初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）一元一次方程的应用教案

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）一元一次方程的应用教案，共6页。
1．知识与技能
(1)通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题。
(2)进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用。
2．数学思考
认识方程模型的重要性，领悟用方程解决实际问题的关键是找到等量关系。
3．解决问题
体会数学与现实生活的密切联系，增强应用意识，提高运用数学知识与方法解决实际问题的能力。
4．情感与态度
培养敢于面对学习中的困难，增强自信，大胆猜想并发表自己的观点，激发好奇心和主动学习的欲望。
〖教材分析〗
本节课主要通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题。教材首先通过一个锻压问题，使学生领悟形体变化问题中的变与不变，体验解决形变而体积不变这一问题的思路和方法。在此基础上，又通过例题进一步提高运用数学知识与方法解决实际问题的能力。
本节课的重点是：通过对实际问题所涉及的数学关系的理解，寻找图形问题中的等量关系，建立一元一次方程，使实际问题数学化。
本节课的难点是：审清题意，关键是让学生抓住图形问题中的不变量。
〖教学设计〗
(一)创设问题情境，引入新课
同学们，今天这堂课我们共同来学习
我们先做两个小实验，请同学们仔细观察。
1．把准备好的橡皮泥由又“矮”又“胖”的圆柱体拉伸成“瘦长”形的圆柱体。
2．准备一个量桶(细长型)和一个烧杯(矮胖型)，把烧杯中的水倒入量桶里 (注：水中滴入红墨水加色)。
师：通过对这两个实验的观察，你是否已经领悟出课题“水箱长高了”的真实含义了?
生1：通过这两个实验我觉得“水箱长高了”的真实含义是：物体的形状发生了变化，由矮胖的圆柱体变成了“细长”的圆柱体。如果反过来，也可以叫做“水箱变矮了”。
生2：“水箱长高了”实际上就是物体的变形问题，由一种形状变成了另一种形状，比如把橡皮泥由正方体也可以捏成圆柱体等。
师：你们回答得棒极了!那么在这两个实验中，圆柱由“低”变“高”的过程中，圆柱的哪些量发生了变化?有没有不变的量?请小组同学讨论后回答。
生：我组同学一致认为，在圆柱的形状由“低”变“高”的过程中，圆柱的半径、高等都发生了变化，而它们的体积和质量始终不变。
师：回答得很好，如果要你说出这个问题中存在的等量关系，应该是什么呢?
板书：变化前的体积＝变化后的体积。
变化前的质量＝变化后的质量。
(二)新课讲解
师：非常好。我这儿有一个问题，需请大家帮助解决。
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱。现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m。那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为了多少米?

生：这个问题就和刚才做的实验一样，其形状变了，但体积不变，即旧水箱的容积＝新水箱的容积。
可列方程解决。
师：这位同学分析得很好，那么水箱的体积等于……?
生：底面积×高，即π×半径2×高
师：如何表示水箱前后的体积呢?请想好后请填写下面的表格。
如果设新水箱的高为x厘米，则
（学生独立填写，教师巡视，发现问题及时纠正；再把一些常见的问题展示给学生纠正，师生共析后，由学生独立完成本题解答过程。)
解：设新水箱的高为x厘米，根据题意，得
π×4×4=π×（1.6）2x。
解得 x=6.25。
答：高变成了6.25厘米。
师：我们再看一个例子
用一根长为10米的铁丝围成一个长方形。
(1)使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米?
(2)使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米?它所围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有何变化?
(3)使得该长方形的长与宽相等，围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米?它所围成的面积与(2)中相比有何变化?
学生分组活动：
(1)各小组拿出准备好的细铁丝动手折一个长方形，并在仔细阅题的基础上，观察分析哪些量发生了变化，哪些量没有变化，其中的等量关系是什么，如何列方程来解决。
(2)学生在教师的鼓励下积极思考，争论并得出：虽然长方形的长和宽在围合过程中在变化，但其周长并没有变，由此建立等量关系：2(长+宽)＝周长。
(3)由小组分工合作，完成本题的三个小问题，最后相互讨论，或通过小组列表格演算，比较长方形的面积变化情况，大胆猜想得出结论。
(4)请小组代表汇报三个问题的解答过程。
解：(1)设此时长方形的宽为x米，则它的长为(x+1.4)米。根据题意，得
［x+(x+1.4)］×2=10,
2x=5-1.4，
x=1.8，
x+1.4=1.8+1.4=3.2。
此时长方形的长和宽分别为3．2米、1．8米。
(2)设此时长方形的宽为x米，则它的长为(x+0.8)米，根据题意，得
［x+(x+0.8)］×2=10,
2x=5-0.8,
2x=4.2,
x=2.1,
x+0.8=2.1+0.8=2.9.
此时长方形的长和宽分别是2.9米、2.1米。围成的长方形的面积为2.1×2.9＝6.09(米2)，而(1)中长方形的面积为3.2×1.8＝5.76(米2)，此时长方形的面积比(1)中的面积增大6.09-5.76＝0.33(米2)。
(3)设正方形的边长为x米，由题意，得
4x=10，
x=2.5。
正方形的边长为2.5米，所围成的面积为2.5×2.5＝6.25(米2)，比(2)中面积增大6.25-6.09＝0.16(米2)。
师：解决本题的关键是什么，从中你有何收获和体验?(充分展露学生的大胆猜想和创新想法)
师生共析：解答这道题的关键是要认识到在改变长方形的长和宽的同时，长方形的周长不变，始终是铁丝的长度(10米)，由此便可建立等量关系；同时我们也发现，虽然长方形的周长不变，但改变长方形的长和宽时，长方形的面积却在发生变化，而且大家发现长和宽越接近面积就越大。至于围成正方形的时候面积是不是达到最大，同学们不妨课后继续讨论这个问题。
(三)小结
师：通过今天这堂课的学习，谈谈你的收获(由学生发言总结)。
(四)课堂练习
1．略。(课本随堂练习)
(本题由学生独立完成或合作完成)
解：设长方形的长为x厘米，根据题意，得
2(x+10)=10×4+6×2。
解得 x=16。
答：小颖所钉长方形的长为16厘米，宽为10厘米。
2．借助烧杯、量筒、正方体盒子等，教师可通过演示操作过程及提供必要的条件，由学生编题(注：本练习仅做为提问式口答练习，只需正确找出等量关系，设未知数列出方程即可)。
参考练习题：
(1)将一个直径为40毫米、高为300毫米的圆柱体量桶装满水，再把水倒入一个底面直径为90毫米的圆柱体玻璃杯中，则杯中水的高为多少?
(2)将上题圆柱体玻璃杯换成一个底面积为60×60毫米2、高为80毫米的正方体盒子，水能全部倒入盒中吗?若不能，当盒中装满水时，量桶中的水下降了多少毫米?
(3)在底面直径为90毫米的圆柱体玻璃杯中，装入部分水，再将一个底面半径为15毫米、高为10毫米的盒子全部沉入水中，圆柱体玻璃杯水位上升多少毫米?
(五)课后作业
课后习题
〖教学反思〗
本节课由于标题新颖有趣，所以一开始就抓住了学生的求知欲望，课堂气氛活跃，回答问题、讨论问题积极主动，总体教学效果良好。但由于学生发表自己的想法较多，使得教学时间不能很好把握，导致课堂练习时间紧张，今后应予以改进。
〖案例点评〗
本节课的引入新颖自然，从破题入手，通过两个实验(实验1为固态物体变化，实验2为液态物体变化)，使学生对课题有了初步的认识，并通过学生对实验的观察发现了在物体形状发生变化时的不变量，从而为列方程找等量关系做了铺垫。例1中设计的表格发给每个小组，为增强小组讨论结果的展示起到了较好的作用；例2则通过让学生自己设计表格，将长为10米的铁丝分别取不同的长宽时面积发生的变化，填到表格内，为结论的得出起到了辅助作用。另外，课堂练习1的设计能紧扣主题，发挥学生的创造性作用；课堂练习2则通过观察实验过程，让学生自己编写应用题，对开发学生的思维能力、提高学生的学习兴趣起到了较好的效果。旧水箱
新水箱
底面半径/m
高/m
容积/