5.3.3行程问题（教学课件）2025-2026学年七年级数学上册北师大版（2024）

5.3.3 行程问题 教学课件内容幻灯片 1：标题页标题：5.3.3 行程问题副标题：一元一次方程的实际应用作者：[教师姓名]日期：[授课日期]学习目标：掌握行程问题的基本公式，理解速度、时间、路程之间的关系能分析相遇、追及等不同类型行程问题的等量关系会运用一元一次方程解决各类行程实际问题培养建立数学模型解决实际问题的能力，提高逻辑思维能力幻灯片 2：情境引入生活中的行程问题：展示与行程相关的实际场景：甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，经过 3 小时相遇，已知两人速度，求两地距离小明骑自行车从家到学校，若每小时行 12 千米，可提前 10 分钟到达；若每小时行 10 千米，则迟到 5 分钟，求家到学校的距离一辆客车和一辆货车同时从同一地点出发，客车每小时比货车快 20 千米，客车行驶 3 小时后与货车相距 60 千米，求两车速度一艘船顺流航行速度为 20 千米 / 小时，逆流航行速度为 16 千米 / 小时，求船在静水中的速度和水流速度思考：这些问题都涉及速度、时间和路程三个量，如何根据它们之间的关系建立方程求解？幻灯片 3：基本公式与关系核心公式行程问题的基本关系式：路程 = 速度 × 时间（s = v × t）由此可推导出：速度 = 路程 ÷ 时间（v = s ÷ t）时间 = 路程 ÷ 速度（t = s ÷ v）单位关系常用速度单位：千米 / 小时（km/h）、米 / 分钟（m/min）、米 / 秒（m/s）单位换算：1km/h = 1000m/3600s = 5/18 m/s；1m/s = 3.6km/h注意：解题时需保证速度、时间、路程的单位统一（如速度用 km/h，时间用 h，路程用 km）分类类型行程问题主要类型：相遇问题追及问题顺逆流问题环形跑道问题分段变速问题幻灯片 4：类型一 —— 相遇问题基本特征两个物体从两地出发，相向而行，最终相遇核心等量关系：总路程 = 甲走的路程 + 乙走的路程若同时出发，相遇时两者所用时间相等示意图A地 ←———————总路程———————→ B地 甲的路程 乙的路程 甲————————————●————————————乙 相遇点 例题解析例 1：A、B 两地相距 450 千米，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲车速度为 60 千米 / 小时，乙车速度为 90 千米 / 小时，经过几小时两车相遇？分析：等量关系：甲车路程 + 乙车路程 = 总路程设经过 x 小时两车相遇，则甲车路程 = 60x 千米，乙车路程 = 90x 千米解：设经过 x 小时两车相遇根据题意列方程：60x + 90x = 450合并同类项得：150x = 450系数化为 1 得：x = 3答：经过 3 小时两车相遇。幻灯片 5：类型二 —— 追及问题基本特征两个物体从不同地点出发（或同一地点不同时出发），同向而行，快者追慢者核心等量关系：同地不同时：慢者先行路程 + 慢者后行路程 = 快者路程同时不同地：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离示意图慢者先行 慢者后行 ●——————●——————●快者 初始距离 追及点 例题解析例 2：小明以 5 千米 / 小时的速度步行上学，出发 12 分钟后，爸爸发现他忘带作业本，立即以 15 千米 / 小时的速度骑自行车追赶，爸爸多久能追上小明？分析：等量关系：小明先行路程 + 小明后行路程 = 爸爸路程12 分钟 = 0.2 小时，设爸爸经过 x 小时追上小明解：12 分钟 = 12/60 = 0.2 小时设爸爸经过 x 小时追上小明根据题意列方程：5×0.2 + 5x = 15x化简得：1 + 5x = 15x移项得：15x - 5x = 1合并同类项得：10x = 1系数化为 1 得：x = 0.1（小时）= 6 分钟答：爸爸 6 分钟能追上小明。幻灯片 6：类型三 —— 顺逆流问题基本特征涉及船在水中航行或飞机在风中飞行，速度受水流（风速）影响核心关系式：顺流速度 = 静水速度 + 水流速度（v 顺 = v 静 + v 水）逆流速度 = 静水速度 - 水流速度（v 逆 = v 静 - v 水）核心等量关系：顺流路程 = 逆流路程（往返路程相同）例题解析例 3：一艘船往返于 A、B 两码头之间，顺流航行需 3 小时，逆流航行需 5 小时，已知水流速度为 4 千米 / 小时，求 A、B 两码头之间的距离。分析：设船在静水中的速度为 x 千米 / 小时，则顺流速度 =(x+4) 千米 / 小时，逆流速度 =(x-4) 千米 / 小时等量关系：顺流路程 = 逆流路程解：设船在静水中的速度为 x 千米 / 小时根据题意列方程：3 (x + 4) = 5 (x - 4)去括号得：3x + 12 = 5x - 20移项得：3x - 5x = -20 - 12合并同类项得：-2x = -32系数化为 1 得：x = 16两码头距离 = 3×(16 + 4) = 3×20 = 60（千米）答：A、B 两码头之间的距离为 60 千米。幻灯片 7：类型四 —— 环形跑道问题基本特征物体在环形跑道上运动，可能同向而行（追及）或相向而行（相遇）核心等量关系：相向而行：首次相遇时，两人路程和 = 跑道周长同向而行：首次追上时，快者路程 - 慢者路程 = 跑道周长示意图相向而行： ●——————● | | ●——————● 路程和=周长 同向而行： ●——————→ | | ←——————● 路程差=周长 例题解析例 4：在 400 米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地出发，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米。(1) 若相向而行，经过几秒首次相遇？(2) 若同向而行，经过几秒甲首次追上乙？解：(1) 设相向而行经过 x 秒首次相遇等量关系：甲路程 + 乙路程 = 400列方程：6x + 4x = 400 → 10x = 400 → x = 40(2) 设同向而行经过 y 秒甲首次追上乙等量关系：甲路程 - 乙路程 = 400列方程：6y - 4y = 400 → 2y = 400 → y = 200答：(1) 相向而行 40 秒首次相遇；(2) 同向而行 200 秒甲首次追上乙。幻灯片 8：类型五 —— 分段变速问题基本特征物体在整个行程中速度发生变化，需分段计算路程核心等量关系：总路程 = 各段路程之和；总时间 = 各段时间之和例题解析例 5：从家到学校的路程为 3 千米，小明先走一段平路，再走上坡路。平路速度为 4 千米 / 小时，上坡速度为 3 千米 / 小时，全程共用 50 分钟，求平路和上坡路的长度。分析：50 分钟 = 5/6 小时，设平路长度为 x 千米，则上坡路长度 =(3 - x) 千米等量关系：平路时间 + 上坡时间 = 总时间解：50 分钟 = 50/60 = 5/6 小时设平路长度为 x 千米，则上坡路长度为 (3 - x) 千米根据题意列方程：x/4 + (3 - x)/3 = 5/6两边乘 12 去分母得：3x + 4 (3 - x) = 10去括号得：3x + 12 - 4x = 10时到达，每小时需多行多少千米？一艘船在静水中的速度为 18 千米 / 小时，水流速度为 2 千米 / 小时，这艘船顺流航行 300 千米需要多少小时？提高题：4. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发同向而行，甲车在乙车后面，甲车速度为 80 千米 / 小时，乙车速度为 60 千米 / 小时，经过 4 小时甲车追上乙车，求 A、B 两地距离。小明从家到学校，若每分钟走 60 米，迟到 5 分钟；若每分钟走 75 米，提前 2 分钟到校，求家到学校的距离。幻灯片 12：知识拓展行程问题中的数学思想：数形结合思想：通过画线段图将抽象的行程问题转化为直观的图形，帮助分析等量关系分类讨论思想：对于复杂的行程问题（如多次相遇、追及），需分阶段讨论运动过程方程思想：将实际问题转化为数学方程，通过求解方程解决问题古代行程问题：《九章算术》中记载：“今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？” 这类问题涉及变速运动，体现了古人对行程问题的深入研究。幻灯片 13：课堂小结基本公式：路程 = 速度 × 时间（s = v × t），灵活运用三个量之间的关系类型与等量关系：相遇问题：路程和 = 总路程追及问题：路程差 = 初始距离顺逆流问题：顺流路程 = 逆流路程环形跑道：相遇路程和 = 周长，追及路程差 = 周长解题关键：画示意图分析运动过程找准等量关系，合理设元统一单位，检验解的合理性口诀记忆：行程问题并不难，基本公式记心间；相遇追及分类型，顺流逆流辨清楚；画好线段示意图，等量关系就出现；速度时间和路程，设元列方程解决；单位统一要注意，检验合理再答题。幻灯片 14：作业布置教材 P [XX] 习题 5.3 第 7、8、9 题甲、乙两人同时从同一地点出发，甲向东走，速度为 5 千米 / 小时；乙向西走，速度为 4 千米 / 小时，经过几小时两人相距 36 千米？一列火车长 200 米，以 15 米 / 秒的速度通过一座长 1300 米的大桥，从车头上桥到车尾离桥需要多少秒？实践题：记录自己从家到学校的行程时间和方式，估算步行、骑车的速度，设计一个行程问题并求解。思考题：A、B 两地相距 480 千米，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲车速度为 70 千米 / 小时，乙车速度为 50 千米 / 小时，两车相遇后继续前行，到达对方出发地后立即返回，从出发到第二次相遇共经过多少小时？幻灯片 15：结束页感谢聆听！疑问解答与交流2024北师大版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系,从而列出方程,解决问题。2. 使学生进一步领会采用代数方法解应用题的优越性。3. 培养学生实事求是的态度及与人合作交流的能力,逐步树立克服困难的信心、意志力,培养学生学习数学的热情和良好的人格品质。重点：利用方程解决行程问题。难点：找等量关系列方程。速度、时间、路程，这三者有什么关系？问题： 小明每天早上要到距家 1000 m 的学校上学。一天，小明以 80 m/min 的速度出发，出发后 5 min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以 180 m/min 的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？（1） 问题中有哪些已知量和未知量？（2）想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？解：设爸爸追上小明用了 x min，（3）你是怎样列出方程的？与同伴进行交流。据题意得 80×5 + 80x = 180x。解：设爸爸追上小明用了 x min，解得 x = 4。 180×4 = 720（m），1000 - 720 = 280（m）。答： 爸爸追上小明用了 4 min。追上小明时，距离学校还有 280 m。找出问题中的等量关系是列方程解应用题的关键，对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系。这样可以比较直观地反映出方程中的等量关系。1. (周口·月考) 古代名著《算术启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日， 问良马几何追及之。意思是：跑得快的马每天走 240 里，跑得慢的马每天走150 里，慢马先走 12天，那么快马几天可以追上慢马？解：设快马需要 x 天可以追上慢马，由题意得，240x = 150(x + 12)，解得 x = 20。答：快马 20 天可以追上慢马。2. A，B 两地相距 60 千米，甲、乙两人分别从 A，B 两地出发相向而行，甲的速度是 8 千米/时，乙的速度是 6 千米/时．经过多长时间两人相距 4 千米？8x6x608x6x60解：设经过 x 小时两人相距 4 千米，根据题意，得 8x+6x = 60-4或 8x+6x = 60+4例1 小明和小华两人在 400 m 的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑 260 m，小华每分钟跑 300 m，两人起跑时站在跑道同一位置。（1）如果小明起跑后 1 min 小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？（2）如果小明起跑后 1 min 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？分析：本题涉及哪些量？你能画图说明小明和小华跑步的情形吗？在问题（1）和（2）中，两人所走的路程分别有什么关系？追及问题相遇问题解：（1）设小华用 x min 追上小明，根据等量关系，可列出方程260 + 260x = 300x。解这个方程，得 x = 6.5。因此，小华用 6.5 min 追上小明。追及问题（2）设小华起跑后 x min 两人首次相遇，根据等量关系，可列出方程260x + 300x = 400 - 260。解这个方程，得 x = 0.25。因此，小华起跑后 0.25 min 两人首次相遇。相遇问题行程问题的基本类型：3. (漳州·期中) 如图，正方形 ABCD 的边长是 2 个单位长度，一只乌龟从 A 点出发以每秒2 个单位长度的速度顺时针绕正方形运动，另有一只兔子也从 A 点出发以每秒 6 个单位长度的速度逆时针绕正方形运动，则第 2024 次相遇在 ( )A. 点 A B. 点 BC. 点 C D. 点 DA用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？与同伴进行交流。实际问题实际问题的解数学问题（一元一次方程的解）数学问题（一元一次方程）抽象解释解：“x=-1”表示第一个容器的容积比第二个容器的容积小，水已溢出.如果第一个容器的高度增加1cm，恰好能盛下.1.两个圆柱体容器如图所示，它们的直径分别为4cm 和8cm，高分别为39cm和10cm，我们先在第二个 容器中倒满水，然后将其倒入第一个容器中，问： 倒完以后．第一个容器中的水面离容器口有多少厘 米？小刚是这样做的：设倒完以后，第一个容器中 的水面离容器口有x cm，列方程π×22×（39－x） =π×42×10，解得x=-1． 你能对他的结果作出合理的解释吗？2.试联系生活实际编写一道可以用一元一次方程解决的应用问题。解：设第二块实验田的面积是x m²，则第一块试验田的面积是（3x+100）m².根据题意，得x+（3x+100）=2900.解得x=700.3x=100=2200.答：第一块试验田的面积是2200m²，第二块试验田的面积是700m². 3.现有两块试验田，第一块试验田的面积比第二块试验田面积的3倍还多100m²，这两块试验田共2900m²，两块试验田的面积分别是多少？解：设正方形的纸片的边长为xm，那么宽为4cm的长条的面积为4xcm²，宽为5cm的长条的面积为5（x-4）cm².依题意，得4x=5（x-4）.解得x=20.则4x=80，5（x-4）=80.答：每一个长条的面积为80cm².3.如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？5.如图，某种卷筒纸的外直径为14cm， 内直径为6 cm,每层纸的厚度为0.02cm。假如把这筒纸全部拉开,那么这筒纸的总长度大约是多少米( π取3.14) ?解：设卷筒纸的宽度为 x cm 40πx卷筒纸的总长度为：40πx÷0.02x≈6280(cm)=62.8(m)答：卷筒纸的总长度为62.8m6.某物流中转站为提高工作效率，配置了快递自动化智能分拣设备，现对一批中转货物进行分拣。若每套设备每小时分拣3.5万件，则经过1h,剩下4万件未分拣;若每套设备每小时分拣4万件，则经过1h,剩下1万件未分拣。该物流中转站配置了多少套这样的分拣设备?解：设该物流中转站配置了x套分拣设备根据题意，得 3.5x+4＝4x+1解得 x＝6答：该物流中转站配置了6套分拣设备7.今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十;九家共出二百七十，盈三十。问:家数、牛价各几何? (选自《九章算术》)题目大意:几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱;若每9家合伙出270钱，则多了30钱。家数、牛价各是多少?   解得x=126 答：一共有126家，牛价为3750钱.解：（1）设x s后两人相遇.由题意，得4x+6x=100.解得x=10.答：10s后两人相遇.（2）设y s后小强能追上小彬.由题意，得6y－4y=10.解得y=5.答：5s后小强能追上小彬.2.小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4m，小强每秒跑6m．（1）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？（2）如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10m处，两人同时同向起跑，几秒后小强能追上小彬？ (1)求丢番图去世时的年龄； (2)尝试提出其他问题并列方程解决.  回顾本节一元一次方程应用的学习，对于如何寻找等量关系列方程，你积累了哪些经验？必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！