.0；+9．
把下列各数填在相应的括号里：+12，﹣6，0.54，7，0，3.14，20%，﹣3，3.4365，−413，﹣2.543．
正整数集合{ 7 …}，
负整数集合{ ﹣6，﹣3 …}，
分数集合{ +12，0.54，3.14，20%，3.4365，−413，﹣2.543 …}，
负数集合{ ﹣6，﹣3，−413，﹣2.543 …}，
正数集合{ +12，0.54，7，3.14，20%，3.4365 …}．
【解答】解：正整数集合{7，…}；
负整数集合{﹣6，﹣3…}；
分数集合{+12，0.54，3.14，20%，3.4365，−413，﹣2.543，…}；
负数集合{﹣6，﹣3，−413，﹣2.543，…}；
正数集合{+12，0.54，7，3.14，20%，3.4365，…}，
故答案为：7；﹣6，﹣3；+12，0.54，3.14，20%，3.4365，−413，﹣2.543；﹣6，﹣3，−413，﹣2.543；+12，0.54，7，3.14，20%，3.4365．
下列有关“0”的叙述中，错误的是（ ）
A．既不是正数，也不是负数
B．不是有理数，是整数
C．是整数，也是有理数
D．不是负数，是有理数
【解答】解：根据正数负数有理数的含义逐个判断如下：
（1）0既不是正数，也不是负数，这个说法正确，
（2）0不是有理数，是整数，这个说法不正确，0是有理数，
（3）0是整数，也是有理数，这个说法正确，
（4）0不是负数，是有理数，这个说法正确．
故选：B．
有下列说法：①一个有理数不是正数就是负数；②零是最小的有理数；③正分数一定是有理数；④﹣a一定是负数．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：根据有理数的分类依据进行判断如下：
有理数包括正数、0、负数，故①错误；
零不是最小的有理数，故②错误；
有理数包括分数和整数，分数包括正分数和负分数，∴正分数是有理数，故③正确；
﹣a表示一个数a的相反数，∴﹣a不一定是负数，故④错误，
故选：A．
给出下列实数：227、33、0、−0.25、3.1415678、π2、﹣0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0），其中分数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【解答】解：实数：227、33、0、−0.25、3.1415678、π2、﹣0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，
−0.25=−0.5，
∴227，−0.25，3.1415678，属于分数，共计3个．
故选：A．
某栏目有一竞猜游戏：两人搭档，一人用语言描述，一人回答，要求描述者不能说出答案中的字或数.如果现在给的数是0，那么你给搭档描述的是_______.
【答案】既不是正数也不是负数的数（答案不唯一）
解：既不是正数也不是负数 .
故答案为既不是正数也不是负数的数.
下面关于0的说法：
（1）0是最小的正数；（2）0是最小的非负数；
（3）0既不是正数也不是负数；（4）0既不是奇数也不是偶数；
（5）0是最小的自然数；（6）海拔0m就是没有海拔．
其中正确说法的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
解：（1）0是最小的正数，错误，0不是正数也不是负数；
（2）0是最小的非负数，正确，非负数即为正数与0；
（3）0既不是正数也不是负数，正确；
（4）0既不是奇数也不是偶数，错误，0是偶数；
（5）0是最小的自然数，正确；
（6）海拔0m就是没有海拔，错误，海拔0m就是与海平面高度相同；
则正确的说法有3个．
故选：D．
把下列各数分别填入相应的括号内：，，，，，，0，
正数：
负数：
分数：
非负数：
【答案】正数：，，；负数：，，，；分数：，，，，；非负数：，，，0．
解：是负数，是分数；
是正数，是分数，是非负数；
是负数；
是正数，是非负数；
是负数，是分数；
是正数，是分数，是非负数；
0是非负数；
是负数，是分数；
∴正数：，，；
负数：，，，；
分数：，，，，；
非负数：，，，0．
在，，，，，，，．这八个有理数中非负数有( )
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
解：在，，，，，，，，这八个数中，
非负数为，，，，，有5个．
故选：B．
在0，1，，，这五个数中，是非负整数的有_____．
【答案】，
解：在0，1，，，这五个数中，0，1是非负整数，
故答案为：，
阅读与探究：
我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“ratinalnumber”，而“ratinal”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“ratinal”这个词的词根“rati”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比．
(1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：；
化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）；
(2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________；
(3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程．
(4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________
(5)【应用】在中，属于非负有理数的是__________________．
【答案】(1)是；(2)； (3)是，过程见解析； (4)； (5)，0，，16.2
解：（1）是 （2）
设，由，得．
可知，，即，
解得：，
（3）设，由，
可得：，
等式两边同乘以100，可得，
即：，
化简，得：
解方程，得：．
（4）
由（1）知：
所以．
（5）在中，属于非负有理数的是，0，，16.2，
故答案为：，0，，16.2．