微专题2　函数的对称性高考数学一轮复习讲义练习

这是一份微专题2　函数的对称性高考数学一轮复习讲义练习，共8页。
轴对称
探究1 一个函数的自对称
例 1-1 已知函数f(x－1)为偶函数，且函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，则关于x的不等式f(1－2x)＜f(－7)的解集为( A )
A. (－∞，3)B. (3，＋∞)
C. (－∞，2)D. (2，＋∞)
【解析】 因为f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)的图象关于y轴对称，则f(x)的图象关于直线x＝－1对称．因为f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，－1]上单调递减．因为f(1－2x)＜f(－7)＝f(5)，所以－7＜1－2x＜5，解得x＜3.
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．特别地，当a＝0时，f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，函数为偶函数．推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ eq \f(a＋b,2)对称．
变式 1-1 (2024·萍乡期末)已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2]上单调递增，若函数f(x＋2)为偶函数，且f(3)＝0，则不等式xf(x)＞0的解集为( B )
A. (0，3)
B. (－∞，0)∪(1，3)
C. (－∞，0)∪(3，＋∞)
D. (0，1)∪(3，＋∞)
【解析】 由函数f(x＋2)为偶函数，可知函数f(x)的图象关于x＝2对称．又函数f(x)在(－∞，2]上单调递增，故函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减．由f(3)＝0，知f(1)＝0，作出函数f(x)的大致图象如图所示．由图可知，当x＜0时，由xf(x)＞0，可得f(x)＜0，则x＜0；当x＞0时，由xf(x)＞0，可得f(x)＞0，则1＜x＜3.综上，不等式xf(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，3).
(变式1-1答)
探究2 两个函数的互对称
例 1-2 (2024·平顶山联考)下列函数中，其图象与函数y＝lg2x的图象关于直线x＝2对称的是( D )
A. y＝lg2(2＋x)B. y＝lg2(2－x)
C. y＝lg2(4＋x)D. y＝lg2(4－x)
【解析】 设所求函数图象上的任意一点P(x，y)，点P关于x＝2对称的点为Q(4－x，y)，由题意知点Q在y＝lg2x的图象上，可得y＝lg2(4－x)，即函数y＝lg2x关于x＝2对称的函数解析式为y＝lg2(4－x).
函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a成轴对称．特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．推广：两个函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝ eq \f(b－a,2)对称．
变式 1-2 若函数y＝f(1－x)的图象与函数y＝f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，则m＝( D )
A. 3B. eq \f(3,2)
C. －1D. － eq \f(1,2)
【解析】 设点P(x，y)在函数y＝f(1－x)的图象上，点P关于直线x＝m的对称点为Q(x′，y′)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋x′＝2m，,y＝y′，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2m－x′，,y＝y′，))则y′＝f(1－2m＋x′)，即y＝f(1－2m＋x)与y＝f(1－x)关于直线x＝m对称，则1－2m＝2，解得m＝－ eq \f(1,2).
中心对称
例2 已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝ eq \f(x＋1,x)与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)，则 eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) (xi＋yi)＝_10_．
【解析】 因为函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，即满足 eq \f(f(－x)＋f(x),2)＝1，所以y＝f(x)关于点(0，1)对称．又函数y＝ eq \f(x＋1,x)＝1＋ eq \f(1,x)关于点(0，1)对称，所以函数y＝ eq \f(x＋1,x)与y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)也关于点(0，1)对称，故交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)成对出现，且每一对点都关于(0，1)对称，故 eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) (xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋x10)＋(y1＋y2＋…＋y10)＝0＋ eq \f(10,2)×2＝10.
(1) 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数y＝f(x)的图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))对称．
(2) 两个函数的互对称：函数y＝f(x)与y＝－f(2a－x)的图象关于点(a，0)成中心对称．特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称．推广：两个函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)成中心对称．
变式2 (2024·商洛预测)若y＝f(x＋1)－2为奇函数，则f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝( D )
A. －14B. 14
C. －18D. 18
【解析】 因为y＝f(x＋1)－2为奇函数，所以f(－x＋1)－2＝－f(x＋1)＋2，即f(－x＋1)＋f(x＋1)＝4，故f(x)的对称中心为(1，2)，所以f(－3)＋f(5)＝f(－2)＋f(4)＝f(－1)＋f(3)＝f(0)＋f(2)＝4，又f(1)＋f(1)＝4，即f(1)＝2，所以f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝4×4＋2＝18.
中心对称与轴对称的应用
例3 (1) (2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则( B )
A. f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0B. f(－1)＝0
C. f(2)＝0D. f(4)＝0
【解析】 由函数f(x＋2)为偶函数，可得f(2＋x)＝f(2－x).由函数f(2x＋1)为奇函数，可得f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(2－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，所以F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝f(3)＝f(1)＝0，其他三个选项未知．
(2) (2025·漳州一检)(多选)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0，f(π)＝0，且对任意的x，y∈R，有f(2x)＋f(2y)＝2f(x＋y)f(x－y)，则( ABC )
A. f(0)＝1
B. f(x)是偶函数
C. f(x)的图象关于点(π，0)成中心对称
D. 2π是f(x)的一个周期
【解析】 对于A，根据题意，令x＝y，得f(2x)＋f(2x)＝2f(2x)f(0)，解得f(0)＝1，所以A正确；对于B，令x＝－y，得f(2x)＋f(－2x)＝2f(0)f(2x)＝2f(2x)，所以f(2x)＝f(－2x)，即对任意的x∈R满足f(x)＝f(－x)，即f(x)是偶函数，所以B正确；对于C，令x＋y＝π，可得f(2π－2y)＋f(2y)＝2f(π)f(π－2y)＝0，即f(x)满足f(2π－x)＋f(x)＝0，因此f(x)的图象关于点(π，0)成中心对称，所以C正确；由选项C及f(x)是偶函数，可得f(x－2π)＋f(x)＝0，即f(x)＋f(x＋2π)＝0，所以f(x－2π)＝f(x＋2π)，也即f(x)＝f(x＋4π)，所以4π是f(x)的一个周期，所以D错误．
(1) 如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a＜b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同).
(2) 如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a＜b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a).
(3) 如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|.
变式3 (2024·济宁一模)设函数f(x)的定义域为R，f(2x－1)为奇函数，f(x－2)为偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2－1，则f(2 023)－f(2 024)＝( C )
A. －1B. 0
C. 1D. 2
【解析】 因为函数f(x)的定义域为R，f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以函数f(x)关于点(－1，0)成中心对称，且f(－1)＝0.因为f(x－2)为偶函数，所以f(x－2)＝f(－x－2)，所以函数f(x)关于直线x＝－2成轴对称．又因为f(x)＝－f(－2－x)＝－f(－2＋x)＝－[－f(－4＋x)]，所以函数f(x)的周期为4.因为当x∈[0，1]时，f(x)＝x2－1，所以f(2 023)＝f(4×506－1)＝f(－1)＝0，f(2 024)＝f(4×506)＝f(0)＝－1，所以f(2 023)－f(2 024)＝1.
三次函数的对称中心
例4 (1) 对于定义在D上的函数f(x)，点A(m，n)是f(x)图象的一个对称中心的充要条件是：对任意x∈D都有f(x)＋f(2m－x)＝2n，则函数f(x)＝x3＋2x2＋3x＋4图象的一个对称中心为_ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(70,27)))_．
【解析】 因为f(x)＝x3＋2x2＋3x＋4，f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)×2－x))＝x3＋2x2＋3x＋4＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)×2－x))3＋2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)×2－x))2＋3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)×2－x))＋4＝ eq \f(70,27)×2＝ eq \f(140,27)，所以m＝－ eq \f(2,3)，n＝ eq \f(70,27).所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(70,27)))是f(x)＝x3＋2x2＋3x＋4图象的一个对称中心．
(2) 已知a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么a＋b的值是_2_．
【解析】 由题意知a3－3a2＋5a－3＝－2，b3－3b2＋5b－3＝2，设f(x)＝x3－3x2＋5x－3，则f(a)＝－2，f(b)＝2.因为f(x)图象的对称中心为(1，0)，所以a＋b＝2.
三次函数的对称性
(1) 三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,3a)，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,3a)))))成中心对称．
(2) 另外，若y＝f(x)的图象关于点(m，n)对称，则y＝f′(x)的图象关于x＝m成轴对称，点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数，奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
变式4 (多选)已知函数f(x)＝x3－3x2＋3x，则( AD )
A. f(f(1))＝1
B. 函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
C. 函数f(x)是奇函数
D. 函数f(x)的图象关于点(1，1)中心对称
【解析】 函数f(x)＝x3－3x2＋3x，所以f(1)＝1－3＋3＝1，所以f(f(1))＝f(1)＝1，故A正确；f(－x＋2)＝(－x＋2)3－3(－x＋2)2＋3(－x＋2)＝－x3＋3x2－3x＋2≠f(x)，故函数f(x)的图象关于直线x＝1不对称，故B错误；因为f(－x＋2)＋f(x)＝2，所以函数f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，故D正确；由f(－x)＝－x3－3x2－3x≠f(x)且f(－x)＋f(x)＝－x3－3x2－3x＋x3－3x2＋3x＝－6x2≠0，所以函数f(x)是非奇非偶函数，故C错误．
配套精练
1. (2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( C )
A. －50 B. 0
C. 2 D. 50
【解析】 f(x＋4)＝f(－2－x)＝－f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数周期为4.因为f(1)＝2，f(2)＝0，f(3)＝－2，f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2.
2. (2024·烟台、德州一模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f(lg212)＝( A )
A. － eq \f(1,3) B. － eq \f(1,4)
C. eq \f(1,3) D. eq \f(1,2)
【解析】 定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，则f(x)＝－f(x－2)，于是f(x)＝－f(x－2)＝－[－f(x－4)]＝f(x－4)，即函数f(x)的周期为4.而8＜12＜16，则3＜lg212＜4，－1＜lg212－4＜0，又当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，所以f(lg212)＝f(lg212－4)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(3,4)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(4,3)))＝－(2lg2 eq \f(4,3)－1)＝－ eq \f(1,3).
3. (2021·全国甲卷理)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，若f(0)＋f(3)＝6，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))＝( D )
A. － eq \f(9,4) B. － eq \f(3,2)
C. eq \f(7,4) D. eq \f(5,2)
【解析】 因为f(x＋1)为奇函数，所以f(x＋1)＝－f(－x＋1).因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2).由f(x＋1)＝－f(－x＋1)，得f(x＋2)＝－f(－x)＝f(－x＋2)，即－f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4.由f(x＋1)＝－f(－x＋1)，得f(0)＝－f(2).由f(x＋2)＝f(－x＋2)，得f(3)＝f(1).由f(0)＋f(3)＝6，得－f(2)＋f(1)＝6，即－(4a＋b)＋a＋b＝6，解得a＝－2.由f(x＋1)＝－f(－x＋1)，得f(1)＝－f(1)，即f(1)＝0，所以a＋b＝0，解得b＝2，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2×\f(9,4)＋2))＝ eq \f(5,2).
4. (2024·泰州预测)已知f(x)是定义在R上的函数，且f(2x－1)为偶函数，f(x－2)为奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝ eq \f(1,2x)－1，则f(11)＝( C )
A. －1 B. － eq \f(1,2)
C. eq \f(1,2) D. 1
【解析】 因为f(2x－1)为偶函数，所以f(2x－1)＝f(－2x－1)，即f(x－1)＝f(－x－1)，所以f(x)＝f(－x－2).因为f(x－2)为奇函数，所以f(x－2)＝－f(－x－2)，所以f(x)＝－f(x－2)，即f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以4为函数f(x)的周期，所以f(11)＝f(3).又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(3)＝－f(1)＝ eq \f(1,2)，即f(11)＝ eq \f(1,2).
5. (2024·新乡二模)已知函数f(x)满足f(x＋y＋1)＝f(x)＋f(y)，则下列结论一定正确的是( B )
A. f(x)＋1是奇函数 B. f(x－1)是奇函数
C. f(x)－1是奇函数 D. f(x＋1)是奇函数
【解析】 因为f(x＋y＋1)＝f(x)＋f(y)，令x＝y＝－1，可得f(－1)＝f(－1)＋f(－1)，则f(－1)＝0.令y＝－2－x，则f(－1)＝f(x)＋f(－2－x)＝0，故f(x)的图象关于点(－1，0)对称，则f(x－1)的图象关于点(0，0)对称，即f(x－1)是奇函数，故B正确；对于C，令x＝y＝0，可得f(1)＝f(0)＋f(0)，则f(0)＝ eq \f(1,2)f(1)，当f(1)≠2时，f(0)－1≠0，此时f(x)－1不可能是奇函数，由于无法确定f(1)的值，故f(x)－1不一定是奇函数，故C错误；对于A，D，取f(x)＝x＋1，满足题意，但易知A，D错误．
6. (2024·安庆二模)(多选)已知定义在R上的函数f(x)，满足对任意的实数x，y，均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x＞0时，f(x)＜1，则( ACD )
A. f(0)＝1
B. f(1)＋f(－1)＝1
C. 函数f(x)为减函数
D. 函数y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称
【解析】 对于A，令x＝y＝0，则有f(0)＝f(0)＋f(0)－1，故f(0)＝1，故A正确；对于B，令x＝1，y＝－1，则有f(0)＝f(1)＋f(－1)－1，故f(1)＋f(－1)＝2，故B错误；对于C，令y＞0，则有f(x＋y)－f(x)＝f(y)－1，其中x＋y＞x，f(y)－1＜0，令x1＝x＋y，x2＝x，即有对∀x1，x2∈R，当x1＞x2时，f(x1)－f(x2)＜0恒成立，即函数f(x)为减函数，故C正确；对于D，令y＝－x，则有f(0)＝f(x)＋f(－x)－1，又f(0)＝1，故f(x)＋f(－x)＝2，故函数y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称，故D正确．
7. (多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋1)为奇函数，当x∈[－1，0]时，f(x)＝k·3x－2，则下列结论正确的是( ABC )
A. f(x)关于点(1，0)对称
B. k＝6
C. f(2 026)＝－4
D. 2是f(x)的一个周期
【解析】 因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，因为f(x＋1)是奇函数，所以f(1－x)＝－f(1＋x)，即f(1－x)＋f(1＋x)＝0，故f(x)关于点(1，0)对称，故A正确；因为f(1－x)＋f(1＋x)＝0，令x＝0，得f(1)＝0，从而f(－1)＝f(1)＝0，所以f(－1)＝k×3-1－2＝0，故k＝6，故B正确；因为f(1－x)＝f(x－1)，所以f(x－1)＝－f(x＋1)，f(x＋1)＝－f(x＋3)，即f(x－1)＝f(x＋3)，所以周期T＝4，故D错误；f(2 026)＝f(4×506＋2)＝f(2)，且x∈[－1，0]时，f(x)＝6×3x－2，故f(0)＝6×30－2＝4，在式子f(x－1)＝－f(x＋1)中，令x＝1，得f(0)＝－f(2)，所以f(2)＝－4，故C正确．
8. (多选)已知函数f(x)对∀x∈R都有f(x)＝f(x＋4)＋f(2)，若函数y＝f(x＋3)的图象关于直线x＝－3对称，且对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0，则下列结论正确的是( ABC )
A. f(2)＝0
B. f(x)是偶函数
C. f(x)是周期为4的周期函数
D. f(3)＜f(－4)
【解析】 y＝f(x＋3)的图象关于直线x＝－3对称，故y＝f(x)关于y轴对称，f(x)是偶函数，B正确；在f(x)＝f(x＋4)＋f(2)中，令x＝－2，得f(－2)＝2f(2)，因为f(－2)＝f(2)，所以f(2)＝2f(2)，解得f(2)＝0，A正确；故f(x)＝f(x＋4)，f(x)是周期为4的周期函数，C正确；对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0，故f(x)在[0，2]上单调递增，又f(x)是周期为4的周期函数，且f(x)是偶函数，故f(0)＝f(－4)，f(3)＝f(－1)＝f(1)，因为f(1)＞f(0)，所以f(3)＞f(－4)，D错误．
9. 若函数f(x)＝(x＋3)(2x2＋mx＋n)对于∀x∈R都有f(2－x)＋f(x)＝0，则2m＋n＝_－14_．
【解析】 由对于∀x∈R都有f(2－x)＋f(x)＝0，得函数f(x)图象的对称中心为(1，0)，显然f(－3)＝0，则f(5)＝0，于是f(x)＝2(x＋3)(x－1)(x－5)＝(x＋3)(2x2－12x＋10)，因此m＝－12，n＝10，所以2m＋n＝－24＋10＝－14.
10. 我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数. 已知函数f(x)＝ln eq \f(4－x,x)＋2x，则函数y＝f(x)的对称中心为_(2，4)_．
【解析】 由 eq \f(4－x,x)＞0⇒x(x－4)＜0⇒0＜x＜4，知函数f(x)＝ln eq \f(4－x,x)＋2x的定义域为(0，4).令g(x)＝f(x＋2)－4＝ln eq \f(2－x,x＋2)＋2x，由0＜x＋2＜4⇒－2＜x＜2，知函数g(x)的定义域为(－2，2)，关于原点对称．又g(－x)＝ln eq \f(2＋x,2－x)－2x＝－ln eq \f(2－x,2＋x)－2x＝－g(x)，所以g(x)是奇函数，即f(x＋2)－4是奇函数，所以函数y＝f(x)的对称中心为(2，4).
11. 已知定义在R上的两个函数f(x)和g(x)满足f(x)＋g(1－x)＝3，g(x)＋f(x－3)＝3.若y＝g(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(0)＝_3_．
【解析】 函数g(x)的定义域为R，且y＝g(x)的图象关于点(1，0)对称，所以g(x)＋g(2－x)＝0，所以g(1)＝0，又f(x)＋g(1－x)＝3，当x＝0时，f(0)＋g(1)＝3，所以f(0)＝3.
12. (2024·淮安、连云港期末)已知函数f(2x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，且当x∈(0，1]时，f(x)＝lg2x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(19,2)))＝_1_．
【解析】 由函数f(2x＋1)为奇函数，得f(2x＋1)＋f(－2x＋1)＝0.又f(x＋2)为偶函数，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，且关于直线x＝2对称，即f(2－x)＝－f(x)，f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(19,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－lg2 eq \f(1,2)＝1.