高一升高二数学暑假预习课16讲第14讲 双曲线与9考点精讲（学生版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第14讲 双曲线与9考点精讲（学生版），共13页。
\l "_Tc13589" 一、 双曲线的标准方程 PAGEREF _Tc13589 \h 2
\l "_Tc16840" 基础知识 PAGEREF _Tc16840 \h 2
\l "_Tc9327" 考点1 双曲线定义 PAGEREF _Tc9327 \h 3
\l "_Tc21801" 考点2 曲线方程与双曲线 PAGEREF _Tc21801 \h 3
\l "_Tc8220" 考点3 求双曲线的标准方程 PAGEREF _Tc8220 \h 4
\l "_Tc12884" 考点4 求双曲线的轨迹方程 PAGEREF _Tc12884 \h 4
\l "_Tc17194" 二、 双曲线的简单几何性质 PAGEREF _Tc17194 \h 6
\l "_Tc6170" 基础知识 PAGEREF _Tc6170 \h 6
\l "_Tc10528" 考点5 由双曲线的几何性质求标准方程 PAGEREF _Tc10528 \h 7
\l "_Tc5119" 考点6 双曲线的渐近线方程 PAGEREF _Tc5119 \h 7
\l "_Tc20797" 考点7 双曲线的离心率 PAGEREF _Tc20797 \h 8
\l "_Tc22757" 考点8 双曲线中的最值 PAGEREF _Tc22757 \h 9
\l "_Tc6387" 考点9 双曲线的实际应用 PAGEREF _Tc6387 \h 9
\l "_Tc21546" 三、课后作业 PAGEREF _Tc21546 \h 11
\l "_Tc28437" 单选题 PAGEREF _Tc28437 \h 11
\l "_Tc15507" 多选题 PAGEREF _Tc15507 \h 12
\l "_Tc11659" 填空题 PAGEREF _Tc11659 \h 12
\l "_Tc29117" 解答题 PAGEREF _Tc29117 \h 13
一、 双曲线的标准方程
基础知识
1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫
作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
3．双曲线方程的求解
(1)用定义法求双曲线的标准方程
根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.
(2)用待定系数法求双曲线的标准方程
用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定
a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解.
考点1 双曲线定义
【例1.1】（23-24高二上·新疆喀什·期末）设双曲线y216−x264=1的焦点为F1,F2，点P为C上一点，PF1=6，则PF2为（ ）
A．22B．14C．10D．2
【例1.2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）双曲线C：x2a2−y212=1a>0的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，M是双曲线上的一点，且MF1=5，则MF2等于（ ）
A．9B．9或1C．1D．6
【变式1.1】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知双曲线x29−y24=1，F1,F2是它的两个焦点，O为坐标原点，P是双曲线右支上一点，cs∠F1PF2=−35，则PO=（ ）
A．10B．15C．25D．33
【变式1.2】（23-24高二上·重庆·期末）如果双曲线x24−y212=1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是（ ）
A．4B．12C．4或12D．不确定
考点2 曲线方程与双曲线
【例2.1】（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）对于常数a，b，“ab5B．k>5或−20)B．x2−y23=1x0 D．x2−y25=1x1.
(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.
因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.
(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.
3．双曲线中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
考点5 由双曲线的几何性质求标准方程
【例1.1】（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知双曲线C:y2a2−x2b2=1的一条渐近线斜率为−2，实轴长为4，则C的标准方程为（ ）
A．y2−x24=1B．y24−x216=1C．y24−x2=1D．y216−x24=1
【例1.2】（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为0,4，且渐近线方程为x=±2y，则其标准方程为（ ）
A．y216−x264=1B．y216−x2=1
C．x2−y216=1D．x264−y216=1
【变式1.1】（2024高二上·全国·专题练习）以椭圆x28+y24=1的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（ ）
A．x24−y24=1B．x28−y24=1C．x24−y2=1D．x28−y2=1
【变式1.2】（2024高二·全国·专题练习）双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为（ ）
A．x24−y24=1B．y24−x24=1
C．y24−x28=1D．x28−y24=1
考点6 双曲线的渐近线方程
【例2.1】（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知双曲线C:x2−y2b2=1(b>0)的一个焦点为(−5,0)，则双曲线C的一条渐近线方程为（ ）
A．2x+y=0B．x+2y=0C．2x+y−1=0D．x+2y−1=0
【例2.2】（23-24高三上·海南·阶段练习）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为22，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±3xB．y=±62x
C．y=±2xD．y=±102x
【变式2.1】（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知平行于x轴的直线l与双曲线C:y2a2−x2b2=1a>0,b>0的两条渐近线分别交于P,Q两点，O为坐标原点，若△OPQ为等边三角形，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y=±33xB．y=±3xC．y=±32xD．y=±x
【变式2.2】（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为e，一条渐近线的斜率为k，若e2+k2=3，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．x±y=0B．x±2y=0C．x±3y=0D．x±2y=0
考点7 双曲线的离心率
【例3.1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线C:x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线过点b,4，则C的离心率为（ ）
A．52B．32C．5D．3
【例3.2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左，右焦点分别为F1,F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且DF2=7OD，则C的离心率为（ ）
A．2B．2C．5D．3
【变式3.1】（23-24高二上·江苏镇江·期末）双曲线C：x2a2−y23=1（a>0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与双曲线的右支相交于A，B两点，△AF1F2的内切圆圆心的横坐标为1，则双曲线C的离心率为 （ ）
A．2B．3C．2D．3
【变式3.2】（23-24高二上·湖北鄂州·阶段练习）已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的焦距为2c，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1−d2≤c，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．1,233B．233,+∞C．1,2D．2,+∞
考点8 双曲线中的最值
【例4.1】（2024·青海玉树·模拟预测）已知F1，F2为双曲线C:x24−y22=1的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则PF12PF2的最小值为（ ）
A．16B．18C．8+42D．9+1522
【例4.2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知A0,4，双曲线x24−y25=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则PA+|PF2|的最小值为（ ）
A．5B．7C．9D．11
【变式4.1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知双曲线C:y24−x25=1的下焦点为F，A3,7，P是双曲线C上支上的动点，则PF−PA的最大值是（ ）
A．不存在B．8C．7D．6
【变式4.2】 （23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆C:x2+(y−4)2=1上有一动点P，双曲线M:x29−y27=1的左焦点为F，且双曲线的右支上有一动点Q，则PQ+QF的最小值为（ ）
A．42−1B．42−5C．42+7D．42+5
考点9 双曲线的实际应用
【例5.1】（23-24高二下·浙江·阶段练习）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽AB=205米，若水面上升5米，则水面宽为（ ）
A．102米B．152米C．123米D．30米
【例5.2】（2024·湖北荆州·一模）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离是1020m.则该巨响发生在接报中心的（ ）处.（假定当时声音传播的速度为340m/s3，相关各点均在同一平面上）
A．西偏北45°方向，距离68010mB．东偏南45°方向，距离68010m
C．西偏北45°方向，距离6805mD．东偏南45°方向，距离6805m
【变式5.1】（2023·全国·模拟预测）圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），cs∠F1F2P=7−14，则该双曲线的离心率为（ ）

A．2B．2C．72D．7
【变式5.2】（23-24高二上·江西·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为62cm，下底直径为92cm，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（ ）
A．272cmB．18cmC．2722cmD．182cm
三、课后作业
单选题
1．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线的方程为x25−y24=1，则该双曲线的焦距为（ ）
A．2B．4C．25D．6
2．（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（ ）的方程上.
A．x2260100−y2229900=1 x≤−510B．x2260100−y2229900=1 x≥510
C．y=0(x≤−700或x≥700)D．x2260100−y2229900=1
3．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为40cm，最大直径为60cm，双曲线的离心率为6，则该花瓶的高为（ ）

A．90cmB．100cmC．110cmD．120cm
4．（23-24高二上·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左焦点为F1，焦距为4，点A的坐标为(2,1)，P为双曲线右支上一动点，则PF1−PA的最大值为（ ）
A．22B．17C．22+1D．22+5
5．（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为23，实半轴为1，则双曲线的方程为（ ）
A．x22−y2=1B．x2−y22=1
C．y2−x22=1D．y22−x2=1
6．（23-24高二上·上海·期末）方程x2λ2−4+y23−λ=1表示焦距为25的双曲线，则实数λ的值为（ ）
A．1B．−4或1C．−2或−4D．−2或1
7．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）若双曲线x2m2+1−y2=1的实轴长为4，则正数m=（ ）
A．3B．2C．94D．72
8．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为双曲线右支上的一点，若M在以F1F2为直径的圆上，且∠MF2F1∈π3,5π12，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．1,2B．2,+∞C．1,3+1D．2,3+1
多选题
9．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）已知曲线C:x2m−2+y24−m=1（m∈R且m≠2,m≠4），则下列说法正确的是（ ）
A．若m=3，则C为圆
B．若20交于A,B两点，F为双曲线的右焦点，且AB⋅AF=AF2，若△ABF的面积为32a2，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线的离心率为5B．双曲线的离心率为102
C．双曲线的渐近线方程为y=±62xD．k=±34
填空题
11．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知双曲线C:x264−y236=1，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为15，则P到另一个焦点的距离为 .
12．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与左支交于A,B两点，若AB=5，且双曲线的实轴长为8，则△ABF2的周长为 .
解答题
13．（23-24高二上·全国·单元测试）分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)经过A−7,−62,B27,3两点；
(2)与双曲线x22−y2=1有公共的渐近线,且过点2,2．
14．（23-24高二·全国·随堂练习）如图，在矩形ABB′A′中，把边AB分成n等份．在边B′B的延长线上，BB′的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和A′作直线，过B′B延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，P在什么曲线上运动？
.
15．（23-24高二上·四川成都·期末）已知双曲线 C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的两个焦点为F1−3,0,F23,0， 且过点M3,2
(1)求双曲线C的虚半轴长;
(2)求与求双曲线C有相同的渐近线， 且过点P−2,4的双曲线的标准方程．
16．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知双曲线C:x22−y2=1,P是C上的任意一点.
(1)设点A的坐标为4,0，求PA的最小值；
(2)若F1,F2分别为双曲线的左､右焦点，∠F1PF2=60∘，求△PF1F2的面积.
双曲线在坐标系中的位置
标准方程
焦点坐标
F1(-c,0),F2 (c,0)
F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
图形
标准方程
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
y≥a或y≤-a,x∈R
对称性
关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
顶点
A1(-a,0),A2 (a,0)
A1(0,-a),A2 (0,a)
半轴长
实半轴长为a,虚半轴长为b
离心率
渐近线方程