第四章　§4.10　解三角形应用举例-2026年高考数学大一轮复习课件含试题及答案（提高版）

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能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
2.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔BA.北偏东10°方向B.北偏西10°方向C.南偏东80°方向D.南偏西80°方向
3.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为　 　km. 
1.对于立体测量问题，通常要转化为两类平面问题，一是竖直放置的平面，通常要解直角三角形；另一类是水平放置的平面，通常要解斜三角形.2.谨防两个易误点(1)注意仰角与俯角是相对水平视线而言的，是在铅垂面上所成的角；(2)明确方位角及方向角的含义，避免因混淆概念而出错.
距离问题的解题策略选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
跟踪训练1　如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点，现测得AB＝5 km，AD＝7 km，∠ABD＝60°，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，据以上条件可求得两景点B与C之间的距离约为______km (精确到0.1 km，参考数据：sin 40°≈0.643，sin 117°≈0.891). 
例2　(1)《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量学著作.现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个3丈高的标杆，之间距离为1 000步，两标杆与海岛的底端在同一直线上.从第一个标杆M处后退123步，人眼贴地面，从地上A处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为(3丈＝5步) A.1 200步B.1 300步C.1 155步D.1 255步
高度问题的易错点(1)图形中为空间关系，极易当作平面问题处理，从而致错；(2)对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错.
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向.
角度问题的解题方法首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.
如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC=14x，BC=10x，∠ABC=120°.根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcs 120°，解得x=2(负值舍去).故AC=28，BC=20.
4.(2025·贵阳模拟)如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区，是该市的标志性建筑之一.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝23°，∠CDB＝30°，CD＝11.2 m，在C点测得甲秀楼顶端A的仰角
为72.4°，则甲秀楼的高度约为(参考数据：tan 72.4°≈3.15，sin 53° ≈0.80) A.18 mB.20 mC.22 mD.24 m
二、多项选择题5.(2024·兰州模拟)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有A.在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A， B两点间距离B.在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆)，测得建筑物的高度为h，在该建筑物 底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和βC.在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5 m到达B处，再 次测量旗杆顶端的仰角β
四、解答题9.已知某测量小组为测量一座山的高度，建立了如图所示的数学模型三棱锥C－OAB，OC垂直水平面OAB，点C代表该山的上顶点，A，B两点代表山脚地面上的两个观测点，同学甲在A处测得仰角为45°，同学乙在B处测
10.如图，在一次海上联合作战演习中，A处的一艘红方侦察艇发现在北偏东45°方向相距12 n mile的水面上B处，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.
12.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东方向40千米处，则城市B处于危险区的时间为　　　小时.