2024-2025学年新疆喀什地区莎车县高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年新疆喀什地区莎车县高一（下）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z满足1+iz=i，则z的虚部为( )
A. −1B. 1C. −iD. i
2.已知向量a=(−3,4)，b=(5,x)，且a⊥b，则x=( )
A. −154B. 154C. −203D. 203
3.某企业2016年年度营业费用情况如图所示，则下面说法中正确的是( )
A. 基本工资占比最高B. 奖金高于基本工资
C. 加班费与包装费相同D. 以上都不对
4.在△ABC中，已知AB=BC=3，AC=2，则csB=( )
A. 79B. 89C. −79D. −89
5.为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析.在这个问题中，被抽取的200名学生是( )
A. 总体B. 个体C. 样本D. 样本量
6.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是( )
A. 至多一次中靶B. 两次都中靶C. 只有一次中靶D. 两次都没中靶
7.设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若l//α，l//β，则α//βB. 若α⊥β，l//α，则l⊥β
C. 若l//α，l⊥β，则α⊥βD. 若α⊥β，l⊥α，则l//β
8.一个圆台的母线长为 13，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为( )
A. 26πB. 32πC. 78πD. 86π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知样本数据2，3，6，1，9，9，则这组数据的( )
A. 众数为9B. 平均数为5C. 40%分位数为2.5D. 方差为313
10.已知圆锥的底面半径等于3，高等于4，则( )
A. 圆锥的体积为12πB. 圆锥的侧面展开图的面积为15π
C. 圆锥外接球的半径为3.2D. 圆锥的母线与底面所成角的正弦值为0.8
11.下列对各事件发生的概率判断正确的是( )
A. 某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427
B. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为13
C. 甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为12
D. 设两个独立事件A和B都不发生的概率为19,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是29
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆柱的底面半径是1，若圆柱的体积是2π，则该圆柱的高是______．
13.某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为______
14.宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998−2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高CD，在A点处测得仰角为45°，在B点处测得仰角为60°，A、B两点间的距离为30米，∠ACB=30°，如图2，则塔的高度为______米.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶8次，每次命中的环数如下：
(1)求乙运动员成绩的平均数；
(2)如果甲运动员成绩的平均数是8，求甲运动员成绩的方差．
16.(本小题15分)
在△ABC中，AB= 3BC=3,C=2π3，AD是BC边上的中线．
(1)求△ABC的面积；
(2)求中线AD的长．
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，侧面PAD是正三角形，AD=2，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．
(1)求证：PB//平面EAC；
(2)求三棱锥A−PDC的体积．
18.(本小题17分)
某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60)，[60,70)，⋅⋅⋅，[90,100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．
(1)求图中x的值；
(2)求这组数据的平均数和中位数；
(3)已知满意度评分值在[50,60)内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为[50,60)的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率．
19.(本小题17分)
甲、乙两人进行象棋比赛，采用五局三胜制，每局均无平局，已知每局比赛甲获胜的概率为23，且甲、乙每局比赛的结果互不影响．
(1)求三局比赛结束的概率；
(2)求四局比赛结束且甲获胜的概率；
(3)若第一局甲获胜，求最终乙赢得比赛的概率．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：由1+iz=i，
得z=−1+ii=(−1+i)(−i)−i2=1+i，
可得复数z的虚部为1．
故选：B．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：向量a=(−3,4)，b=(5,x)，且a⊥b，
则a⋅b=−3×5+4x=0，解得x=154．
故选：B．
由向量垂直的坐标表示即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：结合图形分析，知该企业2022年年度营业费用中，广告费占比是28%，为占比最大项，A项错误；
奖金占比是11%，低于基本工资占比18%，B项错误；
加班费和包装费占比相同，均为8%，C项正确，D项错误．
故选：C．
由扇形统计图提供的信息，整合数据，逐项判断即可得解．
本题考查了扇形统计图的应用，考查了数据处理的能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，因为AB=BC=3，AC=2，
由余弦定理可得csB=BC2+AB2−AC22BC×AB=9+9−42×3×3=79．
故选：A．
利用余弦定理求解．
本题考查余弦定理的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意可知，总体是5000名学生的成绩，
个体是每个学生的成绩，
样本是200名学生的成绩，
样本容量为200，
所以抽取的200名学生的成绩是样本．
故选：C．
根据统计中抽样调查的概念即可得解．
本题主要考查了简单随机抽样中的相关概念，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶，②只有一次中靶，③两次都没中靶；
设事件P：至少一次中靶，则P={①,②}，
A选项：事件A：至多一次中靶，则A={②,③}，P∩A={②}，不互斥，不对立，
B选项：事件B：两次都中靶，则B={①}，P∩B={①}，不互斥，不对立，
C选项：事件C：只有一次中靶，则C={②}，P∩C={②}，不互斥，不对立，
D选项：事件D：两次都没中靶；则D{③}，P∩D=⌀，且P∪D={①,②,③}，互斥且对立，
故选：D．
先写出连续射击两次中靶的情况，再利用互斥事件和对立事件的概念进行判断，A∩B=⌀，互斥事件；A∩B=⌀，且A∪B=基本事件总体，互斥且对立事件．
本题考查互斥事件和对立事件的概念，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：l是一条直线，α，β是两个不同的平面，
若l/​/α，l/​/β，可得α/​/β或α、β相交，故A错误；
若α⊥β，l/​/α，可得l/​/β或l⊂β、l与β相交，故B错误；
若l/​/α，可得过l的平面γ与α的交线m/​/l，由l⊥β，可得m⊥β，又m⊂α，则α⊥β，故C正确；
若α⊥β，l⊥α，可得l/​/β或l⊂β，故D错误．
故选：C．
由线面平行的性质和面面的位置关系，可判断A；由线面的位置关系可判断B；由线面平行与垂直的性质定理和面面垂直的判定定理，可判断C；由面面垂直的性质定理和线面的位置关系可判断D．
本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：因为圆台的母线长为 13，上、下底面的半径分别为2，5，
所以圆台的高为 13−(5−2)2=2，
所以圆台的体积为13×2π×(22+52+2×5)=26π．
故选：A．
先由勾股定理求出圆台的高，然后由圆台的体积公式即可求解．
本题考查圆台的体积的求解，属基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：样本数据2，3，6，1，9，9从小到大排列，得到1，2，3，6，9，9．
观察得数据9出现的次数最多，所以众数为9，故A正确．
平均数为1+2+3+6+9+96=306=5，故B正确．
因为一共有6个数据，且6×40%=2.4，所以40%分位数为第3个数，即40%分位数为3，故C错误．
平均数为1+2+3+6+9+96=306=5，
则方差为16×[(1−5)2+(2−5)2+(3−5)2+(6−5)2+(9−5)2+(9−5)2]=16×(16+9+4+1+16+16)=313，故D正确．
故选：ABD．
根据各数字特征的概念逐项判断可确定答案．
本题主要考查统计的知识，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由圆锥的体积公式，该圆锥的体积V=13Sℎ=13π×32×4=12π，A正确；
对于B，圆锥的底面半径等于3，高等于4，则该圆锥的母线长l= 9+16=5，则其侧面展开图的面积S=12×l×2πr=15π，B正确；
对于C，如图，
设圆锥的顶点为P，底面圆的圆心为O1，A、B为底面上两点且AB为直径，
设圆锥的外接球的半径为R，球心为O，已知球心O在PO1上，
则OP=OA=R，O1O=4−R，则有R2=32+(4−R)2，解可得R=258，C错误；
对于D，设圆锥母线与底面所成的角为α，则sinα=PO1PA=0.8，D正确．
故选：ABD．
根据题意，由圆锥的体积公式分析A，由圆锥的结构特征分析B，由圆锥与其外接球的位置关系分析C，由圆锥的结构特征分析D，综合可得答案．
本题考查圆锥的结构特征，涉及圆锥的体积计算，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A选项，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，则在前2个路口遇到的不是红灯，第3个路口遇到的是红灯，
所求概率P1=(1−13)2×13=427，A选项正确；
对于B选项，从这4张卡片中随机抽取2张，不同结果为12，13，14，23，24，34，共6个，
取出的2张卡片上的数字之和为奇数的结果为12，14，23，34，共4个，概率P2=46=23，B选项错误；
对于C选项，甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，
从每个袋子中各任取一个球，则取到不同色球的概率P3=812×612+412×612=12，C选项正确；
对于D选项，由独立事件的概率公式，可得[1−P(A)]⋅[1−P(B)]=19P(A)⋅[1−P(B)]=P(B)⋅[1−P(A)]0≤P(A)≤1,0≤P(B)≤1，
解得P(A)=P(B)=23，D选项错误．
故选：AC．
利用独立事件的概率计算判断A；利用古典概型的概率公式求解判断B；利用独立事件和互斥事件的概率公式计算判断C；利用独立事件的概率乘法公式建立方程组求解判断D．
本题考查概率的应用，涉及相互独立事件、古典概型的计算，属于基础题．
12.【答案】2
【解析】解：设圆柱的高为ℎ，
又圆柱的底面半径是1，圆柱的体积是2π，
则π×12×ℎ=2π，可得ℎ=2，
即该圆柱的高是2．
故答案为：2．
由已知直接利用圆柱的体积公式求解圆柱的高．
本题考查圆柱的体积，是基础题．
13.【答案】8
【解析】解：某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，抽取一个容量为14的样本，
则男运动员应该抽取的人数为14×2828+21=8．
故答案为：8．
先计算得到抽取比例为27，再计算得到答案．
本题主要考查分层抽的定义，属于基础题．
14.【答案】30 3
【解析】解：由题意可得∠DAC=45°，∠DBC=60°，∠ACB=30°，AB=30m，
在Rt△ACD中，可得AC=CDtan45∘=CD，
在Rt△BCD中，BD=CDtan60∘= 33CD，
在△ABC中，由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2−2AC⋅BCcs∠ACB=CD2+13CD2−2⋅CD⋅ 33CD⋅ 32=13CD2，
可得CD=30 3m.
故选：30 3．
由题意可得AC，BC与CD的关系，再由余弦定理可得CD的大小．
本题考查余弦定理的应用及直角三角形的性质的应用，属于中档题．
15.【答案】7.5；
1.5．
【解析】两位射击运动员在一次射击测试中各射靶8次，每次命中的环数如下：
(1)乙运动员成绩分别为7、9、10、5、7、6、8、8，
则平均数x−=7+9+10+5+7+6+8+88=608=7.5．
(2)因为甲运动员成绩平均数为8，甲成绩中未知的数为x，
则10+9+x+8+7+9+6+78=8，
即10+9+x+8+7+9+6+7=64，
解得x=64−(10+9+8+7+9+6+7)=8．
甲运动员成绩为10、9、8、8、7、9、6、7．
则方差s2=18[(10−8)2+(9−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(7−8)2+(9−8)2+(6−8)2+(7−8)2]
=18(4+1+0+0+1+1+4+1)=1.5．
(1)根据平均数的计算公式，即可求得答案；
(2)利用甲的平均数求出x的值，再根据方差的计算公式，即可求得答案．
本题主要考查平均数和方差的计算，属于基础题．
16.【答案】解：(1)由题意可知，AB=3，BC= 3，C=2π3，
则AB2=BC2+AC2−2BC⋅AC⋅csC，化简整理可得，AC2+ 3AC−6=0，解得AC= 3，
故△ABC的面积为12AC⋅BC⋅sinC=12× 3× 3× 32=3 34；
(2)D为BC中点，
则CD=12BC= 32，
故AD 2=AC2+CD2−2AC⋅CD⋅csC=3+34+2× 3× 32×12=214，解得AD= 212．
【解析】(1)根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解；
(2)先求出CD，再结合余弦定理，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)证明：根据题意，连接BD交AC于O，连接EO，
因为四边形ABCD是正方形，
所以O为BD的中点，
又E为PD的中点，则EO/​/PB，
又EO⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，
所以PB/​/平面EAC；
(2)根据题意，过P作PF⊥AD于F，如图：
因为平面PAD⊥底面ABCD，
平面PAD∩底面ABCD=AD，
PF⊂平面PAD，PF⊥AD，
则PF⊥平面ABCD，
因为侧面PAD是正三角形，PF⊥AD，
所以PF=2× 32= 3，
故VA−PDC=VP−ADC=13⋅S△ADC⋅PF
=13×12×2×2× 3=2 33．
【解析】本题考查线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
(1)连接BD交AC于O，连接EO，由中位线得EO/​/PB，进而可证PB/​/平面EAC；
(2)过P作PF⊥AD于F，则PF⊥平面ABCD，故VA−PDC=VP−ADC=13⋅S△ADC⋅PF，计算可得答案．
18.【答案】解：(1)由(0.005+0.01+0.035+0.030+x)×10=1，解得x=0.02．
(2)这组数据的平均数为55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77．
中位数设为m，则0.05+0.2+(m−70)×0.035=0.5，解得m=5407．
(3)满意度评分值在[50,60)内有100×0.005×10=5人，其中男生3人，女生2人．记为A1，A2，A3，B1，B2，
记“满意度评分值为[50,60)的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件A，
从5人中抽取2人有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2
所以总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为3个，
所以 P(A)=310．
【解析】(1)由各组的频率和为1，列方程可求出x的值；
(2)由平均数的公式直接求解，由图可得中位数在第3组，若设中位数设为m，则0.05+0.2+(m−70)×0.035=0.5，从而可求得m的值；
(3)满意度评分值在[50,60)内有100×0.005×10=5人，其中男生3人，女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况，利用概率公式求解即可．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
19.【答案】13；
827；
19．
【解析】解(1)根据题意，若三局比赛结束，即连胜三局获胜或乙连胜三局获胜，
其中甲连胜三局获胜的概率P1=(23)3=827，乙连胜三局获胜的概率P2=(13)3=127，
故三局比赛结束的概率=P1+P2=13；
(2)根据题意，若四局比赛结束且甲获胜，则前3局甲输1局，第4局胜，
其概率为P=3×13×(23)2×23=827．
(3)根据题意，设第一局甲获胜，最终乙赢得比赛的事件为B，
有2种情况，
①乙连赢3局，其概率为(13)3=127，
②第2，3，4局乙输1局，第5局赢，其概率为3×23×(13)2×13=227，
所以P(B)=127+227=19．
(1)利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算得解．
(2)利用相互独立事件的概率公式计算得解．
(3)利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算得解．
本题考查相互独立事件、互斥事件的概率计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．甲
10
9
x
8
7
9
6
7
乙
7
9
10
5
7
6
8
8
甲
10
9
x
8
7
9
6
7
乙
7
9
10
5
7
6
8
8