专题13 弧长及扇形面积-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（浙教版）

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内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：8大核心考点精准练+1大拓展训练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1：弧长公式
半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
【即时训练】
1．（2025·浙江舟山·三模）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．中心线可看做半径为，圆心角为所对的圆弧，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，内接于，是的直径，是上一点，且．若，，则劣弧的长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·浙江湖州·二模）如图，中，，，以为直径作半圆，交，于点D，E．若，则的长为 （结果保留）
知识点2：扇形面积公式
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 即
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
【即时训练】
4．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，、是的两条弦，连接、，若的半径为2，，则扇形的面积为 ．（结果保留）
5．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在正六边形中，连结与，以点为圆心，长为半径画弧，若，则图中阴影部分的面积是 ．
6．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，四边形的面积为，扇形的半径为4，圆心角为，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和）
知识点3：圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积，
圆锥的全面积.
要点：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
【即时训练】
7．（23-24九年级上·浙江舟山·阶段练习）在一个边长为正方形里作一个扇形（如图所示），再将这个扇形剪下卷成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）

A．B．C．D．
8．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图的弧长为，圆心角为，则此圆锥的母线长为_______cm．（ ）
A．5B．6C．8D．10
9．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）“北斗”是中国自行研制的全球卫星导航系统，如图1是“北斗”的标识，表示太空的部分可以抽象出一条长为的弧，若该扇形可围成高为12的圆锥（如图2），则该圆锥的母线长为 ．

【题型1 求弧长】
1．如图，在扇形纸扇中，若，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，是的半径，点是劣弧上的点，连接，若，则劣弧的长为（ ）
A．B．2C．D．
3．如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ．
4．如图，内接于，的半径为，若，则劣弧的长为 ．（结果保留）
5．如图所示，一把展开的扇子的圆心角是，扇面的外弧的长是94.2厘米，扇面宽的长是16厘米．
求：
(1)的长度；
(2)扇面的周长．
【题型2 求扇形半径】
6．若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（ ）
A．4B．6C．8D．12
7．一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为（ ）
A．B．C．D．
8．传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（ ）
A．1米B．米C．2米D．米
9．已知一个扇形的圆心角是，它所对的弧长为，则该扇形的面积是 ．
10．一弧长为18.84厘米，所对的圆心角为270°，求该弧所在圆的半径．（取3.14）
【题型3 求圆心角】
11．将一把折扇展开，可抽象看成一个扇形．若该扇形的半径为3，弧长为，则这个扇形的圆心角的度数为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，汽车发动机上的皮带轮通过皮带将发动机的动力传递给其他需要驱动的部件，如发电机、水泵等，爱动脑筋的小智发现：皮带轮上点的位置在不断改变．已知皮带轮的半径为，当皮带上的点上升时，皮带轮上点转过的度数为（ ）
A．B．C．D．
13．折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为 度．
14．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点随之旋转，则 ．
15．在半径为的圆中，一个圆心角所对的弧长为，求这个圆心角的度数．（π取3.14）
【题型4 求某点的弧形运动路径长】
16．如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点在地面顺时针旋转，当旋转时，点在地面划出的痕迹长为（ ）
A．B．C．D．
17．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ）
A．B．C．D．
18．如图，将一个半径为1的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2025周后圆心所经过的路径长为（ ）
A．B．C．D．
19．一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线l重合，．现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在直线l上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留）
20．如图，三角尺中，，，，将三角尺绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在和点A、B同一直线上的点处，同时点A落在点处．
(1)_______°；
(2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为多少？
【题型5 求扇形面积】
21．如图，以正六边形的顶点O为圆心，的长为半径画圆，若圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为，则的半径为（ ）
A．3B．4C．5D．6
22．徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，若，，则该阴影部分的面积为（ ）．
A．B．C．D．
23．如图，在正六边形中，连结与，以点为圆心，长为半径画弧，若，则图中阴影部分的面积是 ．
24．如图，正五边形和正六边形有公共边．以点为圆心，为半径画圆．则扇形的面积为 ．
25．如图，已知，，，半径为的从点出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过区域的面积是 ．（结果保留）
【题型6 求弓形面积】
26．如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．
C．D．
27．如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
28．如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ．
29．如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是 ．
30．如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．

(1)证明：；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【题型7 求其他不规则图形的面积】
31．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
32．如图，半径为的扇形中，为的中点，连接，．已知的长度为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
33．如图，扇形的圆心角为60°，点是的中点，连接．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
34．如图，在矩形中，分别以和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
35．已知四边形是的内接四边形，，连接．
(1)如图①．求的度数；
(2)如图②，连接与相交于点E，若，求的长和阴影部分的面积．
【题型8 求图形旋转扫过的面积】
36．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ）
A．B．C．D．
37．如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
38．如图，直角的直角顶点为B，且，，，将此三角形绕着顶点A逆时针旋转72度到直角的位置，在旋转过程中，线段扫过的面积是 ．（结果保留）
39．如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为 ．
40．如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为 ．
【拓展训练一 弧长与扇形面积的综合】
41．综合与实践——硬币滚动中的数学．将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为 ．
42．如图，在中，点是边的中点，分别以点、为圆心，长为半径作圆弧，分别交、于点、．若，，则图中阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留）
43．如图，是的直径，点C，D在直径两侧的上，，点E在上，且于点E，延长DE交于点F，连接并延长交的延长线于点G．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
44．在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：_______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式_______②，得出扇形面积的另一种计算方法：_____▲③．请解决下列问题：
问题Ⅰ：求弧长为，圆心角为的扇形面积．
问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知弧和弧所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积．
(1)请你解答问题Ⅰ；
(2)在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：）
(3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留）
(4)丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中弧和弧所在圆的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，弧所在圆的半径_______；它所对的圆心角的度数为_______．
45．如图，将正比例函数的图象向上平移，分别交x轴、y轴于点A，B，且经过点，C为线段的中点，连接，将绕点B顺时针旋转得到．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若反比例函数的图象经过点，求k的值；
(3)请直接写出在旋转过程中边扫过的图形（阴影部分）的面积．
1．已知扇形的半径为6，圆心角为，则它的面积是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，学校一矩形广场的四角都有一块半径相同的扇形草地，已知圆形的半径为10米，矩形长为100米，宽为60米，则广场空地的面积为（取3）（ ）
A．4800平方米B．5400平方米
C．5700平方米D．6000平方米
3．如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，内接于，．若 ，则弧的长为（ ）
A．πB．C． D．
5．如图，内接于半径为3的，，过点C作的平行线，交于点D，连接，若，则的长为（ ）
A．B．C．πD．
6．如图是一款可折叠圆形餐桌，图②是其展开前后的桌面示意图（阴影部分表示可折叠部分），已知展开前的正方形桌面的面积为4，则该款餐桌全部展开后桌面面积增大了（ ）
A．B．C．D．
7．如图，内接于，若，则的长为 ．
8．如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为 ．
9．如图，在等边三角形中，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
10．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长，则“勒洛三角形”与等边围成阴影部分的面积等于 （结果保留）．
11．已知是半圆O的直径，为的中点，为的中点，连接交于点，过点作于点D．若，则图中阴影部分的面积为
12．如图，正方形中，，点为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于，两点，则图中阴影部分的面积为 ．
13．如图，是以点为圆心的半圆的直径，是弧的三等分点，点是线段上的任意点，已知圆的半径为3，那么图中阴影部分的面积是多少？
14．如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，．
(1)求的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
15．如图，将半径为10的扇形，绕点逆时针旋转得到扇形．
(1)求证：；
(2)当为直径时，，求的值及优弧的长．
16．如图，在中，，以为直径的与交于点．
(1)尺规作图：作出劣弧的中点，过点作，连接并延长，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示）
17．如图1，公园计划将一个矩形门洞修改成为圆弧形门洞，如图2，在矩形中，宽为，高为，点是，的交点，以点为圆心，为半径作，地面与矩形门洞对角线的夹角约为，阴影部分为门洞改造后扩大的部分．
(1)求的半径；
(2)求改造后圆弧形门洞的高度（即弧的中点到地面的距离）；
(3)直接写出阴影部分的面积．（结果保留）
18．【项目式学习】旋转对称图形的设计.八年级数学学习小组围绕这一主题，进行了项目式.学习小组成员经过查阅相关资料，得到如下素材：
素材一：一般地，如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫它的对称中心，叫做这个旋转对称图形的一个旋转角．例如，图中的正六边形，点是它的内角平分线的交点，将这个正六边形绕着点旋转，旋转后的图形与旋转前的图形重合．
素材二：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
(1)下列图形中不是旋转对称图形的有________，既是旋转对称图形又是中心对称图形的有_________，旋转能够完全重合的图形有_________（写选项），请写出一个有一个旋转角是旋转对称图形，这个图形可以是_________；（写图形名称）
(2)如图，正方形边长为，以各边中点为圆心，为半径依次作圆，将正方形分成四部分．那么图形的周长为_________，面积为_________．
(3)为了美化环境，某中学需要在一块正六边形空地上分别种植六种不同的花草，现将这块空地按下列要求分成六块：分割后的整个图形必须既是轴对称图形又是旋转对称图形；六块图形的面积相同．请你按上述两个要求，分别在图中的两个正六边形中画出两种不同的分割方法（只要求画图正确，不写作法）．
(4)尺规作图，在图中的等边三角形内部作出一个图形，使作出的图形和这个等边三角形构成的整体既是一个旋转对称图形又是一个轴对称图形（作出的图形用实线，作图过程用虚线，保留痕迹，不写作法）
19．生活中有很多神奇的事情，车轮可以不是圆的，是不是很诧异，我们一起来认识一下“勒洛三角形”．它是一种特殊图形，指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形（如图1）．
(1)若图1中给定的等边三角形的边长为，请你求出这个勒洛三角形的周长．（结果保留π）
(2)乐乐受到“勒洛三角形”的启发，发现了“勒洛五边形”．如图2，这个图形的内部五角星的五条线段长都为a（即），连接每两个相邻顶点的曲线都是弧，例如弧就是以点A为圆心，a为半径所画成的弧．于是他想算一算这个图形周长，在尝试用量角器分别测量了五角星的五个角后，他得到了又一个重要的发现，于是得到了这个图形的周长，那么这个勒洛五边形的周长是_______（结果保留π，用含a的式子表示）
20．（中华优秀传统文化）瓷板画（图1）是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入到屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），分别垂直直线l于B，D两点，过点O作于点E，交于点F．已知，，．
(1)求半径的长；
(2)求图2中阴影部分的面积．