北师大版（2024）七年级上册（2024）一元一次方程的应用教课内容课件ppt

这是一份北师大版（2024）七年级上册（2024）一元一次方程的应用教课内容课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了第1课时，68π，x－3，x＋4，x－3＝7x＋4，x－3400，x－100，y＋3400，y＋100，古代数学问题等内容，欢迎下载使用。
如图，用一块橡皮泥先捏出一个“瘦高”的圆柱，然后再让这个“瘦高”的圆柱“变矮”，变成一个“矮胖”的圆柱， 请思考下列几个问题：
(1) 在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直径是否变化了? 还有哪些量改变了?(2) 在这个变化过程中，什么量没有变化呢?
某饮料公司有一种底面直径和高分别为 6.6cm，12cm 的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为 6cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米?
(1) 这个问题中包含哪些量? 它们之间有怎样的等量关系?
圆柱形易拉罐的直径、高，改造后的直径、高，易拉罐的容积.
(2) 设新包装的高度为 x cm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗?
(3) 根据等量关系，你能列出怎样的方程?
设新包装的高度为 x cm。根据等量关系，列出方程：____________________________。解这个方程，得 x＝________。因此，易拉罐的高度变为 _______ cm。
(1) 如果该长方形的长比宽多 1.4 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米?(2) 如果该长方形的长比宽多 0.8 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米?此时的长方形与 (1) 中的长方形相比，面积有什么变化?
分析：本题涉及哪些量? 它们之间有怎样的等量关系?
(3) 如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米?正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化?
(1) 如果该长方形的长比宽多 1.4 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米?
解：设此时长方形的宽为 x m，则它的长为 (x＋1.4) m。根据题意，得 2(x＋1.4)＋2x＝10。解这个方程，得 x＝1.8。1.8＋1.4＝3.2.此时长方形的长为 3.2 m，宽为 1.8 m。
(2) 如果该长方形的长比宽多 0.8 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? 此时的长方形与 (1) 中的长方形相比，面积有什么变化?
解：设此时长方形的宽为 x m，则它的长为 (x＋0.8) m。根据题意，得 2(x＋0.8)＋2x＝10。解这个方程，得 x＝2.1。2.1＋0.8＝2.9。
此时长方形的长为 2.9 m，宽为 2.4 m，面积为 2.9×2.1＝6.09(m2)，(1) 中长方形的面积为3.2×1.8＝5.76(m2)。此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09－5.76＝0.33 (m2)。
(3) 如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米? 正方形的面积与 (2) 中长方形的面积相比又有什么变化?
解：设正方形的边长为 x m。根据题意，得 4x＝10。解这个方程，得 x＝2.5。正方形的边长为 2.5 m，面积为 2.5×2.5＝6.25 (m2)，比(2)中长方形的面积增大 6.25－6.09＝0.16 (m2)。
在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量? 列方程的思路是什么? 与同伴进行交流。
方程的左边是长方形的周长，右边是铁丝长，解题思路是长方形的周长等于铁丝长.
1. 一个梯形的下底比上底多 6 cm，高是 8 cm，面积为 88 cm，求这个梯形的上底和下底的长度。
利用一元一次方程解决一般几何图形问题
第2课时 古代数学问题
把一些书分给几名学生，如果每人分3本，那么多出8本；如果每人分5本，那么还少2本.共有多少本书？ 共有多少名学生？
《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何?
题目大意：几个人合伙买东西，若每人出 8 钱，则会多出 3 钱；若每人出 7 钱，则还少 4 钱。合伙人数、物品的价格分别是多少?
(1)问题中有哪些已知量和未知量? 它们之间有怎样的等量关系?
已知量：每人出的钱数，总钱数与物品价格的差；未知量：合伙人数、物品价格.等量关系：每人出的钱数×人数－多出的钱数 ＝每人出的钱数×人数＋少出的钱数
(2) 设人数为 x ，其他未知量能用含 x 的代数式表示吗? 请完成下表。
设人数为 x。根据等量关系，列出方程：____________。解这个方程，得 x＝_______。因此，人数为_______，物价为_________钱。
如果设物价为 y 钱，你能列出怎样的方程? 与同伴进行交流。
《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问：人数、金价各几何?
题目大意：几个人合伙买金，每人出 400 钱，会多出 3400 钱；每人出 300 钱，会多出 100 钱。合伙人数、金价各是多少?
分析：设人数为 x 你能把下表补充完整吗?
每人出的较多钱数×人数－多出的钱数＝每人出的较少钱数×人数－多出的钱数.
解：设合伙人数为 x，则金价可表示为 (400x－3400) 钱，还可表示为 (300x－100) 钱，根据等量关系，列出方程：400x－3 400＝300x－100.解这个方程，得 x＝33。300×33－100＝9800。因此，人数为 33，金价为 9800 钱。
方程的两边就是金价的两种不同的表达式。
(1) 对于例2，如果设金价为 y 钱，能列出怎样的方程?
设金价为 y 钱，则人数可表示为________________根据等量关系，列出方程：____________________　
(2) 对于例2，《九章算术》给出了一种算法：人数＝两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差；物价＝每人出的钱数×人数－剩余钱数。你能理解这种解法吗? 与方程的求解过程相比，有什么不同?与同伴进行交流。
①和②两边分别相减得到
两次出钱总数之差＝两次剩余钱数之差
所以 人数＝两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差.
两次出钱总数之差＝两次每人所出钱数之差×人数，
1. 隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤 。问：人、银各几何? (选自《算法统宗》)题目大意：几个人分银子，若每人分 7 两，则剩余 4 两；若每人分 9 两，则差 8 两。有多少个人? 有多少两银子?
解：设有 x 个人.由题意，得 7x＋4＝9x－8.解这个方程，得 x＝6.7×6＋4＝46 (两).因此，有6个人，46 两银子.
数学问题(一元一次方程)
小明每天早上要到距家1000m的学校上学。一天，小明以 80 m/min 的速度出发，出发后5min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以 180m/min 的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间? 追上小明时，距离学校还有多远?
(1)问题中有哪些已知量和未知量?
已知量：小明家与学校的距离、小明的速度、爸爸的速度、小明先出发的时间；未知量：爸爸追小明所用的时间、爸爸追小明期间小明所走的路程、爸爸追小明的路程.
(2)想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗?
小明先出发的路程＋爸爸追小明期间小明所走的路程＝ 爸爸追小明的路程
(3) 你是怎样列出方程的? 与同伴进行交流。
设爸爸追上小明用了 x min。当爸爸追上小明时，两人所行路程相等，如图 5-3 所示。
根据等量关系，可列出方程：______ ________________________。解这个方程，得 x＝___________。因此，爸爸追上小明用了_______ min，此时距离学校还有__________m。
80x＋80×5＝180x
小明和小华两人在 400 m 的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑 260 m，小华每分钟跑 300 m，两人起跑时站在跑道同一位置。(1) 如果小明起跑后 1 min 小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明?(2) 如果小明起跑后 1 min 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇?
分析：本题涉及哪些量?你能画图说明小明和小华跑步的情形吗?在问题(1)和(2)中，两人所走的路程分别有什么关系?
(1) 如果小明起跑后 1 min 小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明?
解：设小华用 x min 追上小明，根据等量关系，可列出方程：260＋260x＝300x。解这个方程，得 x＝6.5.因此，小华用 6.5 min 追上小明。
(2) 如果小明起跑后 1 min 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇?
解：设小华起跑后 x min 两人首次相遇，根据等量关系，可列出方程：260x＋300x＝400－260。解这个方程，得 x＝0.25.因此，小华起跑后 0.25 min 两人首次相遇。
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么? 与同伴进行交流。
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤如图 5-4 所示：
回顾本节一元一次方程应用的学习，对于如何寻找等量关系列方程，你积累了哪些经验?
1. 今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺。问：几何? (选自《孙子算经》) 题目大意：有一根木材，不知道它的长度，用一根绳子来量，绳子长出 4 尺 5 寸；将这根绳子对折来量，绳子差 1 尺。这根木材有多长?
解：设这根木材的长为 x 尺.x＋4.5＝2(x－1).解这个方程，得 x＝6.5.因此，这根木材长 6 尺 5 寸.
有人曾经做过一个很有趣的实验：100名飞行员在草坪上整齐地排列，把他们的眼睛都蒙起来，然后叫他们一直向前走。起初，他们走得还比较直；接着一些人渐渐向右偏转，另一些人向左偏转，逐渐转起圈来，最后他们又踏上了自己已走过的路径。实际上，很久以前人们就已经注意到：在荒漠中没有携带指南针的旅行家，也不太能走成直线方向，而是绕着圆圈打转，接连多次回到他的出发点。
上面的现象看起来仿佛有点神秘，其实道理并不复杂。人走路的时候，只有两腿肌肉工作得完全相同，他才可以不需要用眼睛就能走成直线。但实际上绝大多数人的双腿肌肉发育得并不相同。举例来说，一位步行者左腿比右腿迈的步子大，除非用眼睛来帮助修正走路的方向，否则他就要向右边斜过去，直至走成两个同心圆 (如图 5-5)。
解决行程问题的基本步骤
同地不同时：甲路程＝乙路程
同时不同地：甲路程＋路程差＝乙路程
甲路程＋乙路程＝总路程
1. 两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为4cm和8cm，高分别为39cm和10cm。先在右侧容器中倒满水，然后将其倒入左侧容器中。倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有多少厘米?
小刚是这样做的：设倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有 x cm。列方程 π×22×(39－x)＝π×42×10。解得 x＝－1。请你对他的结果作出合理的解释。
解：说明左侧容器的容积小于右侧容器的容积，即 π×22×39＜π×42×10，将右侧容器中倒满水，往左侧容器中倒时，将会有水溢出. (答案不唯一)
2. 试联系生活实际编写一道可以用一元一次方程解决的应用问题。
3. 现有两块试验田，第一块试验田的面积比第二块试验田面积的 3 倍还多 100 m2，这两块试验田的面积共 2 900 m2，两块试验田的面积分别是多少?
解：设第二块试验田的面积为 x m2，则第一块试验田的面积为 (3x＋100)m2.
由题意，得 x＋3x＋100＝2 900.解这个方程，得 x＝700.则 3×700＋100＝2 200(m2).因此，第一块试验田的面积为 2200 m2，第二块试验田的面积为 700 m2.
4. 如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条。如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少?
解：设正方形纸片的边长为 x cm.由题意，得 4x＝5(x－4).解这个方程得 x＝20.4×20＝80 (cm2).因此，每一个长条的面积为 80 cm2.
5. 如图，某种卷筒纸的外直径为 14 cm，内直径为 6 cm，每层纸的厚度为 0.02 cm。假如把这筒纸全部拉开那么这筒纸的总长度大约是多少米 (π取3.14)?
6. 某物流中转站为提高工作效率，配置了快递自动化智能分拣设备，现对一批中转货物进行分拣。若每套设备每小时分拣 3.5 万件，则经过 1 h，剩下 4 万件未分拣；若每套设备每小时分拣4万件，则经过 1 h，剩下 1 万件未分拣。该物流中转站配置了多少套这样的分拣设备?
解：设该物流中转站配置了 x 套这样的分拣设备。由题意，得 3.5x＋4＝4x＋1.解这个方程，得 x=6.因此，该物流中转站配置了 6 套这样的分拣设备。
7. 今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十。问：家数、牛价各几何? (选自《九章算术》)
题目大意：几家人合伙买牛，若每 7 家合伙出 190 钱，则差330 钱；若每 9 家合伙出 270 钱，则多了30 钱。家数、牛价各是多少?
8. 小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑 4 m，小强每秒跑6 m。
(1) 如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇?
解：设 x s 后两人相遇，由题意，得 4x＋6x＝100，解这个方程，得 x＝10.因此，10 s 后两人相遇
(2) 如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面 10 m 处，两人同时同向起跑，经过几秒小强能追上小彬?
解：设 y s 后小强能追上小彬.由题意，得 6y－4y＝10.解这个方程，得 y＝5.因此，5 s 后小强能追上小彬.
(1) 求丢番图去世时的年龄；
(2) 尝试提出其他问题并列方程解决。
10. 根据本节例3的情境，你还能提出其他问题并列方程解决吗?