第二章 第4节 函数的对称性及应用（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）（原卷版+解析版）

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【知识梳理】
考点1 奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
(2)若f(x-2)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x=-2;若f(x-2)是奇函数,则函数f(x)的图象的对称中心为(-2,0).
考点2 若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则f(a-x)=f(a+x);
若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x),则函数的图象关于点(a,0)对称.
考点3 两个函数图象的对称
(1)函数y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称;
(2)函数y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称;
(3)函数y=f(x)与y=-f(-x)关于原点对称.
【名师点拨】
对称性的四个常用结论
(1)y=f(x+a)是偶函数⇔f(a+x)=f(a-x)⇔y=f(x)的图象关于x=a对称.
(2)y=f(x+a)是奇函数⇔f(a+x)=-f(a-x)⇔y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.
(3)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.
特别地,当a=b时,即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)时,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(4)若函数y=f(x)满足f(x)+f(2a-x)=2b,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.特别地,当b=0时,即f(a+x)+f(a-x)=0或f(x)+f(2a-x)=0时,则y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.
【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y=f(x+1)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.( )
(2)函数y=f(x-1)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称.( )
(3)若函数f(x)满足f(x-1)+f(x+1)=0,则f(x)的图象关于y轴对称.( )
(4)若函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称.( )
2.(人教A必修一P87T13改编)函数f(x)=x+1x图象的对称中心为( )
A.(0,0)B.(0,1)
C.(1,0)D.(1,1)
3.已知函数y=f(x+2)-3是奇函数,且f(4)=2,则f(0)= .
4.若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且当x∈[2,3]时,f(x)=2x-1,则f(-1)= .
【考向核心题型】
考点一 函数的对称性
【典例】1.(2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)=1x+aln(1+x),是否存在a,b,使得曲线y=f1x关于直线x=b对称?若存在,求a,b的值;若不存在,说明理由.
【思维建模】
1.函数y=f(x)关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x),或f(2a+x)=f(-x).
2.函数y=f(x)关于点(a,b)对称⇔f(2a-x)+f(x)=2b或f(a-x)+f(a+x)=2b.
3.函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=b−a2对称.
【变式训练】1 (2024·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)=lnx2−x+ax+b(x-1)3.
证明:曲线y=f(x)是中心对称图形.
考点二 对称性与周期性
【典例】2.(2025·海口调研)已知函数f(x)的定义域为R,fx+12为偶函数,f(2-x)+f(x)=0,f13=-12,则f163=( )
A.12B.13
C.0D.-12
【典例】3.(多选)(2025·安徽名校联考)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,其中f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,g(x)的图象关于直线x=2对称,f(x)-g(2+x)=4,g(2)=3,则( )
A.f(-x)+f(x)=0B.f(2 026)=-5
C.g(2 026)=-1D.2026∑k=1 f(k)=2 020
【变式训练】2.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)=g(x-1)+2,若函数g(x)为奇函数,g(x+1)为偶函数,且f(2)=1,则23∑k=1g(k)=( )
A.-1B.0
C.1D.2
【变式训练】3.(多选)(2025·保定质检)已知f(x+1)是奇函数,f(x)的图象关于直线x=-1对称,则下列结论正确的是( )
A.f(x)是周期为4的周期函数
B.f(x-5)为偶函数
C.f(x)的图象关于点(-3,0)对称
D.f(5)=0
考点三 对称性、周期性与单调性
【典例】4.(多选)(2025·杭州调考)已知定义域为R的函数f(x)在(-1,0]上单调递增,f(1+x)=f(1-x),且图象关于(2,0)对称,则( )
A.f(0)=f(-2)
B.f(x)的周期T=2
C.f(x)在(2,3)上单调递减
D.f(x)满足f(2 025)>f(2 026)>f(2 027)
【思维建模】解决函数性质的综合问题,一般要利用周期性与对称性缩小自变量的值或转换自变量所在的区间,然后利用单调性比较大小或解不等式.
【变式训练】4. (多选)(2025·齐鲁名校联盟联考)已知函数f(x)的定义域为R,f(2x+1)为奇函数,f(4-x)=f(x),f(0)=2,且f(x)在[0,2]上单调递减,则( )
A.f(1)=0
B.f(8)=2
C.f(x)在[6,8]上单调递减
D.f(x)在[0,100]上有50个零点
【知识拓展】抽象函数
1.我们把不给出具体解析式,只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数,解决抽象函数问题的两种常用方法有:函数性质法和特殊值法.
2.常见的抽象函数模型
(1)f(x+y)=f(x)+f(y)可看作f(x)=kx的抽象表达式;
(2)f(x+y)=f(x)f(y)可看作f(x)=ax的抽象表达式(a>0,且a≠1);
(3)f(xy)=f(x)+f(y)可看作f(x)=lgax的抽象表达式(a>0,且a≠1);
(4)f(xy)=f(x)f(y)可看作f(x)=xα的抽象表达式.
一、抽象函数求值
【典例】1.(2025·南京部分学校联考)已知函数f(x),对任意x,y∈R,满足f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y),且f(1)=2,f(2)=0,则f(1)+f(2)+…+f(90)的值为( )
A.-2B.0
C.2D.4
二、抽象函数的性质
【典例】2.(多选)已知函数f(x)的定义域为{x|x≠4k+2,k∈Z},且f(x+y)=f(x)+f(y)1−f(x)f(y),f(1)=1,则( )
A.f(0)=0
B.f(x)为偶函数
C.f(x)为周期函数,且4为f(x)的周期
D.f(2 027)=-1
【变式训练】1.f(x)满足对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)·f(b),且f(1)=2,则f(2)f(1)+f(4)f(3)+f(6)f(5)+…+f(2 026)f(2 025)=( )
A.2 026B.2 024
C.1 013D.1 012
【变式训练】2.(2025·绍兴质检)已知f(x)是定义在区间(0,+∞)上的增函数,且fxy=f(x)-f(y),f(2)=1,如果x满足f(x)-f1x−3≤2,则x的取值范围为 .
【限时训练】（限时：60分钟）
一、单选题
1.(2025·聊城检测)函数y=2-x与y=-2x的图象( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x轴对称
2.已知函数f(x)=2|x-a|的图象关于直线x=2对称,则a等于( )
A.1B.2
C.0D.-2
3.(2025·武汉模拟)已知函数y=f(x)的定义域为R,且函数y=f(x+1)为偶函数,函数y=f(x+2)-1为奇函数,则( )
A.f −12=0B.f(0)=1
C.f 12=0D.f(1)=1
4.已知函数f(x)=x3+ax2+x+b的图象关于点(1,0)对称,则b=( )
A.-3B.-1
C.1D.3
5.已知f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=-3x2+2,则f143=( )
A.-103B.103
C.-23D.23
6.(2025·雅安诊断)已知函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),∀x∈R,f32+x=f12−x恒成立.当x2>x1≥1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)>0,f(0)=-f(2),则不等式f(x)(x2+2x+3)>0的解集为( )
A.(-∞,0)∪(2,+∞)B.(0,2)
C.(-∞,0)∪(1,2)D.(0,1)∪(2,+∞)
7.(2025·广州模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)+f(x-1)=2,f(x+2)为偶函数.若f(0)=2,则
115∑k=1 f(k)=( )
A.116B.115
C.114D.113
8.已知函数f(2x+1)是定义在R上的奇函数,且f(2x+1)的一个周期为2,则( )
A.1为f(x)的周期
B.f(x)的图象关于点12,0对称
C.f(2 027)=0
D.f(x)的图象关于直线x=2对称
二、多选题
9.定义在R上的函数f(x),f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称,恒有f(x-1)=f(3-x),且f(x)在[1,2]上单调递减,则下列结论正确的是( )
A.直线x=1是f(x)的图象的对称轴
B.周期T=2
C.函数f(x)在[4,5]上单调递增
D.f(5)=0
10.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+3)+f(x+1)=0,且f(x+1)为偶函数,则( )
A.f(2)=0B.f(x)为偶函数
C.f(x)为周期函数D.f(x+4)为偶函数
11.函数f(x)与g(x)的定义域为R,且f(x)g(x+2)=4,f(x)·g(-x)=4.若f(x)的图象关于点(0,2)对称,则( )
A.f(x)的图象关于直线x=-1对称
B.2024∑k=1f(k)=2 048
C.g(x)的一个周期为4
D.g(x)的图象关于点(0,2)对称
三、填空题
12.写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)= .
①f(x)是定义域为R的奇函数;
②f(1+x)=f(1-x);
③f(1)=2.
13.已知函数y=f(x)-1是奇函数,若曲线y=1+1x与曲线y=f(x)共有6个交点,分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6),则6∑i=1(xi+yi)= .
14.已知函数f(x)对∀x∈R满足f(x+2)·f(x)=2f(1),且f(x)>0.若y=f(x-1)的图象关于x=1对称,f(0)=1,则f(2 026)= .
四、解答题
15.已知函数f(x)=lg2|x-2|+x2-4x.
(1)判断并证明函数f(x)的对称性;
(2)求f(x)的单调区间.
16.已知函数f(x)=a·2x−2−x2x+2−x是奇函数.
(1)求a的值,并解关于x的不等式f(x)>13;
(2)求函数g(x)=2x+12x+2−x图象的对称中心.
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核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点
考点1 奇函数、偶函数的对称性★★★☆☆
考点2 若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则f(a-x)=f(a+x)★★★☆☆
考点3 两个函数图象的对称★★★☆☆
（星级越高，重要程度越高）
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