高考数学精品讲义练习【一轮复习】第二章　2．4　函数的对称性及应用

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第二章　2．4　函数的对称性及应用，共12页。试卷主要包含了奇函数、偶函数的对称性，两个函数图象的对称，已知曲线C等内容，欢迎下载使用。
掌握一些函数的轴对称和中心对称公式和推论，会利用函数的对称性解决相关问题．
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．
(2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a，0)．
2．若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a，0)对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称．
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．( √ )
(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称．( × )
(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．( × )
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．( √ )
2．函数f(x)＝ eq \f(x＋1,x)图象的对称中心为( B )
A．(0，0) B．(0，1)
C．(1，0) D．(1，1)
解析：因为f(x)＝ eq \f(x＋1,x)＝1＋ eq \f(1,x)，由y＝ eq \f(1,x)的图象向上平移1个单位长度得到y＝1＋ eq \f(1,x)的图象，又y＝ eq \f(1,x)的图象关于点(0，0)对称，所以f(x)＝1＋ eq \f(1,x)的图象关于点(0，1)对称．故选B.
3．（人教A版必修第一册P87T13改编）已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，则f(0)＝4．
解析：方法一 由y＝f(x＋2)－3是奇函数，∴f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3，令x＝2，f(0)－3＝－f(4)＋3，得f(0)＝4.
方法二 由y＝f(x＋2)－3是奇函数，得f(x)的图象关于点(2，3)对称，故f(0)＋f(4)＝6，即f(0)＝4.
4．若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝5．
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于直线x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，所以f(－1)＝5.
考点1 函数的对称性
【例1】 （2024·新课标Ⅰ卷T18节选）已知函数f(x)＝ln eq \f(x,2－x)＋ax＋b(x－1)3，求证：曲线y＝f(x)是中心对称图形．
【证明】 证法一 易知x∈(0，2)，
f(2－x)＋f(x)＝ln eq \f(2－x,x)＋a(2－x)＋b(1－x)3＋ln eq \f(x,2－x)＋ax＋b(x－1)3＝2a，
所以f(x)的图象关于点(1，a)中心对称，即曲线y＝f(x)是中心对称图形．
证法二 f(x)＝ln eq \f(x,2－x)＋ax＋b(x－1)3的定义域为(0，2)，
f(1＋x)＋f(1－x)＝ln eq \f(1＋x,2－(1＋x))＋a(1＋x)＋b(1＋x－1)3＋ln eq \f(1－x,2－(1－x))＋a(1－x)＋b(1－x－1)3＝ln eq \f(1＋x,1－x)＋a(1＋x)＋bx3＋ln eq \f(1－x,1＋x)＋a(1－x)－bx3＝ln 1＋2a＝2a，因此f(x)的图象关于点(1，a)对称，所以曲线y＝f(x)是中心对称图形．
对称性的五个常用结论
(1)y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ eq \f(a＋b,2)对称．
特别地，当a＝b，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
特别地，当b＝0，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．
(5)函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝ eq \f(b－a,2)对称．
特别地，当a＝b时，函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝0对称．
对称的充要条件
1．教材母题：（人教A版必修第一册P87T13）
我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心；
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论．
2．上述问题中第(2)题的结论为：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝c成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋c)为偶函数．
3．对于例1，由f(x)＝ln eq \f(x,2－x)＋ax＋b(x－1)3，可知y＝f(x＋1)－a＝ln eq \f(x＋1,1－x)＋ax＋bx3为奇函数，故据教材结论可知，曲线y＝f(x)关于点(1，a)成中心对称．
【典例】 （多选）已知函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，函数y＝f(x)图象关于直线x＝c成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋c)为偶函数，则( ACD )
A．函数f(x)＝ eq \f(x2－2x,x2－2x＋2)的图象有对称轴
B．函数f(x)＝ eq \f(x2－2x,x2－2x＋2)的图象无对称轴
C．函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心是点(1，－2)
D．若函数f(x)＝x3－3x2，则f(－2 022)＋f(－2 023)＋f(2 024)＋f(2 025)＝－8
【解析】 因为函数f(x)＝ eq \f(x2－2x,x2－2x＋2)的定义域为R，而f(x＋1)＝ eq \f(x2－1,x2＋1)为偶函数，所以函数f(x)＝ eq \f(x2－2x,x2－2x＋2)的图象有对称轴，即直线x＝1，A正确，B错误；因为函数f(x)＝x3－3x2＝(x－1)3－3(x－1)－2的定义域为R，而y＝f(x＋1)＋2＝x3－3x为奇函数，所以函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心是点(1，－2)，C正确；因为函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心是点(1，－2)，所以f(x)＋f(2－x)＝－4，故f(－2 022)＋f(－2 023)＋f(2 024)＋f(2 025)＝－8，D正确．故选ACD.
【对点训练1】 （2023·全国乙卷理T21节选）已知函数f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋a))ln (1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由．
解：假设存在a，b，使得曲线y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))关于直线x＝b对称．
令g(x)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝(x＋a)ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x)))＝(x＋a)ln eq \f(x＋1,x)，
因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称，所以g(x)＝g(2b－x)，
即(x＋a)ln eq \f(x＋1,x)＝(2b－x＋a)ln eq \f(2b－x＋1,2b－x)＝(x－2b－a)ln eq \f(x－2b,x－2b－1)，
于是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2b－a，,1＝－2b，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝－\f(1,2)，))
当a＝ eq \f(1,2)，b＝－ eq \f(1,2)时，g(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))ln 1＋ eq \f(1,x)，g(－1－x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x－\f(1,2)))ln eq \f(－x,－1－x)＝
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x－\f(1,2)))ln eq \f(x,1＋x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))ln eq \f(x＋1,x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x)))＝g(x)，
所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－ eq \f(1,2)对称，满足题意．
故存在a，b，使得曲线y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))关于直线x＝b对称，且a＝ eq \f(1,2)，b＝－ eq \f(1,2).
考点2 对称性与周期性
【例2】 （2024·江苏南通三模）已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为偶函数，f(x＋2)－1为奇函数．若f(1)＝0，则 eq \i\su(k＝1,26,f)(k)＝( C )
A．23 B．24
C．25 D．26
【解析】 f(x＋1)为偶函数，则f(x＋1)＝f(－x＋1)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(x＋2)－1为奇函数，则f(－x＋2)－1＝－f(x＋2)＋1，即f(－x＋2)＋f(x＋2)＝2，则f(x)的图象关于点(2，1)对称，则由其关于直线x＝1对称有f(x)＝f(－x＋2)，则f(x)＋f(x＋2)＝2，则f(x＋2)＋f(x＋4)＝2，作差有f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)为周期函数，且周期为4，因为f(1)＋f(3)＝2，f(1)＝0，则f(3)＝2，因为f(0)＝f(2)，f(0)＋f(2)＝2，则f(0)＝f(2)＝1，f(4)＝f(0)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，所以 eq \i\su(k＝1,26,f)(k)＝24， eq \i\su(k＝1,26,f)(k)＝24＋0＋1＝25.故选C.
1．若函数y＝f(x)图象的对称轴为直线x＝a，x＝b，则其周期T＝2|b－a|.
2．若函数y＝f(x)图象的对称中心为点(a，0)，(b，0)，则其周期T＝2|b－a|.
3．若函数y＝f(x)图象的对称轴为直线x＝a，对称中心为点(b，0)，则其周期T＝4|b－a|.
【对点训练2】 (1)（2024·河北石家庄模拟）已知f(x)是周期为3的函数，且∀x∈R都有f(3x)＋f(4－3x)＝4，则f(2 024)＝( C )
A．－4 B．－2
C．2 D．4
解析：由已知f(3x)＋f(4－3x)＝4，即f(x)＋f(4－x)＝4，令x＝2，可知f(2)＋f(2)＝4，即f(2)＝2，又函数f(x)的周期为3，则f(2 024)＝f(2)＝2.故选C.
(2)（2024·山东济南二模）已知函数f(x)的定义域为R，若f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，则f(2 024)＝( A )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(1＋（1＋x)）＝f(1－（1＋x)），即f(2＋x)＝f(－x)，又f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的定义域为R，所以f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，f(x)＝－f(2＋x)，所以f(2＋x)＝－f(4＋x)，故f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2 024)＝f(506×4＋0)＝f(0)＝0.故选A.
考点3 周期性、单调性与对称性
【例3】 (1)（多选）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))，f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
上单调递增，则( ACD )
A．f(0)＝0
B．f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))上单调递减
C．f(x)的周期为2π
D．f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减
【解析】 对于A，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，A正确；对于B，因为f(x)为奇函数，f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))上单调递增，B错误；对于D，因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))，所以f(x)的图象关于直线x＝ eq \f(π,2)对称，又因为f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，故f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减，D正确；对于C，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))，则f(x)＝f(π－x)，又f(x)＝－f(－x)，所以f(π－x)＝－f(－x)，即f(π＋x)＝－f(x)，所以f(x＋2π)＝f(x)，结合f(x)的单调性可知f(x)的周期T＝2π，C正确．故选ACD.
(2)已知函数f(x)的定义域为R，f(x－2)为偶函数，f(x－1)为奇函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax＋b，若f(2)＋f(3)＝ eq \f(1,2)，则( A )
A．f(x)在区间[0，1]上是增函数，且有最小值－ eq \f(1,2)
B．f(x)在区间[0，1]上是减函数，且有最大值 eq \f(1,2)
C．f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，且有最大值 eq \f(1,2)
D．f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，且有最小值－ eq \f(1,2)
【解析】 因为f(x－2)为偶函数，所以f(x－2)＝f(－x－2)①，且函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，又f(x－1)为奇函数，所以－f(x－1)＝f(－x－1)②，且函数f(x)的图象关于点(－1，0)中心对称，所以有－f(x)＝f(－x－2)＝f(x－2)⇒f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的一个周期为T＝4，令x＝0代入②得f(－1)＝0＝f(3)，即f(2)＝ eq \f(1,2)，令x＝3代入①得f(1)＝f(－5)＝f(3)＝0，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝0，,2a＋b＝\f(1,2)，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝－\f(1,2)，))所以f(x)＝ eq \f(1,2)x－ eq \f(1,2)(x∈[1，2])，
如图所示，根据函数的对称性与周期性可知，f(x)的图象关于直线x＝2对称，关于点(3，0)中心对称，可得f(x)在区间[－4，4]的图象，易知f(x)在区间[0，1]上是增函数，且有最小值f(0)＝－f(－2)＝－f(2)＝－ eq \f(1,2)，故A正确，B错误；f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，且有最大值f(－2)＝f(2)＝ eq \f(1,2)，最小值f(－1)＝0，故C，D均错误．故选A.
解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性与对称性缩小自变量的取值范围或转换自变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式．
【对点训练3】 (1)已知定义在R上的函数f(x)在（－∞，2]上单调递增，若函数f(x＋2)为偶函数，且f(3)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为( B )
A．(0，3)
B．(－∞，0)∪(1，3)
C．(－∞，0)∪(3，＋∞)
D．(0，1)∪(3，＋∞)
解析：由函数f(x＋2)为偶函数，可知函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又函数f(x)在（－∞，2]上单调递增，知函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，由f(3)＝0，知f(1)＝0，作出函数f(x)的大致图象，如图．
由图可知，当x