专题11 圆心角与圆周角-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（浙教版）

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内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：8大核心考点精准练+3大拓展训练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1：圆心角与弧的定义
1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角.

要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
(2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.
2. 1°的弧的定义
1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，
要点：
(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.
（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.
【即时训练】
1．（21-22九年级上·浙江衢州·阶段练习）下图中是圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25九年级上·浙江·期中）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为 ．
知识点2：圆心角定理及推论
1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.
要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).
*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等
【即时训练】
4．（2024·浙江杭州·一模）如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·浙江丽州·二模）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是50°，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
知识点3：圆周角
圆周角定义：
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

【即时训练】
7．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．

知识点4：圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）

1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.
【即时训练】
10．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，内接于，为的直径，D是上一点，连接，．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
11．（2025·浙江金华·三模）如图，，，是上的三点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
12．（2025·浙江舟山·三模）如图，内接于，点D为劣弧上一点，连接，若，，则的度数为 °．

【题型1 圆心角概念辨析及简单运算】
1．下图中是圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
3．如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是 ．
4．如图，是的直径，，，则的度数为 ．

5．如图，圆心角．
(1)判断和的数量关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【题型2 求圆弧的度数】
6．如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）．如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是
10．如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．
（1）如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；
（2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE．
【题型3 利用弧、弦、圆心角的关系求解】
11．如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，是的直径，，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
13．如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ．
14．如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且，若，则弧的度数为 ．
15．如图，为的直径， 点 C、D 是的三等分点， ，求 的度数．
【题型4 圆周角的概念辨析及简单运算】
16．如图，是以O为圆心的半圆的直径，A是延长线上一点，过A点的直线交半圆于B，E两点，B在A，E之间，若，，则的大小为（ ）

A．B．C．D．
17．如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（ ）
A．B．C．D．
18．如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
19．如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数.
20．如图，是半圆的直径，四边形和都是正方形，其中点，，在上，点，在半圆上．若，则正方形的面积与正方形的面积之和是（ ）
A．25B．50C．D．
【题型5 圆周角定理】
21．如图，内接于，为的直径，D是上一点，连接，．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
22．如图，已知是的直径，弦，垂足为，，，则的长为（ ）
A．B．C．1D．2
23．如图，是的外接圆，，则 ．
24．如图，内接于，为的直径，为的弦，且，连接．若，则的度数为 ．
25．如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上．
(1)若，求的度数；
(2)在（1）的条件下，的半径为2，求的长．
【题型6 同弧或等弧所对的圆周角相等】
26．如图，为的弦，于点．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
27．如图，正方形内接于⊙，点是弧的中点，连接，，交于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
28．如图，为的直径，点在上，点为的中点，连接．若，则 ．
29．如图，点，，，均在上，且经过圆心，与交于点，若，，则的度数为 ．
30．如图，是的直径，是的一条弦，，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，则的长．
【题型7 直径所对的圆周角是直角】
31．如图，四边形内接于，为的直径．若，则（ ）
A．B．C．D．
32．如图，为的直径，四边形的对角线交于点E，若，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
33．如图，是的直径，点，在上，，与交于点．若，则的度数为 ．
34．如图，是的外接圆直径，点O为圆心．若，则 ．
35．如图，中，为的直径，交于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数．
【题型8 90度的圆周角所对的弦是直径】
36．如图，是正方形的外接圆，若，则的半径是（ ）
A．B．2C．D．
37．如图，四边形内接于，，为对角线，经过圆心O．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
38．如图，在四边形中，是两条对角线，，则的度数为 ．
39．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的直径为 ．

40．如图所示，四边形内接于，．

求证：
(1)；
(2)是的直径．
【拓展训练一 圆心角、圆周角的综合】
41．如图，在四边形中，，，，则对角线的长为（ ）
A．B．C．D．
42．如图，是的直径，垂直于弦于点的延长线交于点E，，，则的长是（ ）
A．1B．2C．D．4
43．如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为 .
44．如图，正方形中，，点为正方形内部一点，连接，且，当为等腰三角形时，的长为 ．
45．如图，已知矩形，在边上分别取点E，F，连接和满足，的外接圆交于点G，连接．
(1)当时，求的度数；
(2)猜测和的数量关系，并说明理由；
(3)当，，时，求的长度．
【拓展训练二 圆心角、圆周角中的最值】
46．如图，为半圆的直径，为的中点，为上任意一点，连接，，过点作交于点，连接．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
47．如图，中，，，，点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ）
A．B．C．D．
48．如图，矩形中，，，为边上一点（不与、重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是（ ）
A．4B．C．D．
49．如图，点为正方形内部一点，，，点为边上一点，且，连接、，则面积的最小值为 ．
50．如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 ．
【拓展训练三 圆心角、圆周角的辅助线添加问题】
51．如图， 是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在上，连接，若 ，则（ ）
A．B．C．D．
52．如图，是的直径，为上的点，且，连接．若弦，则直径的长为（ ）
A．3B．6C．6D．6
53．如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于 度
54．如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ．
55．如图，正方形内接于，为弧中点，连接．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求点到的距离．
1．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的直径，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，内接于，，是的半径，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
3．（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·浙江·二模）如图，内接于，为的直径，作的平分线交于点，连结．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，为的直径，是弦，将弧绕着点A按逆时针方向旋转得到弧，点D恰好落在上，弧与相交于点E，若，则的长为（ ）
A．4B．3C．D．
6．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，四边形内接于，其中，已知对角线过点O，对角线与相交于点E且，则（ ）
A．B．C．D．3
7．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知的一条弦把圆的周长分成的两个部分，则弦所对的弧的度数为 ．
8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是
9．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，一把三角尺，，．将其放置在量角器上，点O与圆心重合，若三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点C是斜边与量角器边缘的交点，若B点的对应刻度为，则C点的对应刻度为 ．
10．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，为的直径，且，为上异于的一点．现将劣弧沿直线折叠，若弧与直径交于点，，则的长 ．
11．（2025·浙江杭州·一模）如图，等腰内接于，，将折叠至，使点D落在上．若过点O，则 ．
12．（2025·浙江舟山·三模）如图，的半径为2，现将含的直角三角板中的角的顶点在圆弧上进行滑动，并始终保持斜边和长直角边与圆弧相交于点和点，并作交的延长线于点，则的最大面积是
13．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：C是的中点．
14．（23-24九年级上·重庆綦江·期末）如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，垂足为．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求圆O的半径长．
15．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，点是上的点，且，分别与，相交于点．
(1)求证：点D为的中点．
(2)若，求的半径长度．
16．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，是直径，弦于点，过点作的垂线，交的延长线于点，垂足为点，连结．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
17．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，弦，于E，于H．
(1)求证：．
(2)若的半径为5，，，求的长．
18．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，半圆中，点是的中点，点在直径上，且，半径交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
19．（2025·浙江丽水·二模）如图，内接于，直径交于点，已知．
(1)求证：．
(2)设的度数为，求的度数（用含的代数式表示）．
(3)若，求的值．
20．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为的直径，点A在上且，为上的一点，连接，过A作于点，交于点，交于点，连接并延长交于点，连．
(1)请判断的形状，并说明理由．
(2)求证：平分．
(3)当时，求与的面积之比．