新疆喀什地区莎车县2024-2025学年高一下学期4月期中数学试卷（解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知一个球的半径为2，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】球的表面积为.
故选：D.
2. 下列几何体中棱柱有( )

A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
【答案】D
【解析】由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱．故选D.
3. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，则，
故选：C.
4. 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边平行于轴，平行于轴．已知四边形的面积为cm2，则原平面图形的面积为( )
A. 4cm2B. cm2C. 8cm2D. cm2
【答案】C
【解析】设斜二测画法中梯形的上底为长度，下底长度为，，
则梯形的面积为：，则，
原平面图形是一个梯形，且上底为长度，下底长度为，高为，
其面积为：.
本题选择C选项.
5. 若，，，则（ ）
A. B.
C. 2D.
【答案】A
【解析】因为，，所以，，
因为，所以，解得
故选：A
6. 在中，点在边上，．记，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为点在边上，，所以，即，
所以．
故选：B．
7. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，，，
根据余弦定理：
可得，即
由，故.
故选：A.
8. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】取中点，连接，如图，

是边长为2的等边三角形，，
，又平面，，
平面，
又，，
故，即，
所以，
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 一个棱柱至少有4个面
B. 平行六面体中相对的两个面是全等的矩形
C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【答案】CD
【解析】A，一个棱柱的底面至少有3条边，所以至少有5个面，错误.
B，由平行六面体的概念和性质，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，错误.
C，根据棱锥的定义，其底面为多边形，侧面都是有一个公共顶点的三角形，
所以有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，正确.
D，由正棱锥的定义和性质可得，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，正确.
故选：CD
10. 若复数z满足，则（ ）
A. |z|=2
B. 是纯虚数
C. 复数在复平面内对应的点在第三象限
D. 若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则
【答案】AB
【解析】由题意，，A选项正确；
，B选项正确；
在复平面内对应点为，对应点在第一象限，C选项错误；
，D选项错误.
故选：AB.
11. 下列命题中，正确的是（ ）
A.在中，若，则
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 在中，若，则必是等腰直角三角形
D. 在中，若，，则必是等边三角形
【答案】ABD
【解析】对于A，在中，若，则，由正弦定理可得，
A正确；
对于B，锐角中，，则，
故，B正确；
对于C，在中，若，则，
即得，故或，
故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误；
对于D，，，则，
故，，结合，可知是等边三角形，
D正确，
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数满足，则的实部为____．
【答案】
【解析】设，则，
所以，，所以，，解得，
因此，复数的实部为.
故答案为：.
13. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
14. 已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是____________.
【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为，球的半径为，
因为圆锥的轴截面为正三角形，可知圆锥的高，
则，即，
可得圆锥的体积，
球的体积，
所以.
故答案为：．
四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出说明文字、演算式、证明步骤．
15. 已知复数，为虚数单位，.
（1）若是实数，求实数的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围.
解：（1）若为实数，则，∴.
（2），
∴，∴，
∴或.
（3）由在复平面内对应的点位于第四象限得，∴.
16. 已知，，与的夹角是．
（1）计算；
（2）当为何值时，？
（1）解：由已知，
所以．
（2）解：若，则，
，则，．
17. 已知，，.
（1）若，判断的形状，并给出证明；
（2）求实数的值，使得最小；
（3）若存在实数，使得，求、的值.
解：（1）当时，为直角三角形.证明如下：
当时，由，，，则，，
此时，即，即，
所以，为直角三角形.
（2）由题意，，，则，
所以，，当且仅当时取等号.
故当时，取得最小值为.
（3）由题意，，，因，
所以，解得.
18. 如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱.
（1）求该圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积；
（2）求该圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积.
解：（1）设圆锥底面半径为，圆柱底面半径为，则，
又可知圆柱母线长，圆锥母线长.
所以剩下几何体的表面积；
（2）所以剩下几何体的体积．
19. 在内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，，求面积．
解：（1）∵，由正弦定理得，
，∴，∴，∴．
（2）因为，由正弦定理得，
由余弦定理得，
解得或（舍去），∴，∴．