(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第12讲 圆周角定理+课后巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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\l "_Tc24819" 【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】 PAGEREF _Tc24819 \h 2
\l "_Tc32120" 【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】 PAGEREF _Tc32120 \h 5
\l "_Tc2689" 【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】 PAGEREF _Tc2689 \h 9
\l "_Tc21132" 【题型4 翻折中的圆周角的运用】 PAGEREF _Tc21132 \h 13
\l "_Tc10283" 【题型5 利用圆周角求最值】 PAGEREF _Tc10283 \h 18
\l "_Tc27772" 【题型6 圆周角中的证明】 PAGEREF _Tc27772 \h 22
\l "_Tc9392" 【题型7 圆周角中的多结论问题】 PAGEREF _Tc9392 \h 28
\l "_Tc11917" 【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】 PAGEREF _Tc11917 \h 32
\l "_Tc29627" 【题型9 圆周角与量角器的综合运用】 PAGEREF _Tc29627 \h 37
\l "_Tc19793" 【题型10 利用圆周角求取值范围】 PAGEREF _Tc19793 \h 40
【知识点1 圆周角定理及其推论】
【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】
【例1】如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且∠ABC＝78°，则∠AOD的度数为（ ）
A．12°B．22°C．24°D．44°
【分析】利用圆周角定理求出∠AOC＝156°，可得结论．
【解答】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝78°，∴∠AOC＝156°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝24°，
故选：C．
【变式1-1】如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．130°
【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC＝50°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC，进而可以得到答案．
【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°，∵∠DOE＝130°，∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，故选：B．
【变式1-2】如图，点A，B，C在⊙O上，∠1＝40°，∠C＝25°，则∠B＝（ ）
A．100°B．70°C．55°D．65°
【分析】根据圆周角定理得出∠BOC＝2∠1＝80°，根据三角形内角和定理得出∠1+∠B+∠ADB＝180°，∠C+∠BOC+∠ODC＝180°，求出∠1+∠B＝∠BOC+∠C即可．
【解答】解：设OB交AC于D，
∵∠1＝40°，∴∠BOC＝2∠1＝80°，
∵∠1+∠B+∠ADB＝180°，∠C+∠BOC+∠ODC＝180°，∠ADB＝∠ODC，
∴∠1+∠B＝∠BOC+∠C，∵∠C＝25°，∴40°+∠B＝80°+25°，∴∠B＝65°，故选：D．
【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】
【例2】如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，CE⊥AB于点E，若∠D＝48°，则∠1＝（ ）
A．42°B．45°C．48°D．52°
【分析】连接AC，根据圆周角定理得出∠A＝∠D＝48°，∠ACB＝90°，求出∠ABC，根据垂直求出∠CEB，再求出∠1即可．
【解答】解：连接AC，
由圆周角定理得：∠A＝∠D，∵∠D＝48°，∴∠A＝48°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝42°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴∠1＝90°﹣∠ABC＝48°，故选：C．
【变式2-1】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为（ ）
A．70°B．65°C．50°D．45°
【分析】先根据三角形的内角和定理可得∠B＝25°，由垂径定理得：AC=AD，最后由圆周角定理可得结论．
【解答】解：∵OF⊥BC，∴∠BFO＝90°，∵∠BOF＝65°，∴∠B＝90°﹣65°＝25°，
∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，∴AC=AD，∴∠AOD＝2∠B＝50°．故选：C．
【变式2-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且CE=CD，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（ ）
A．92°B．108°C．112°D．124°
【分析】连接OD，根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠DOC＝∠EOC，根据直角三角形的两锐角互余得出∠B＝90°﹣∠A＝36°，根据圆周角定理求出∠DOC＝2∠B＝72°，求出∠EOC＝∠DOC＝72°，再根据四边形的内角和等于360°求出即可．
【解答】解：解法一、连接OD，
∵CD=CE，∴∠DOC＝∠EOC，∵∠ACB＝90°，∠A＝54°，∴∠B＝90°﹣∠A＝36°，
∴∠DOC＝2∠B＝72°，∴∠EOC＝∠DOC＝72°，∵OE⊥EF，∴∠OEF＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠BCF＝90°，
∴∠F＝360°﹣∠OEF﹣∠BCF﹣∠EOC＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°；
解法二、∵∠ACB＝90°，∠A＝54°，∴∠B＝90°﹣∠A＝36°，
∵DC=CE，∴∠COE＝2∠B＝72°，∵OE⊥EF，∴∠OEF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCF＝90°，
∴∠F＝360°﹣∠OEF﹣∠BCF﹣∠EOC＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°；故选：B．
【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】
【例3】如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（ ）
A．4B．5C．3D．23
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，∠CAB＝∠D＝60°，求出∠ABC＝90°﹣∠CAB＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质求出AB＝2AC＝4，再根据勾股定理求出BC即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠D＝60°，∴∠CAB＝∠D＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝30°，∵AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∴BC=AB2−AC2=42−22=23，故选：D．
【变式3-1】如图，已知以△ABC的边AB为直径的⊙O经过点C，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD．若∠BAC＝36°，则∠ODB的度数为（ ）
A．32°B．27°C．24°D．18°
【分析】设AC与OD相交于点E，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而求出∠ABC＝54°，再根据垂直定义可得∠AEO＝90°，从而可得OD∥BC，然后利用等腰三角形和平行线的性质可得BD平分∠ABC，即可解答．
【解答】解：设AC与OD相交于点E，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝36°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝54°，∵OD⊥AC，∴∠AEO＝90°，
∴∠AEO＝∠ACB＝90°，∴OD∥BC，∴∠ODB＝∠DBC，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠DBC=12∠ABC＝27°，∴∠ODB＝∠OBD＝27°，故选：B．
【变式3-2】在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA的度数．
【分析】（1）过点O作OE⊥AC于E，由垂径定理可知AE=12AC=12×2＝1，根据翻折后点D与圆心O重合，可知OE=12r，在Rt△AOE中，根据勾股定理可得出r的值；
（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到ADC所对的圆周角，然后根据∠ACD等于ADC所对的圆周角减去CD所对的圆周角，计算即可得解．
【解答】解：（1）如图1，过点O作OE⊥AC于E，则AE=12AC=12×2＝1，∵翻折后点D与圆心O重合，
∴OE=12r，在Rt△AOE中，AO2＝AE2+OE2，即r2＝12+（12r）2，解得r=233；
（2）连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝25°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣25°＝65°，根据翻折的性质，AC所对的圆周角为∠B，ABC所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B＝180°，∴∠B＝∠CDB＝65°，
∴∠DCA＝∠CDB﹣∠A＝65°﹣25°＝40°．
【题型4 翻折中的圆周角的运用】
【例4】如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD，若∠BAC＝25°，则∠BDC的度数为（ ）
A．45°B．55°C．65°D．70°
【分析】解法一、补齐翻折后的弧为圆⊙P，根据圆周角定理得出BC=DC，求出∠BDC＝∠DBC，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，再求出∠ABC即可；解法二、过D作DE⊥AC于E，延长DE交⊙O于F，连接AF、CF、BC，根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，根据翻折变换得出∠FAC＝∠BAC＝25°，∠DCA＝∠FCA，根据圆内接四边形的性质得出∠BAF+∠BCF＝180°，求出∠ACF＝40°，求出∠ACD＝∠ACF＝40°，再根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】解：解法一、补齐翻折后的弧为圆⊙P
则⊙O和⊙P为等圆，∵∠BAC在⊙O和⊙P中分别对应弧BC和弧DC，
∴BC=DC（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等），∴BC＝DC，∴∠BDC＝∠DBC，
∵AB为⊙O直径，∴∠DBC＝90°﹣∠BAC＝65°，∴∠BDC＝65°；
解法二、过D作DE⊥AC于E，延长DE交⊙O于F，连接AF、CF、BC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD，∠BAC＝25°，
∴∠FAC＝∠BAC＝25°，∠DCA＝∠FCA，∵点A、F、C、B四点共圆，
∴∠BAF+∠BCF＝180°，∴25°+25°+90°+∠ACF＝180°，解得：∠ACF＝40°，
即∠ACD＝∠ACF＝40°，∵∠BAC＝25°，∴∠BDC＝∠BAC+∠ACD＝25°+40°＝65°，故选：C．
【变式4-1】已知⊙O的直径AB长为10，弦CD⊥AB，将⊙O沿CD翻折，翻折后点B的对应点为点B′，若AB′＝6，CB′的长为（ ）
A．45B．25或45C．25D．25或43
【分析】分点B'在线段AB上，点B'在BA延长线上两种情况讨论，根据勾股定理可求MB'的长度．
【解答】解：①如图1中：当点B'在线段AB上，连接OC．
∵AB＝10，AB'＝6，∴AO＝BO＝5＝OC，BB'＝4，∴B'O＝1，∵B，B′关于CD对称，∴BE＝B'E＝2，
∴OE＝OB′+EB′＝3，在Rt△OCE中，CE2＝OC2﹣OE2＝25﹣9＝16，
在Rt△B'CE中，B'C=EC2+EB'2=42+22=25．
②若点B'在BA的延长线上，连接OC，
∵AB'＝6，AB＝10，∴B'B＝16，AO＝BO＝OC＝5，∵B，B′关于CD对称，∴B'E＝BE＝8，
∴OE＝BE﹣BO＝3，在Rt△CEO，CE2＝CO2﹣OE2＝25﹣9＝16，
在Rt△B'CE中，B'C=EC2+EB'2=16+82=45，综上所述B'C＝25或45，故选：B．
【题型5 利用圆周角求最值】
【例5】如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝2，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据轴对称的性质得到：点N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于P，此时PM+PN最小，即△PMN周长的最小，利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质进行计算即可．
【解答】解：如图，作点N关于AB的对称点N′，则点N′在⊙O上，连接MN′交AB于P，此时PM+PN最小，即PM+PN＝MN′，
∵点N是BM的中点，∠BAM＝20°，∴MN=NB=BN'，∴∠BAN′＝10°，
∴∠MAN′＝20°+10°＝30°，∴∠MON′＝60°，∴△MON′是正三角形，
∴OM＝ON′＝MN′=12AB＝4，又∵MN＝2，∴△PMN周长的最小值为2+4＝6，故选：C．
【变式5-1】如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 6 ．
【分析】如图，由题意当AD⊥BC时，⊙O的半径最小，因为∠EAF＝60°，是定值，所以此时EF的值最小．
【解答】解：如图，∵∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，∴BAC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
由题意当AD⊥BC时，⊙O的半径最小，∵∠EAF＝60°，是定值，∴此时EF的值最小，
过OD的中点K作MN⊥AD交⊙O于M、N，连接ON、AN、AM，则△AMN是等边三角形，
在Rt△ABD中，∠ABC＝45°，AB＝4，∴AD＝BD＝22，∴OK＝KD=22，ON=2，
在Rt△ONK中，NK＝KM=ON2−OK2=62，∴MN=6，∴∠EAF＝∠MAN＝60°，∴EF=MN，
∴EF＝MN=6，∴EF的最小值为6，故答案为：6．
【变式5-2】如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
【分析】作点D关于AB的对称点为D′，连接OC，OD，OD′，CD′，交AB于点E，则CE+DE的最小值就是CD′的长度，根据已知易证∠COD′＝90°，然后利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：作点D关于AB的对称点为D′，连接OC，OD，OD′，CD′，交AB于点E，
∴DE＝D′E，∴CE+DE＝CE+D′E＝CD′，∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
∵D为BC的中点，∴CD=DB，∵DB=BD'，∴CD=DB=DB'，∴∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，∵AB＝2，∴OC＝OD′＝1，∴CD′=OC2+OD'2=12+12=2，
∴CE+DE最小值为：2，故选：B．
【题型6 圆周角中的证明】
【例6】如图1．在⊙O中AB＝AC，∠ACB＝70°，点E在劣弧AC上运动，连接EC，BE，交AC于点F．
（1）求∠E的度数；
（2）当点E运动到使BE⊥AC时，连接AO并延长，交BE于点D，交BC于点G，交⊙O于点M，依据题意在备用图中画出图形．并证明：G为DM的中点．
【分析】（1）求出∠A＝40°，利用圆周角定理解决问题即可；
（2）证明BD＝BM，BG⊥DM，利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．
【解答】（1）解：如图1中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°﹣2×70°＝40°，
∵弧BC＝弧BC，∴∠BEC＝∠BAC＝40°；
（2）证明：依据题意画图如下：
连接BM，CM．∵AB＝AC，∴AB=AC，又∵AM=AM，∴BM=CM，
∴BM＝CM，AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝20°，∴∠MBC＝∠CAM＝20°，
∵BE⊥AC，AM⊥BC，∴∠BGD＝∠AFD＝90°，∴∠BDG＝∠ADF＝70°，
∵AB=AB，∴∠BMA＝∠ACB＝70°，∴∠BMA＝∠BDG＝70°，∴BD＝BM，
又∵BG⊥DM，∴GD＝GM，即点G为DM的中点．
【变式6-1】如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝210，求BC的长．
【分析】（1）由角平分线的定义可知，∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC，所以∠BED＝∠DBE，所以BD＝ED，因为AB为直径，所以∠ADB＝90°，所以△BDE是等腰直角三角形．
（2）连接OC、CD、OD，OD交BC于点F．因为∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．所以BD＝DC．因为OB＝OC．所以OD垂直平分BC．由△BDE是等腰直角三角形，BE＝210，可得BD＝25．因为OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（25）2﹣（5﹣t）2，解出t的值即可．
【解答】解：（1）△BDE为等腰直角三角形．理由如下：
∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，∴∠BED＝∠DBE．∴BD＝ED．
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．∴BD＝DC．∵OB＝OC．∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝210，∴BD＝25．∵AB＝10，∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（25）2﹣（5﹣t）2，解得t＝3，
∴BF＝4．∴BC＝8．
另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△MBG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝45，AD＝45，再根据面积相等求得BC．
【题型7 圆周角中的多结论问题】
【例7】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，AC=CD=DB，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①错误，证明∠EOB＝∠BOD＝60°即可；
②正确．证明∠CED＝30°，可得结论；
③错误，M是动点，DM不一定垂直CE；
④正确，连接EM，证明ME＝MD，推出MC+MD＝MC+ME≥CE＝10，可得结论．
【解答】解：∵AC=CD=DB，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
∵E，D关于AB对称，∴∠EOB＝∠BOD＝60°，故①错误，
∵∠CED=12∠COD＝30°，∴∠DOB＝2∠CED，故②正确，
∵M是动点，∴DM不一定垂直CE，故③错误，
连接EM．则ME＝MD，∴CM+DM＝MC+ME≥CE＝10，故④正确，故选：B．
【变式7-1】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD与BC，OC分别相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF＝DF；⑤△CEF≌△BED．其中一定成立的结论是 ①③④ ．（填序号）
【分析】①由直径所对圆周角是直角，
②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，
③由平行线得到∠OCB＝∠DBC，再由同圆的半径相等得到结论判断出∠OBC＝∠DBC；
④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；
⑤得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．
【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，故①正确；
②∵∠AEC＝∠ABC+∠A，∠AOC＝∠ABC+∠C，根据图形及已知不能推出∠C＝∠A，
∴∠AOC≠∠AEC，故②不正确；
③∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠DBC，∴BC平分∠ABD，故③正确；
④∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵OC∥BD，∴∠AFO＝90°，
∵点O为圆心，∴AF＝DF，故④正确；
⑤∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，故⑤不正确；
综上可知：其中一定成立的有①③④，故答案为：①③④．
【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】
【例8】如图，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C在y轴正半轴上，且∠ACB＝45°，则点C的坐标为（ ）
A．（0，7）B．（0，210）C．（0，6）D．（0，35）
【分析】在x轴的上方作等腰直角△ABF，FB＝FA，∠BAF＝90°，以F为圆心，FA为半径作⊙F交y轴于M，首先证明点C即为点M，根据FC=522，构建方程即可解决问题．
【解答】解：在x轴的上方作等腰直角△ABF，FB＝FA，∠BAF＝90°，以F为圆心，FA为半径作⊙F交y轴于M，
∵∠ACB=12∠AFB＝45°，∴点C即为点M，∵A（﹣2，0），B（3，0），△ABF是等腰直角三角形，∴F（12，52），FA＝FB＝FC=522，设C（0，m），则（12）2+（52−m）2＝（522）2，解得m＝6或﹣1（舍弃），∴C（0，6），故选：C．
【变式8-1】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．若∠ABC＝112°，则∠ADC＝ 124 °．
【分析】根据AB＝BD＝BC得出A、D、C在以B为圆心，以AB为半径的圆上，作圆周角∠AEC，根据圆周角定理得出∠E=12∠ABC＝56°，根据圆内接四边形的性质得出∠ADC+∠E＝180°，再求出答案即可．
【解答】解：∵AB＝BD＝BC，
∴A、D、C在以B为圆心，以AB为半径的圆上，
如图，作圆周角∠AEC，
∵∠ABC＝112°，∴∠E=12∠ABC＝56°，∵四边形ADCE是⊙B的圆内接四边形，
∴∠ADC+∠E＝180°，∴∠ADC＝180°﹣56°＝124°，故答案为：124．
【题型9 圆周角与量角器的综合运用】
【例9】以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边AB重合．点D为斜边AB上一点，作射线CD交弧AB于点E，如果点E所对应的读数为50°，那么∠BDE的大小为（ ）
A．100°B．110°C．115°D．130°
【分析】由圆周角定理得出∠ACE＝25°，进而得出∠BCE＝65°，再由外角的性质得出∠BDE＝∠BCE+∠CBD，代入计算即可得出答案．
【解答】解：如图，连接OE，
∵点E所对应的读数为50°，∴∠AOE＝50°，∵AB为直径，∠ACB＝90°，∴点C在⊙O上，
∴∠ACE=12∠AOE=12×50°＝25°，∴∠BCE＝90°﹣25°＝65°，
∵∠BDE是△BDC的外角，∴∠BDE＝∠BCE+∠DBC＝65°+45°＝110°，故选：B．
【变式9-1】将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点O在半圆圆心上，点B在半圆上，边AB，AO分别交半圆于点C，D，点B，C，D对应的读数分别为160°、72°、50°，则∠A＝ 24° ．
【分析】以EF为直径作半圆，延长BO交圆于M，连接OC，根据已知度数求出∠BOA、∠BOF、∠AOB的度数，根据圆周角定理求出∠B，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：如图，以EF为直径作半圆，延长BO交圆于M，连接OC，
∵点B，C，D对应的读数分别为160°、72°、50°，
∴∠BOA＝160°﹣50°＝110°，∠BOF＝180°﹣160°＝20°，∠COE＝72°，
∴∠COM＝72°+20°＝92°，∴∠B=12∠COM＝46°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠AOB＝180°﹣110°﹣46°＝24°．故答案为：24°．
【变式9-2】如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为50°，则∠BCD的度数为 65° ．
【分析】根据圆周角定理分别求出∠ACB、∠ACD，计算即可．
【解答】解：由圆周角定理可知，∠ACD=12×50°＝25°，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝65°，故答案为：65°．
课后巩固练习
1.如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC＝70°，则∠ABD＝( )
A.20° B.46° C.55° D.70°
【答案】C.
2.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是( )
A.OC∥BD B.AD⊥OC C.△CEF≌△BED D.AF＝FD
【答案】C
3.如图，△ABC内接于⊙O，BA＝BC，∠ACB＝25°，AD为⊙O的直径，则∠DAC度数是( )
A.25° B.30° C.40° D.50°
【答案】C
4.如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC＝54°，连接AE，则∠AEB的度数为( )
A.36° B.46° C.27° D.63°
【答案】A.
5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠B＝30°，AC＝eq \r(3)，则⊙O的直径为( )
A.1 B.eq \r(3) C.2 D.2eq \r(3)
【答案】D.
6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB.若∠ABD＝65°，则∠ADC＝ .
【答案】答案为：25°.
7.如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠BCD＝40°，则∠ABD度数为 .
【答案】答案为：50°.
8.如图，AB是⊙O直径，点D在⊙O上，∠BOD＝130°，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B＝ .
【答案】答案为：40°.
9.如图，△ABC的顶点A，B，C在⊙O上，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC的长为 .
【答案】答案为：2eq \r(2).
10.如图，圆O的直径AB为13cm，弦AC为5cm，∠ACB的平分线圆O于D，则CD长是______cm.
【答案】答案为：eq \f(17,2)eq \r(2).
11.如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长.
【答案】解：∵AB是直径
∴∠ACB＝∠ADB＝90°
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，AB＝10cm，AC＝6cm
∴BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64
∴BC＝8(cm)
又CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴弧AD＝弧BD
∴AD＝BD
又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2
∴AD2＋BD2＝102
∴AD＝BD＝5eq \r(2)(cm).
12.如图，点D是等腰△ABC底边的中点，过点A、B、D作⊙O．
(1)求证：AB是⊙O的直径；
(2)延长CB交⊙O于点E，连结DE，求证：DC＝DE．
【答案】(1)证明：连接BD，
∵BA＝BC，AD＝DC，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴AB是⊙O的直径；
(2)证明：∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
由圆周角定理得，∠A＝∠E，
∴∠C＝∠E，
∴DC＝DE．
第12讲 圆周角定理 随堂检测
1.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是( )

【答案】B.
2.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝40°，则∠B的度数为( )
A.80° B.60° C.50° D.40°
【答案】C.
3.如图，已知⊙O是△ABD外接圆，AB是⊙O直径，CD是⊙O弦，∠ABD＝58°，则∠BCD等于( )
A.116° B.64° C.58° D.32°
【答案】D
4.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，则该圆玻璃镜的半径是( )
A.eq \r(10)cm B.5cm C.6cm D.10cm
【答案】B.
5.如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC＝54°，连接AE，则∠AEB的度数为( )
A.36° B.46° C.27° D.63°
【答案】A.
6.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝54°，则∠BAC的度数等于 .
【答案】答案为：36°.
7.如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上两点，连接AC、CD、BD，若CA＝CD，∠ACD＝80°，则∠CAB＝ .
【答案】答案为：40°.
8.如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB＝5，BC＝3，则圆心O到弦BC的距离是 .
【答案】答案为：2.
9.如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是____.
【答案】答案为：eq \r(13).
10.如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为 .
【答案】答案为：61°.
11.如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证：DE＝DB；
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径.
【答案】证明：(1)∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，
∴，
∴∠DBC＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠BAE，
∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝DB；
(2)解：连接CD，如图所示：
由(1)得：，
∴CD＝BD＝4，
∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝4eq \r(2)，
∴△ABC外接圆的半径＝eq \f(1,2)×4eq \r(2)＝2eq \r(2).
12.如图，已知点A，B，C，D均在⊙O上，CD为∠ACE的平分线.
(1)求证：△ABD为等腰三角形；
(2)若∠DCE＝45°，BD＝6，求⊙O的半径.
【答案】解：(1)证明：
∵CD平分∠ECA，
∴∠ECD＝∠DCA.
∵∠ECD＋∠DCB＝180°，∠DCB＋∠BAD＝180°，
∴∠ECD＝∠DAB.
又∵∠DCA＝∠DBA，
∴∠DBA＝∠DAB.
∴DB＝DA.
∴△ABD是等腰三角形.
(2)∵∠DCE＝∠DCA＝45°，
∴∠ECA＝∠ACB＝90°.
∴∠BDA＝90°.
∴AB是直径.
∵BD＝AD＝6，
∴AB＝6eq \r(2).
∴⊙O的半径为3eq \r(2).
圆周角定理
定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半
是所对的圆心角，
是所对的圆周角，
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
和都是所对的圆周角
推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径
是的直径
是所对的圆周角
是所对的圆周角

是的直径