高中数学人教版新课标B必修2圆的一般方程教案及反思

这是一份高中数学人教版新课标B必修2圆的一般方程教案及反思，共8页。教案主要包含了情景导入，师生互动等内容，欢迎下载使用。
师：上一节我们学习了圆的标准方程请同学们说出以点(a，b)为圆心且半径是r的圆的标准方程．
生：(x-a)2+(y-b)2=r2．
【引导】
师：前面我们学习过直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式,我们知道前四种方程形式不能表示所示的直线，而一般式方程能表示所有的直线它的方程形式是Ax+By+C=0吗？
生：不是还缺少条件A2+B2≠0．
师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？这个一般方程要表示所在圆的方程有没有和直线的一般方程类似的限制条件呢？这就是这一节我们将要学习的直线的一般方程。（书写课题圆的一般方程）
新知探究（一）
【引导】
师：圆是否有一般方程？对于这个知识的探求我们可以从我们认识和研究一般问题的思维方法入手，我们知道我们对于一个新的问题的学习和研究常常按照由特殊到一般的思路来解决的．如探求直线方程的一般形式就是通过把直线方程的特殊形式如点斜式，两点式……，展开整理而得到的．运用这种思路请同学们研究一下圆的一般方程的表达式是什么？
生：思考并讨论。回想直线一般方程的推导过程并仿照直线方程把标准形式展开并整理。
师:（多媒体投影）
已知圆的标准方程将标准方程展开得：．令，此时原方程变为．(*)
【师生互动】
师：方程是由圆的标准方程得到的，通过对圆的标准方程的学习我们知道任意一个圆的方程都可以用圆的标准方程表示，也就是说只要是圆的方程就可以写成(*)的形式．那么能否下结论：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程？
生：观察并分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0产生过程，并与同桌一起讨论并探究。
师：巡视指导，并根据学生的实际情况及时点拔，以使学生形成正确的思路，如：“为什么直线的一般方程必须加条件A2+B2≠0？”“圆的标准方程展开后方程的形式是x2+y2+Dx+Ey+F=0，是否说明方程x2+y2+Dx+Ey+F=0反过来一定能表示成圆的标准方程的形式？”
生：不一定．还得考虑：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式．也可以像直线方程一样，要有一定条件．
师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？
生：配方．
师：请大家动手做，看看能否配成标准形式？
生：分小组展开讨论，并由小组长进行总结。
师：（多媒体投影）
(*)按圆的标准方程的形式进行配方得
（1）
（1）当D2+E2-4F＞0时，比较(1)式和圆的标准方程知：(*)式表示以为圆心以为半径的圆。
（2）当时，(*)式只有一个实数解，故此时方程表示一个点.
（3）当D2+E2-4F＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形．
故当D2+E2-4F＞0时，我们把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程．
【师生互动】
师：由刚才的学习我们知道圆的一般方程是一个关于x、y的二元二次方程，那么关于x、y的二元二次方程一定表示圆吗？若不一定那么方程还应满足的条件是什么？
生：观察投影并讨论。
师：巡视指导，可加入到学生的讨论中去，为加深学生对知识的理解可及时正反例加以说明。
生：不一定，它是关于x、y的特殊的二元二次方程．它的特殊体现在两个方面：
1．x2，y2系数相同，且不等于零．2．没有xy这样的二次项．
点拔：（多媒体投影）
师：关于x、y的二元二次方程表示圆的条件是：
A＝B，C＝0，
师：下面我们通过具体题目来巩固和加深我们对圆的一般方程的理解。
（多媒体投影）
例1．判断以下方程是否是圆的方程，若是求出它的圆心及半径。若不是它们分别表示何图形？
．
学生演算并回答（1）表示点（0，0）；（2）配方得 ，表示以 为圆心，3为半径的圆（3）配方得 ，当 、 同时为0时，表示原点（0，0）；当 、 不同时为0时，表示以 为圆心,为半径的圆．
【点拨】
师：根据圆的一般方程来确定圆的圆心及半径一般不要死记公式，通常采用配方的方法来求解，配方法是解决圆的有关问题常用的方法。圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2与一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各优点，标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径；一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程．
（多媒体投影）
例2．求过三点O（0，0）、M1（1，1）、M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.
【引导】师:根据已知条件求满足条件的圆的方程常采用待定系数法，此时我们学习了圆的两种方程形式：标准方程和一般方程，请同学们用这两种方程形式分别确定圆的方程，并比较采哪一种形式比较好？
生：分别用方程的两种形式解答。
（多媒体投影）
师：法一：设圆的标准方程为，据题意知三点均在圆上故有解此方程组有a=4,b=－3,故圆的方程为
法二：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程的解，把它们的坐标代入方程得到一个关于D、E、F的一个三元一次方程组：解之得D＝－8，E＝6，F＝0，故圆的方程为x2+y2－8x+6y=0
点拔：
师：求解圆的方程常用待定系数法，其一般步骤是：
根据题意，选择标准方程或是一般方程，一般情况下若条件与圆心有关通常采用圆的标准方程否则采用圆的一般方程。
根据条件列出关于a,b,r或D，E，F的方程组。
解出a,b,r或D，E，F，代入标准方程或一般方程。
显然在上题中解法2应用圆的一般方程要比应用圆的标准方程在运算上要简单。
迁移应用（一）：
（多媒体投影）
1．已知方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，求k的取值范围。
【引导】
师：由二元二次方程成为圆方程的条件，得到关于k的不等式。
生：独立解答。
师：（多媒体投影）
方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，∴，解得
∴当时，方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。
【点拨】
师：D2+E2-4F有点像一元二次方程的判别式，我们可以把它叫做方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是圆的方程的判别式．这样类比便于记忆。
（多媒体投影）
2.一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆方程．
【引导】
师：设出一般方程，用待定系数法．由三角形性质可知其顶点为(0，5)也可设出标准方程根据三角形性质知顶点为(0，5)，且圆心在y轴上。
生：独立解答，由两学生板书。让一生采用一般方程，另一生采用标准方程。
生1：设
【点拔】
师：根据已知条件求圆的方程时要充分结合圆的几何性质往往使问题的解答变得更加简捷。
新知探究（二）
【引导】
师：前面我们学习了圆的标准方程，我们是把圆看作满足一定条件的点的集合，通过求动点轨迹方程的一般方法来得到它的标准方程的。请同学回答求解轨迹方程的一般步骤是什么？
生：回答
师：纠正学生语言的不规范的地方和步骤的不足之处，并用多媒体投影投影：
根据已知条件求解动点的轨迹方程的一般步骤是：
建立适当的坐标系，用（x,y）表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点
写出适合条件P的点M的集合P＝｛M｜P（M）｝，简称写点集。
用坐标表示条件P（M），列出方程f（x,y）=0，简称列方程。
化方程f（x,y）=0为最简形式，简称化简方程。
证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明。
师：“曲线”和“方程”是动点运动规律在“形”和“数”方面的反映。在解析几何的问题中，求动点的轨迹方程是一种常见题型，下面我们通过例题继续学习求动点轨迹方程的方法。
（多媒体投影）
例3．已知线段AB的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程，并指出其轨迹。
师：根据求轨迹方程的步骤如何建立起关于点M的坐标的方程？
生：由于点A的运动引起点M的运动，而点A有已知圆上运动，点A的坐标满足方程，因此只需建立起点M的坐标和点A的坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件。
师：回答的很好，那么又如何判断曲线的形状呢？
生：根据动点的轨迹方程，轨迹方程表示什么曲线就说明满足条件的动点的轨迹是什么。
师：好，请同学们根据这种思路完成该题。
生：解答
（多媒体投影）
师：
【点拨】
师：（1）轨迹”与“轨迹方程”是不同的两个概念，前者是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特性；后者是方程（等式），不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围。（2）刚才求解轨迹方程的方法我们可称为代入法即：已知点P在已知曲线上运动，动点M随着点P的变化而变化，而点P的坐标又可设法用动点M的坐标表示，那么为了要得到动点M的轨迹方程，只需把用M的坐标所表示的P点的坐标代入已知的曲线方程中，即可求出动点M的轨迹方程
迁移应用（二）
（多媒体投影）
（3）已知一曲线是与两个定点O（0,0）、A（，0）（）距离的比为（）的点的轨迹，求此曲线的方程，并判断曲线的形状。
【引导】
师：利用曲线上的任一点到两个定点的距离之比为，寻找动点横坐标、纵坐标满足的条件。
生：解答
设M是曲线上的任意一点，点M到点O、A的距离之比为，
∴，化简，得
且＞0，∴ ∴

∴所求曲线的方程是，它表示一个圆。
【点拔】由本题可知，圆除了看作是平面内动点到定点的距离等于定长的点的轨迹外，还可以看作是动点到两个定点的距离的比为常数（常数不为1）的动点的轨迹。
知能总结：
学生总结教师点评:
本节课我们主要学习了
1．圆的一般方程的形式特点及与标准方程互化；
2．二元二次方程表示圆的充要条件；
3．进一步学习用待定系数法求圆的方程.
4．利用代入法（相关点法）求动点的轨迹方程。
教学思想和方法：
1．使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．
2.通过对圆的一般方程的特点的讨论，培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度；通过例题的分析讲解，培养学生分析问题的能力
教学札记：
这是一节学习新知识新概念新方法的课，并且这节课的学习对学生的后继学习能力有很大的帮助，因此根据这节课非常有利于展现知识的形成过程．因此在设计这节课时，我力求做到“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”．既学习了知识，更重要的是培养了能力。
在探究圆的一般方程的形式时为更好的展现知识的形成过程，尽量避免学生被动接受，我不是采用填鸭式的灌输式教学，而是采用教师适当点拔，学生合作讨论，引导学生探索，重视探索过程．一方面，把直线一般方程探求过程进行回顾，类比，学生从中领会探求方法；另一方面，“把标准方程展开—→认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法，符合学生的认识规律，极大的提高了学生分析问题解决问题的能力。
同时，通过类比进行条件的探求——“D2+E2-4F”与“Δ”(判别式)类比．在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，并用它探求新知识．这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程．