第06讲 人教A版高二数学选修第二册 利用导数研究不等式能成立（有解）问题(讲义) （原卷版+解析版）

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模块二 基础知识梳理
1能成立(有解)问题
(1)∃x∈D，fx≥0恒成立⟺在D上的fxmax≥0；
(2)∃x∈D，fx≤0恒成立⟺在D上的fxmin≤0；
2双变量存在—恒成立问题
(1)∀x1∈D，∀x2∈E，fx1≥g(x2)恒成立⟺ fxmin≥gxmax；
(2)∀x1∈D，∃x2∈E，fx1≥g(x2)恒成立⟺ fxmin≥gxmin；
(3)∃x1∈D，∀x2∈E，fx1≥g(x2)恒成立⟺ fxmax≥gxmax；
(4)∃x1∈D，∃x2∈E，fx1≥g(x2)恒成立⟺ fxmax≥gxmin；
3 常见处理方法
方法1 直接构造函数法
方法2 分离参数法
方法3数形结合法
方法4 同构法
方法5 放缩法
4 值域法解决双参等式问题
∀x1∈D1，∃x2∈D2， 使得 fx1=gx2 成立
① ∀x1∈D1， 求出 fx1 的值域， 记为 A=fx1∣x1∈D1
② ∃x2∈D2 求出 gx2 的值域， 记为 B=gx1∣x2∈D2
③ 则 A⊆B， 求出参数取值范围.
模块三 核心考点梳理
【题型1】能成立(有解)问题
方法1 分类讨论法
【典题1】 (2024·四川泸州·二模)已知函数fx=2x3−ax2+2a>0．
(1)求曲线y=fx在点0，f0处的切线方程；
(2)若∃x∈−1，1，fx≥3，求实数a的取值范围．
【答案】(1)y=2，(2)(0，1]∪[3，+∞)
【分析】(1)对fx求导，利用导数的几何意义即可得解；
(2)先利用导数分析fx的单调性，再构造g(x)=fx，将问题转化为g(x)max≥3，利用fx的单调性，分析得|f(x)|max，从而得解.
【详解】(1)因为fx=2x3−ax2+2a>0，则f'(x)=6x2−2ax，
所以f(0)=2，f'(0)=0，
所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程y=2；
(2)因为f'(x)=6x2−2ax=6xx−a3，且a>0，
所以当00，fx单调递增；
不妨令g(x)=fx，
当a3≥1，即a≥3时，f(x)在[−1，0]单调递增，在0，1单调递减，
且f(−1)=−a≤−3，f(0)=2，f(1)=4−a≤1，
所以g(x)max=|f(x)|max=max{a，2，|4−a|}≥3，此时符合题意；
当00，ex−x−12ax2−1>0有解，设gx=ex−x−12ax2−1，分a≤0、01讨论即可求解.
【详解】(1)f'x=ex−1=0，得x=0，
当x0，函数fx单调递增，
所以f(x)的极小值为f0=1，无极大值；
(2)对任意x>0，fx>12ax2+1即ex−x−12ax2−1>0，
设gx=ex−x−12ax2−1，x≥0，g'x=ex−1−ax，x≥0，
①当a≤0时，g'x单调递增，g'0=0，g'x>0，gx单调递增，gx>g0=0，成立；
②当00，g'x单调递增，g'0=0，g'x>0，gx单调递增，gx>g0=0，成立；
③当a>1时，当00，
因此函数ℎ(x)，即函数g'(x)在(0，x0)上单调递增，而g'(0)=1−k，
当1−k≥0，即0g(0)=0成立，从而01时，g'(0)=1−ke，
因为y=ex−e，y=−lnx−e在e，+∞内单调递减，
可知ℎx在e，+∞内单调递减，且ℎ2e=0，
当e0，当x∈(0，1]时，f'x0，故实数a的取值范围为−∞，3．
故选：D.
2. (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx=x2+ln−x−a与gx=e−xx的图象有交点，则a的取值范围为( )
A．2，+∞B．e−12，+∞C．−∞，2D．−∞，e−12
【答案】B
【分析】转化为a=x2+ln−x−e−xx在x0，
令gx=x−2+lnx，x>0，
∴g'x=1+1x>0，所以函数gx在0，+∞上单调递增，
又g1=−10，所以存在x0∈1，2，使得gx0=0，即x0−2+lnx0=0，
∴x∈0，x0，gx0，
所以函数fx在0，x0上单调递减，在x0，+∞上单调递增，
∴fx0=1−x0−lnx0x0ex0，又由x0−2+lnx0=0，可得x0ex0=e2，
∴fx0=1−x0−lnx0x0ex0=1−x0+x0−2e2=−1e2.
∴a>−1e2.
故选：A.
4.(多选)(2024·全国·模拟预测)已知函数fx=ex+x−a．若曲线y=sinx上存在点x0，y0，使得ffy0=y0，则实数a的值可以是( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】BC
【分析】根据已知条件先证明fy0=y0，然后将问题转化为“fx=x在0，1上有解”，通过分离参数并构造函数gx=ex+x−x2，x∈0，1，利用导数分析出gx的单调性并求解出其值域，则a的范围可求.
【详解】由题意可知：y0=sinx0∈−1，1，
因为曲线y=sinx上存在点x0，y0，使得ffy0=y0，
所以存在y0∈0，1，使得fy0=y0成立，
且fx=ex+x−a在定义域内单调递增，
下面证明：fy0=y0成立，
假设fy0=c>y0，则ffy0=fc>fy0=c>y0，所以不满足ffy0=y0，假设不成立，
假设fy0=c0，
所以gx在0，1上单调递增，
所以gx的值域为g0，g1，即为1，e，所以a∈1，e，
故选：BC.
5.(2023·河南郑州·模拟预测)已知fx=x−a−1ex−12ax2+a2x−1．(a∈R)
(1)讨论fx的单调性；
(2)若a=−1，且存在x∈0，+∞，使得fx≤lnx+12x2+b+1x，求b的取值范围．
【答案】(1)见解析，(2)[1，+∞)
【分析】
(1)分a≤0和a>0讨论即可；
(2)代入a值，分离参数得b≥xex−lnx−1x，，设ℎ(x)=xex−lnx−1x，利用导数和隐零点法即可得到答案.
【详解】(1)因为f(x)=(x−a−1)ex−12ax2+a2x−1，
所以f'(x)=(x−a)ex−a(x−a)=(x−a)ex−a，
若a≤0，ex−a>0，
x∈(−∞，a)时，f'(x)0)，则g'(a)=1−1a=a−1a，
a∈(0，1)时，g'(a)0，
y=xex在(0，+∞)上单调递增，得x0=ln1x0=−lnx0，
所以ex0=1x0，lnx0x0=−1，x∈0，x0时，m(x)0，ℎ(x)单调递增，
所以ℎ(x)≥ℎx0=ex0−lnx0x0−1x0=1x0+1−1x0=1，
所以b≥1，即b的取值范围是[1，+∞).
方法3 数形结合法
【典题1】 (2023·云南·三模)设函数fx=xex+ax，a>−1，若存在唯一整数x0，使得fx00，
所以gx在(−∞，−1)上单调递减，在(−1，+∞)单调递增，
当x=−1时，gx取得极小值，也为最小值gxmin=g−1=−1e，
且当x=0时，g0=0，当x=−2时，g−2=−2e2，
又由直线y=−ax恒经过原点O(0，0)，斜率为−a(其中a>−1)，
所以a>g−1=−1e且g−2=−2e2≥2a，解得−1e0，a∈R)，若存在唯一的整数x0，使得fx0>0，则实数a的取值范围是 .
【答案】1+e，1+3e22∪0，3e−1
【分析】将题目转化为存在唯一的整数x0，使得gx0在直线ℎx=ax−2+1上方，得到g1>ℎ1ℎ0≥g0或g3>ℎ3ℎ4≥g4，解得答案.
【详解】函数fx=2x−3e2−ax+1ex+2aex(a>0，a∈R)存在唯一的整数x0，使得fx0>0，ax−2+10，gx在x∈−∞，52上单调递增；当x∈52，+∞时，g'x0， g2=ℎ2=1，g'1=3e，

若要存在唯一的整数x0，使得gx0在直线ℎx=ax−2+1上方，
则g1>ℎ1ℎ0≥g0或g3>ℎ3ℎ4≥g4，代入得−e>1−a1−2a≥−3e2或3e>a+15e2≤2a+1a>0，
解得a∈1+e，1+3e22∪0，3e−1，
故答案为：1+e，1+3e22∪0，3e−1.

方法4 同构法
【典题1】 (2023·四川乐山·二模)若存在x0∈−1，2，使不等式x0+e2−1lna≥2aex0+e2x0−2成立，则a的取值范围是( )
A．12e，e2B．1e2，e2C．1e2，e4D．1e，e4
【答案】D
【分析】等价变形给定的不等式，并令aex0=t，构造函数f(t)=e2−1lnt−2t+2，将问题转化为存在t∈ae2，ae−1，使得f(t)≥0成立，再借助导数求解即得.
【详解】依题意，x0+e2−1lna≥2aex0+e2x0−2 ⇔ e2−1lna−e2−1x0≥2aex0−2
⇔e2−1lna−e2−1lnex0≥2aex0−2⇔e2−1lnaex0≥2aex0−2，
令aex0=t，即e2−1lnt−2t+2≥0，由x0∈[−1，2]，得t∈ae2，ae−1，
令f(t)=e2−1lnt−2t+2，则原问题等价于存在t∈ae2，ae−1，使得f(t)≥0成立，
求导得f'(t)=e2−1t−2=e2−1−2tt，由f'(t)e2−12，由f'(t)>0，得00恒成立，
所以ℎ(x)在(0，+∞)上单调递增，且ℎ(0)=0，
所以ℎ(x)=ex−x−1>0恒成立，即ex−1>x⇒ex−1x>1，(x>0)
所以a≤1.
所以a的最大值为1.
故选：C.
【典题2】 (2023·山东聊城·一模)已知函数fx=xlnx+ax，gx=2xex−lnx−x−ln2．
(1)若直线y=x是曲线y=fx的一条切线，求a的值；
(2)若对于任意的x1∈0，+∞，都存在x2∈0，+∞，使fx1≥gx2成立，求a的取值范围．
【答案】(1)e2，(2)1，+∞
【分析】(1) 直线y=x是曲线y=fx的一条切线，根据切点在切线和原函数上，斜率是切点处导数列式求a的值即可；
(2) 把任意的x1∈0，+∞，都存在x2∈0，+∞，使fx1≥gx2成立转化fx≥gxmin=1，在参数分离转化为a≥x−x2lnx恒成立，构造函数φx=x−x2lnx ，求出φxmax=φ1=1，进而求出a 的取值范围.
【详解】(1)由fx=xlnx+ax得f'x=lnx+1−ax2，x>0，
设直线y=x 与曲线y=fx的切点为x0，y0，
则y0=x0y0=x0lnx0+ax0lnx0−ax02+1=1， 解得x0=ea=e2
因此a的值为e2.
(2)由gx=2xex−lnx−x−ln2得g'x=2ex+2xex−1x−1=x+12ex−1x
设ℎx=2ex−1x，则 ℎ'x=2ex+1x2，
因为当x>0时，ℎ'x=2ex+1x2>0，所以ℎx在0，+∞上单调递增，
又因为ℎ14=2e14−40，
所以存在 x0∈0，+∞，使 ℎx0=0，
且当x∈0，x0时， ℎx0；
从而g'x0=0 ，且当 x∈0，x0时， g'x0;
当 x∈1，+∞时，1−x0，φ'xgx2，则实数a的取值范围是 ．
【答案】−∞，1
【分析】将问题转化为两个函数的最值，利用导数求解fx的最值，利用二次函数的性质求解gx的最值，即可求解.
【详解】由题意知f(x)min>g(x)min，
由题意f'x=csx+xsinx−1，且gx=x2−2x+aa∈R的对称轴为直线x=1，
所以当1≤x≤2时，g(x)min=g1=a−1．
设ℎx=f'x，则ℎx=csx+xsinx−1，所以ℎ'x=xcsx，
当x∈0，π2时，ℎ'x>0；当x∈π2，π时，ℎ'x0，ℎπ=−2，所以f'x在区间0，π上只有一个零点，
设为x0，且当x∈0，x0时，f'x>0；当x∈x0，π时，f'xa−1，即a＜1．
因此，实数a的取值范围是−∞，1．
故答案为：−∞，1
4.(2023·全国·模拟预测)已知函数f(x)=x−4ex−x2+6x，g(x)=lnx−a+1x，a>−1．
(1)求fx的极值；
(2)若存在x1∈1，3，对任意的x2∈e2，e3，使得不等式gx2>fx1成立，求实数a的取值范围．(e3≈20.09)
【答案】(1)极大值−ln22+8ln2−8，极小值为9−e3，(2)−1，−6e3
【分析】(1)求出f'(x)，令f'(x)=0，得x=3或x=ln2，再列出x，f'(x)，f(x)的变化关系表，根据表格和极值的概念可求出结果；
(2)根据(1)求出fx在1，3上的最小值为f(3)=9−e3，则将若存在x1∈1，3，对任意的x2∈e2，e3，使得不等式gx2>fx1成立，转化为a+10，则gx单调递增，
g(x)min=g(x0)=ex0+1−ln(x0+1)−b．
ex0+1−1x0+1=0，ex0+1=1x0+1，两边取对数可得
x0+1=ln1x0+1=−ln(x0+1)，
g(x0)=ex0+1−ln(x0+1)−b=1x0+1+(x0+1)−b．
令ℎx=1x+1+x+1−b(−120，当x∈0，a时f'x0，fx在0，+∞上单调递增，
此时fx=x−alnx x>0值域为R，符合题意.
③当a=0时，fx=x x>0的值域为0，+∞，不符合题意.
综上所述，实数a的取值范围为−∞，0∪e，+∞.
故选：B.
2. (2024·河北·模拟预测)已知函数．
(Ⅰ)若，求函数的极值；
(Ⅱ)若，，，使得，求实数的取值范围．
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；
(Ⅱ)得到；设在上的值域为，函数在上的值域为，根据函数的单调性求出的范围即可．
【解答】解：(Ⅰ)依题意，，，
因为，故当时，，当时，，
故当时，有极小值，极小值为(1)，无极大值．
(Ⅱ)当时，．
因为，，使得，
故；设在上的值域为，
函数在上的值域为，
当时，，即函数在上单调递减，
故，，又．
当时，在上单调递减，此时的值域为，
因为，又，故，即；
当时，在上单调递增，
此时的值域为，因为，又，
故，故；
综上所述，实数的取值范围为．
3. (2024·全国·高三专题练习)已知函数，．
(1)求函数的单调区间及极值；
(2)设时，存在，，使方程成立，求实数的最小值．
【分析】(1)求导后，利用导数的符号可得函数的单调性，利用单调性可得函数的极值；
(2)存在，，使方程成立转化为必然存在，使；，，等价于方程有解，即有解，然后构造函数，利用导数求出最小值可解决．
【解答】解：(1)由得，
令，得，
当时，；
当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以时，函数有极大值且为，没有极小值．
(2)当时，由(1)知，函数在处有最大值，
又因为，
方程有解，必然存在，使；
，，
等价于方程有解，即有解，
记，，令，得，
当时，，单调递减；
当，时，，单调递增，
所以时，，
所以实数的最小值为．
x
−∞，ln2
ln2
ln2，3
3
3，+∞
f'x
＋
0
－
0
＋
fx
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增