四川省成都石室中学2026届高三上学期零诊模拟考试数学试卷（Word版附解析）

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（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在的展开式中，的系数等于（ ）
A. 6B. 12
C. 18D. 24
2. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A. B. C. 16D. 18
3. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
4. 已知公比为正数的等比数列前n项和为，且，，则（ ）
A. 或B. C. D.
5. 已知椭圆E：，点，若直线（）与椭圆E交于A，B两点，则的周长为（ ）
A. B. 4C. D. 8
6. 当是函数极值点，则的值为
A. -2B. 3C. -2或3D. -3或2
7. 已知随机变量满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知实数，将这7个数适当排列成一列数，满足，则满足要求的排列的个数为（ ）
A. 58B. 71C. 85D. 96
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 食物盲盒是当下店家掀起的“外卖热”，现有编号依次为1，2，3的三个食物格子，其中1号格子装有2个汉堡和3个鸡腿，2号格子装有3个汉堡和2个鸡腿，3号格子中有5个汉堡.已知汉堡完全一样，鸡腿也完全一样.已知店员任意选择食物格子的概率是相同的，若店员在一份外卖中装入2个汉堡的记为事件A，装入2个鸡腿记为事件B，装入1个鸡腿，1个汉堡记为事件C，事件（，2，3）表示食物取自i号格子，下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确有（ ）
A
B. 函数有三个零点
C. 函数对称中心为
D. 过可以作两条直线与的图象相切
11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）
A. B.
C. D. !
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上.
12. 已知，若，则实数__________.
13. 有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法.
14. 若恒成立，则实数______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．
（1）若分别为的中点，求证：平面PAB；
（2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．
16. 记为数列的前n项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列前n项和.
17. 已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球.
（1）从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量为1号球的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率.
18. 已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点.
（1）当直线过点，且时，求的周长；
（2）已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积；
（3）已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标.
19. 已知函数，．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；