人教A版高二数学选修第二册利用导数研究双变量问题讲义（学生版+解析版）

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模块一 基础知识梳理
破解双参数不等式的方法:
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式:
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值;
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果
模块二 核心考点梳理
1．（2024·天津·高考真题）设函数．
(1)求图象上点处的切线方程；
(2)若在时恒成立，求的值；
(3)若，证明．
2．（2022·北京·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意的，有．
3．（2021·全国·高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数，其中．
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)当时，若且，比较与的大小，并说明理由
2．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知函数，其中.
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明：.
3．（23-24高三下·北京·开学考试）已知.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)设，求的单调区间；
(3)求证：当时，.
4．（22-23高三下·四川成都·开学考试）已知函数，．
(1)求证：存在唯一零点；
(2)设，若存在，使得，求证：．
5．（23-24高三上·江西·阶段练习）已知函数.
(1)当时，存在，使得，求M的最大值；
(2)已知m，n是的两个零点，记为的导函数，若，且，证明：.
1．（2023·甘肃定西·模拟预测）已知函数．
(1)若a＝1，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且，求证：．
2．（2024·四川德阳·二模）已知函数，
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，求的最小值.
3．（2023·福建龙岩·模拟预测）设函数.
(1)求的极值；
(2)已知，有最小值，求的取值范围.
4．（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数．
(1)求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点；
(2)若，满足，且，求的取值范围．
5．（2022·四川泸州·一模）已知函数的图像在处的切线与直线平行．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且时，，求实数m的取值范围．
6．（2023·河南郑州·三模）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个极值点，，且，求证：．
7．（2023·福建龙岩·二模）已知函数，．
(1)若满足，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线；
(2)若，且，证明：．
8．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知函数，．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)设是函数的两个极值点，证明：．
9．（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．
10．（2023·广西·模拟预测）已知函数．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)若有两个不同零点，证明：．
11．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若，当时，证明：．
12．（2023·海南·模拟预测）已知函数在上单调递增.
(1)求的取值范围；
(2)若存在正数满足（为的导函数），求证：.
13．（2024高三下·全国·专题练习）设是函数的一个极值点．
(1)求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
(2)设，．若存在，，使得，求实数的取值范围．
14．（2024·浙江绍兴·三模）若函数有且仅有一个极值点，函数有且仅有一个极值点，且，则称与具有性质．
(1)函数与是否具有性质？并说明理由．
(2)已知函数与具有性质．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
15．（2023·全国·模拟预测）已知函数.
(1)设函数，若恒成立，求的最小值；
(2)若方程有两个不相等的实根、，求证：.
1．（重庆·高考真题）设函数，.
（1）求导数，并证明有两个不同的极值点､；
（2）若不等式成立，求的取值范围.
2．（湖南·高考真题）设函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
已知函数，的导函数是．对任意两个不相等的正数、，证明：
(1)当时，；
(2)当时，．