苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第1部分-复习篇-专题03分式(学生版+解析)

这是一份苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第1部分-复习篇-专题03分式(学生版+解析)，文件包含苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第1部分-复习篇-专题03分式教师版docx、苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第1部分-复习篇-专题03分式学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共47页， 欢迎下载使用。
【考点1：】分式 【考点2：】分式的基本性质
【考点3：】分式的加减 【考点4：】分式的乘除
【考点5：】分式方程
一、分式的有关概念及性质
1．分式
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.
2.分式的基本性质
（M为不等于0的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子、分母中含有公因式，要进行约分化简.
二、分式的运算
1．约分
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
3．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
QUOTE ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
（2）乘法运算 ，其中是整式，.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算 ，其中是整式，.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方.
4.分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
三、分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根.
注：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.
四、分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
考点剖析
【考点1：】分式
1．分式中，当时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零B．分式无意义
C．若时，分式的值为零D．若时，分式的值为零
2．若分式的值为0，则x 的值为（ ）
A．B．0C．D．2
3．若，且，则分式 ．
4．已知，则分式为 ．
5．已经，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
6．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题：
(1)将变形为满足以上结果要求的形式： ；
(2)将变形为满足以上结果要求的形式： ；
(3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ．

【考点2：】分式的基本性质
1．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（ ）
A．B．C．D．
2．把分式中的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．缩小为原来的B．不变
C．扩大为原来的2倍D．扩大为原来的4倍
3．已知，，则 ．
4．不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ．
5．（1）通分：和；（2）约分：
6．先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中．
【考点3：】分式的加减
1．计算的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．化简的结果是（ ）
A．B．C．D．1
3．化简： ．
4．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 天完成任务．
5．观察下列等式．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
…
(1)按上面的规律，第6个等式为 ．
(2)请你归纳出第个等式（用含的等式表示， 为正整数），并运用分式的有关知识证明你的结论．
6．【阅读理解】
材料1：为了研究分式与分母的关系，小明得到数据如下表：
从表格数据观察可知，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：．
【应用新知】
（1）当时，随着的增大，的值______（填增大或减小）；
当时，随着的增大，的值______（填增大或减小）；
（2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
【能力提升】
（3）当时，求代数式值的取值范围．
【考点4：】分式的乘除
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．若，，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
3．对于任意两个非零实数，，定义新运算“*”如下：，例如：．则
（1） ．
（2）若，则的值为 ．
4．如果记，并且表示当时y的值，即；表示当时y的值，即，那么 ．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．
5．计算：
(1)；
(2)；
(3)先化简，再求值：，其中．
6．【阅读材料】在解决分式问题时，例数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其例数形式，进行相应的化简计算，最后再将求得的值求倒数以达到解决问题目的．
例：若，求代数式的值．
解：，
，
，
．
【尝试解决】已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【考点5：】分式方程
1．某班学生去距学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为，下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．3B．0C．D．2
3．若关于x的方程 的解为负数，则m的取值范围是 ．
4．若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
5．解方程：
(1)；
(2)．
6．为了方便师生锻炼身体，某学校准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，乙工程队每天施工，甲工程队每天比乙工程队每天多施工，甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
(1)求的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的施工面积不少于．求甲工程队至少单独施工多少天？

过关检测
1．代数式，，，，，中分式的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．若，则□内应填的代数式是（ ）
A．B．C．D．
3．淇淇准备完成题目： “解方程： ”发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是， 请你帮助淇淇推断印刷不清的位置可能是（ ）
A． B．C． D．
4．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
5．对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（ ）
A．B．C．D．
6．2023年9月23日，第19届亚运会在浙江举行，金华作为协办城市也在紧锣密鼓的做着最后的准备，迎接亚洲各国宾客的到来．体育中心的一项装饰任务，若甲、乙两队合作，4天可以完成．他们合作了3天后，乙队另有任务，甲队单独又用了天才全部完成．问甲、乙两队单独做，各需几天完成？设甲队单独做需要天，根据题意可列出方程（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，，…，（n为正整数，且，1），则用含t的式子的结果为（ ）
A．tB．－tC．D．
8．甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚出发，并且在中途停留后，按原来速度的一半继续前进．此过程中，甲、乙两人离A地的路程s（）与甲出发的时间t（）之间的关系如图．下列说法：①A，B两地相距；②甲比乙晚到B地；③乙从A地刚出发时的速度为；④乙出发与甲第三次相遇．其中正确的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
9．利用分式基本性质变形可得，则整式 ．
10．当时，分式无意义，则的值为 ．
11．若实数x满足，则的值为 ．
12．若关于的一元一次不等式组恰好有个偶数解，关于的分式方程有整数解，则所有符合条件的整数的和是 ．
13．若实数都是整数，且，则 ．
14．已知非0实数a，b，c满足．则 ．
15．已知，，都是正数）．
(1)计算：；
(2)若，说明的理由；
(3)设，且为正整数，试用等式表示，之间的关系．
16．某商场进货员预测一种应季恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
(1)该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是多少元？
(2)如果两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件恤衫按七折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后利润率不低于62%(不考虑其他因素)，那么每件恤衫的标价至少是多少元？
17．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题：
(1)（，为常数），则 ， ；
(2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由；
(3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由．
18．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”．
(1)若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k．
(2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”．
①________（用含x的式子表示）；
②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________．
(3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值．
…
0
1
2
3
4
…
…
无意义
1
0.5
0.25
…