第四章　§4.9　解三角形中的最值与范围问题-2026年高考数学大一轮复习课件含试题及答案（提高版）

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解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.
利用基本不等式求最值(范围)
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值.
跟踪训练1　已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2A.(1)求角A的大小；
例2　(2024·广州模拟)如图，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，AB＝3，BC＝7，△ACD为正三角形.(1)求AC的取值范围；
转化为三角函数求最值(范围)
(2)设∠ABC＝α，当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值.
利用正弦定理、余弦定理，把所求量转化为关于某个角的三角函数，利用三角函数的有界性、单调性再结合角的范围确定最值或范围.要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等.
(2)求sin Ccs B的取值范围.
例3　(2024·北京模拟)在△ABC中，AB＝5，D在边AB上，且2BD＝3AD，BC＝2CD.(1)若CD＝2，求△ABC的周长；
转化为其他函数求最值(范围)
(2)求△ACD周长的最大值.
解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝c－1，b＝c＋1，若△ABC为钝角三角形，则c的取值范围为A.(2，4)B.(1，3)C.(0，3)D.(3，4)
四、解答题9.(2024·铜川模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan Atan B＋tan Atan C＝3tan Btan C.(1)证明：3b2＋3c2＝5a2；
(2)如图，若∠BAC与∠ABC的平分线交于点I，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值.