人教B版高中数学必修1 2-2-4《均值不等式的概念》 教学设计

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《均值不等式的概念》教学设计 教学设计 一、阅读引导 1.阅读教材，问题导入. 根据以下提纲，阅读教材第72～74页内容，回答下列问题. 给定两个正数，，可以表示出它们的算术平均值与几何平均值，这两个平均值之间有什么关系呢？与这两个数的相对大小有关系吗？ 提示：，只要，都是正数，这个不等式都成立. 2.归纳总结，核心必记. （1）如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立. （2）均值不等式的实质：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 二、知识深化 均值不等式 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形，设直角三角形的两条直角边长分别为，. 思考1：图中可以抽象出什么不等关系？ 提示：正方形的边长为，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积和小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有. 思考2：如果，，我们可以用，分别代替，吗？ 提示：可以.如果，，则（当且仅当时取等号）. 通常我们把上式写作：如果，，（当且仅当时取等号）. 思考3：两个不等式：与有什么区别？ 提示：两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求，都是实数，后者要求，都是正数.如是成立的，而是不成立的. 思考4：将两边平方得：，如果矩形的长和宽分别为，，从面积的角度能否得出均值不等式的一个几何意义？ 提示：能.所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大. 思考5：如图所示的半圆中，为直径，为圆心.已知，，为半圆上一点，且，算出和，你能给出均值不等式的另一个几何意义吗？ 提示：半径不小于半弦. 三、例题剖析 例1 若，，且，则下列不等式中，恒成立的是 （ ） A. B. C. D. 想一想1：判断不等式是否成立的方法有哪些？ 想一想2：均值不等式等号成立的条件是什么？ 想一想3：使用均值不等式的两个数是否是正数？ 解析：与可能相等，，故A不正确；对于B，C，当，时，不等式不成立，故B，C不正确；对于D，由于，成立（当且仅当时等号成立）. 答案：D 归纳总结 均值不等式的常用变形公式： 由公式和可得出以下结论： （1）（，，当且仅当时，等号成立）. （2）（，，当且仅当时，等号成立）. （3）（，同号）； （4）. 例2 已知，求证，并推导出等号成立的条件. 想一想1：若，这两个数都是正数，是否具备应用均值不等式的条件？ 想一想2：等号何时取到？ 解：因为，所以，， 根据均值不等式得， 即. 当且仅当，即时，等号成立，因为，等号成立的条件是. 练习：教材第76页练习A第2题. 例3 已知，求的最小值，并说明为何值时取得最小值. 想一想1：形如的函数的最值都可以用均值不等式求吗？ 想一想2：等号何时取到？ 解：因为，由均值不等式得 ， 当且仅当即（负值舍去）时，取等号. 故当时，取得最小值2. 变式思考： （1）若，如何求的最值？ （2）若，如何求的取值范围？ 练习：教材第76页练习A第1题. 归纳总结 利用均值不等式求简单函数的最值时，要符合均值不等式的特点. 四、巩固提升 教材第76页练习B第2，3题. 板书设计 教学研讨 教案中给出了均值不等式的两种几何解释，比较新颖.例题的设计也是有别于教材，并高于教材，在给出例题的同时设计了大量的问题串，使例题的价值得到了最大化的体现. 第1课时 均值不等式的概念 一、阅读引导 1.均值不等式 （1）均值不等式：如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立. （2）均值不等式的实质 两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 二、知识深化 1.（当且仅当时等号成立） 2.如果，，则（当且仅当时取等号） 3.两个不等式的区别 4.均值不等式的几何意义 三、例题剖析 例1 例2 例3 四、巩固提升