高考数学精品课件【一轮复习】第二章 2.4　函数的对称性及应用

这是一份高考数学精品课件【一轮复习】第二章 2.4　函数的对称性及应用，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识回顾，关键能力提升，第一部分，第二部分，考点1函数的对称性，课时作业，第三部分等内容，欢迎下载使用。
考点2　对称性与周期性
考点3　周期性、单调性与对称性
掌握一些函数的轴对称和中心对称公式和推论，会利用函数的对称性解决相关问题．
1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于____对称，偶函数关于____对称．(2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为______；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为__________．2．若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点__________对称．
3．两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于____对称．(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于____对称．(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于____对称．
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　 　)(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称．(　 　)(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．(　 　)(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　 　)
3．（人教A版必修第一册P87T13改编）已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，则f(0)＝__．解析：方法一　由y＝f(x＋2)－3是奇函数，∴f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3，令x＝2，f(0)－3＝－f(4)＋3，得f(0)＝4.方法二　由y＝f(x＋2)－3是奇函数，得f(x)的图象关于点(2，3)对称，故f(0)＋f(4)＝6，即f(0)＝4.
4．若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝__．解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于直线x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，所以f(－1)＝5.
考点1 函数的对称性
对称性的五个常用结论(1)y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．特别地，当b＝0，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．
对称的充要条件1．教材母题：（人教A版必修第一册P87T13）我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．(1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心；(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论．
2．上述问题中第(2)题的结论为：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝c成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋c)为偶函数．
【典例】　（多选）已知函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，函数y＝f(x)图象关于直线x＝c成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋c)为偶函数，则(　 　)
考点2 对称性与周期性
1．若函数y＝f(x)图象的对称轴为直线x＝a，x＝b，则其周期T＝2|b－a|.2．若函数y＝f(x)图象的对称中心为点(a，0)，(b，0)，则其周期T＝2|b－a|.3．若函数y＝f(x)图象的对称轴为直线x＝a，对称中心为点(b，0)，则其周期T＝4|b－a|.
【对点训练2】　(1)（2024·河北石家庄模拟）已知f(x)是周期为3的函数，且∀x∈R都有f(3x)＋f(4－3x)＝4，则f(2 024)＝(　 　)A．－4　　B．－2 C．2　　　D．4解析：由已知f(3x)＋f(4－3x)＝4，即f(x)＋f(4－x)＝4，令x＝2，可知f(2)＋f(2)＝4，即f(2)＝2，又函数f(x)的周期为3，则f(2 024)＝f(2)＝2.故选C.
(2)（2024·山东济南二模）已知函数f(x)的定义域为R，若f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，则f(2 024)＝(　 　)A．0　　　B．1 C．2　　　D．3解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(1＋（1＋x)）＝f(1－（1＋x)），即f(2＋x)＝f(－x)，又f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的定义域为R，所以f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，f(x)＝－f(2＋x)，所以f(2＋x)＝－f(4＋x)，故f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2 024)＝f(506×4＋0)＝f(0)＝0.故选A.
考点3 周期性、单调性与对称性
解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性与对称性缩小自变量的取值范围或转换自变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式．
【对点训练3】　(1)已知定义在R上的函数f(x)在（－∞，2]上单调递增，若函数f(x＋2)为偶函数，且f(3)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为(　 　)A．(0，3)B．(－∞，0)∪(1，3)C．(－∞，0)∪(3，＋∞)D．(0，1)∪(3，＋∞)
解析：由函数f(x＋2)为偶函数，可知函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又函数f(x)在（－∞，2]上单调递增，知函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，由f(3)＝0，知f(1)＝0，作出函数f(x)的大致图象，如图．由图可知，当x