专题08 圆的基本概念-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（浙教版）

这是一份专题08 圆的基本概念-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（浙教版），文件包含专题08圆的基本概念5知识点+8大题型+3大拓展训练+过关测原卷版docx、专题08圆的基本概念5知识点+8大题型+3大拓展训练+过关测解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共95页， 欢迎下载使用。
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：8大核心考点精准练+3大拓展训练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1：圆的定义
1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。
（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。
（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。
【即时训练】
1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆B．长度相等的弧是等弧
C．弦是直径D．在一个圆中，直径是最长的弦
2．（24-25九年级下·浙江温州·阶段练习）下列说法：①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦，其中正确的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）下列说法中正确的有 （填序号）．
①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；
④面积相等的两个圆是等圆．
知识点2：弦、弧、圆心角
1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．
2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作 EQ \O(\s\up6(⌒),AB)，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．
5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
6．顶点在圆心的角叫做圆心角．
【即时训练】
4．（23-24九年级上·浙江衢州·期末）已知的半径3，则中最长的弦长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（ ）
A．弧是半圆B．半圆是圆中最长的弧
C．直径是弦D．弦是直径
6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，图中的直径有 ，非直径的弦有 ；图中以为端点的弧中，优弧有 ，劣弧有 ．
知识点3：点和圆的位置关系
注意：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。
（2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。
【即时训练】
7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知⊙O的半径为3，点M到圆心O的距离为1.5，则点M在（ ）
A．圆外B．圆上C．圆内D．不能确定
8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）的圆心是原点，半径为13，点在上，那么 ．
9．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由．
知识点4：过已知点作圆
注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；
⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．
【即时训练】
10．（21-22九年级上·浙江绍兴·期末）如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（ ）
A．优弧B．劣弧C．半圆D．无法判断
11．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，外接圆的圆心坐标是（ ）
A．(5，2)B．(2，3)C．(1，4)D．(0，0)
12．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
知识点5：三角形的外接圆
⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
⑵三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
【即时训练】
13．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）过三点，，的圆的圆心坐标为 ．
14．（22-23九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 ，， ．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ．
15．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ．

【题型1 圆的基本概念辨析】
1．下列语句中正确的是（ ）
A．直径是经过圆心的直线B．经过圆心的线段是半径
C．半圆是弧D．以直径为弦的弓形是半圆
2．下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．以点为圆心B．以长为半径
C．以点为圆心，长为半径D．经过已知点
3．早在两千多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读yuan），一中同长也”，这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中“定长”指的是 ．
4．《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．
下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是 （填写所有正确选项的序号）．
①圆是轴对称图形；
②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等；
③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上；
④圆中垂直于弦的直径平分弦．
5．下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有 ．（填序号）
【题型2 圆中弦的相关概念】
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．圆中最长的弦是经过圆心的弦
C．一条弦把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧
D．平分弦的直径垂直于弦
7．已知是的弦，若的半径为，则弦的长不可能为（ ）
A．B．C．D．
8．直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是 ．
9．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个．
10．如图，是的弦，是上一点，且，．求的度数．
【题型3 圆的周长和面积】
11．火星和地球的赤道可以近似地看作一个圆，其中火星赤道的半径是地球的，若把它们的半径都增加，则赤道周长增加更多的是（ ）
A．地球B．火星C．一样多D．无法确定
12．适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（ ）

A．B．C．D．
13．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍B．14倍C．9倍D．3倍
14．如图，某圆形餐桌中央的正方形桌垫的面积为4平方米，则餐桌的面积为 平方米．
15．如图，两个同心圆组成的圆环面积是16，则以圆心O为一个顶点，分别以两圆半径为边长作正方形和正方形，点D在OA上，点F在OC上，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）
【题型4 点和圆的位置关系】
16．在中，，，以为圆心，长为半径画圆，则点和的位置关系，下列说法正确的是（ ）
A．点在外B．点在上
C．点在内D．无法确定
17．在直角坐标平面内，点是坐标原点，点的坐标是，点的坐标是．如果以点为圆心，为半径的圆与直线相交，且点中有一点在圆内，另一点在圆外，那么的值可以取（ ）
A．4B．4.5C．5D．5.5
18．如图，已知矩形的边，现以点为圆心作圆，如果至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么半径的取值范围是 ．
19．已知的半径，点到圆的最近距离为，则点到圆的最远距离为 ；若点到的最近距离为，则点与圆的位置关系是 （填“在圆外、在圆上或在圆内”）．
20．在平面直角坐标系内，以原点为圆心，5为半径作，已知三点的坐标分别为，，．试判断三点与的位置关系．
【题型5 三角形的外接圆】
21．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A．点B．点C．点D．点
22．已知：不在同一直线上的三点．求作，使它经过点．
作法：如图，（1）连接，作线段的垂直平分线；
（2）连接，作线段的垂直平分线，交于点；
（3）以为圆心，长为半径作．就是所求作的圆．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（ ）
A．连接，则点是的内心
B．
C．连接，则不是的半径
D．若连接，则点在线段的垂直平分线上
23．三角形的外心是（ ）
A．三角形三边垂直平分线的交点B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三边高线的交点D．三角形三条中线的交点
24．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 ，， ．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ．
25．下面是证明定理的两种方法，选择其中一种完成证明．
【题型6 求三角形外心坐标与半径】
26．如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（ ）
A．这条圆弧所在圆的半径为B．点在这条圆弧所在圆外
C．原点在这条圆弧所在圆上D．这条圆弧所在圆的圆心为
27．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（ ）
A．B．C．D．
28．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（ ）
A．8B．C．D．4
29．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，是的外接圆，则圆心的坐标为 ．
30．已知：如图，△ABC．

(1)求作：△ABC的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若△ABC是直角三角形，则其外接圆的圆心在 ；
(3)若△ABC是边长为6的等边三角形，其外接圆的圆心O到BC边的距离为，求其外接圆的面积．
【题型7 确定圆的条件】
31．下列说法中正确的是（ ）
A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆
B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆
C．经过三个定点，只能作一个圆
D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆
32．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等．
A．4个B．3个C．2个D．1个
33．如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是 ．
34．在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
35．已知直线l：y=x+4，点A（0，2），点B（2，0），设点P为直线l上一动点，当P的坐标为 时，过P，A，B三点不能作出一个圆．
【题型8 尺规作图确定圆心】
36．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么点在这条圆弧所在圆的（ ）.
A．内部B．外部C．圆上D．不能确定
37．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为(－3，5)，B点的坐标为(1，5)，C点的坐标为(4，2)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ．
38．如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
39．如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），写出圆心M点的坐标 ．
40．如图，在平面直角坐标系中，，，， 经过，， 三点．

(1)点 的坐标为 ．
(2)判断点 与 的位置关系．
【拓展训练一 计算圆的半径问题】
41．如图，在半径为的扇形中，正方形的顶点A，B，D在半径上，顶点在弧上，．则正方形的边长为（ ）
A．B．C．D．
42．如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（ ）
A．B．2C．D．
43．如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（ ）
A．B．2C．D．
44．如图，正方形的边长为6，以边上的动点O 为圆心，为半径作圆，将 沿翻折得到，若过一边上的中点，则的半径为 ．
45．如图，正方形的边长为2，以边上的动点O为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的直径为 ．
【拓展训练二 尺规作圆综合】
46．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系．
(1)圆心的坐标为______；
(2)求的半径；
(3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明理由．
47．如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________．
48．在如图所示的平面直角坐标系中．

(1)作出关于原点对称的
(2)作出关于y轴对称的
(3)用尺规作图的方法确定下列圆弧所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）．
49．请解答下列各题：
（1）如图1，如图，所在的直线垂直平分线，利用这样的工具，最少使用几次就可以找到圆形工件的圆心；
（2）如图2，有一块破碎的圆形残片，请你用直尺和圆规找出它的圆心．（保留作图痕迹）．
50．如图，在的网格中有一个圆，请仅用无刻度直尺作图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中，圆过格点，，请作出圆心；
（2）在图2中，⊙的两条弦，请作一个圆周角．
【拓展训练三 圆的最值问题（隐圆）】
51．如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（ ）
A．10B．9C．8D．
52．如图，在正方形中，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是（ ）．
A．B．3C．D．
53．如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接．则线段的最大值是（ ）
A．2B．C．D．
54．如图，矩形的边为上的点，是矩形内部一动点，且满足为边上的一个动点，连接，则的最小值为 ．
55．如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是 ．
1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（ ）
A．点在内B．点在上
C．点在外D．点在上或外
2．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25九年级上·天津·期中）如图，在中，，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，连接，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·山东威海·一模）如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并且放大后的示意图，四边形是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·河南南阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点为圆心，的长为半径作圆，是⊙O上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接．若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第33秒时，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25九年级下·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，已知，，是边上一动点（点不与点，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为（ ）
A．B．C．7D．8
7．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ．
8．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点E，已知， ，则 ．
9．（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为 ．

10．（2025·甘肃陇南·三模）已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积为 ．
11．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是
12．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知抛物线与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点为以为直径的上一动点，为的中点，则的最小值为 ．
13．（2024·山东青岛·二模）已知：如图，．求作：以为弦的，使到和的距离相等．
14．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明．
15．（21-22六年级上·黑龙江大庆·期末）求阴影部分的周长．（单位：cm）（若涉及时不取近似值，用表示既可）
16．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，是的半径，点C在上，，求的度数．
17．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且．
(1)与相等吗？为什么？
(2)若、、三点在同一直线上，，，求的度数．
18．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）如图，是的直径，是的弦，，的延长线相交于点，若，．求和的度数．
19．（2025·江苏南京·二模）从一块矩形铁皮余料中剪一个面积最大的半圆，半圆的半径为．
(1)当时，的值为 ．
(2)当，时，对于每一个确定的的值，都能剪出一个面积最大的半圆．请画出不同情形的示意图，并写出对应的的取值范围及的值．
20．（24-25九年级下·全国·期中）已知矩形的边，．
(1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系；
(2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围．
名称
概念
注意
图示
弦
连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦”
直径是圆中最长的弦不一定是直径
直径
经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径”
但弦不一定是直径
弧、
半圆、
劣孤、
优弧
圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中
半圆是弧，但弧不一定
是半圆
等圆
能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等
等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关
等弧
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤
长度相等的孤不一定是等孤
点和圆的
位置关系
点到圆心的距离与半径的关系
图示
文字语言
符号语言
点在圆内
圆内各点到圆心的距离都小于半径，
到圆心的距离小于半径的点都在圆内
点在圆内
点在圆上
圆内各点到圆心的距离都等于半径，
到圆心的距离等于半径的点都在圆上
点在圆上

点在圆外
圆内各点到圆心的距离都大于半径，
到圆心的距离大于半径的点都在圆外
点在圆外

条件
类别
过一点作圆
过两点作圆
过不在同一条直
线上的三点作圆
理论
依据
经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个
经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个
经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个
圆形
结论
不在同一条直线上的三个点确定一个圆
证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：如图，在中，，是斜边上的中线，求证：．

方法1：利用矩形判定和性质证明．

方法2：利用圆的性质证明．