苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第11练分式方程(暑假分层作业)(原卷版+解析)

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（一）分式方程
1.分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2.分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3.分式方程的特殊解法
换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
（二）列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；
1.工程问题
（1）基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间
（2）常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量
（3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题
2.行程问题
（1）基本量之间的关系：路程=速度×时间
（2）常见等量关系：
相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程
追及问题（设甲速度快）：
同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程
同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差；甲的路程=乙的路程
3.水中航行问题：
顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；
逆流速度=船在静水中的速度–水流速度
4.增长率问题：
常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×（1+增长率）；
5.数字问题：
基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100
（三）列方程解应用题的常用方法
1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。
2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。
3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。
4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。
1．已知方程：
①； ② ③； ④．
这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】根据定义可知，①②③为分式方程，故选：B．
2．某工程甲单独做需x天完成，如果乙单独做要比甲多3天．若甲乙合作5天后，余下的由甲独做3天也能完成该工程，那么根据题意可列出方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解：∵某工程甲单独做需x天完成，如果乙单独做要比甲多3天
∴为甲每天能完成的工作量，为乙每天能完成的工作量，即甲乙合作5天的工作量，为甲独做3天的工作量，化简为：．故选：A．
3．若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．1B．-1C．0D．
【答案】D
【解析】解：，
化简得：，
当分式方程有增根时，
代入得，
当分母为0时，，
的值为-1或1，
故选：D．
4．若关于x的方程有增根，则a的值是（ ）．
A．3B．—3C．9D．—9
【答案】A
【解析】解：原方程两边同乘以(x−3)得
2(x−3)+a=x，
∵方程有增根，
∴增根为x=3，
将x=3代入得，a=3，
故选：A．
5．若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：
去分母，得
x+m-3m=3(x-2)解得x=3-m
∵3-m≠2
∴m≠1
又分式方程的解为正实数
∴3-m＞0
∴m＜3
∴实数m的取值范围是
故选：A．
6．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（ ）
A．k≤-12且k≠-3B．k>-12C．k