高一升高二数学暑假预习课16讲第13讲 椭圆与11考点精讲（解析版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第13讲 椭圆与11考点精讲（解析版），共36页。
\l "_Tc13782" 一、 椭圆的标准方程 PAGEREF _Tc13782 \h 2
\l "_Tc29837" 基础知识 PAGEREF _Tc29837 \h 2
\l "_Tc22741" 考点1 椭圆定义 PAGEREF _Tc22741 \h 3
\l "_Tc20069" 考点2 曲线方程与椭圆 PAGEREF _Tc20069 \h 5
\l "_Tc15212" 考点3 求解椭圆方程 PAGEREF _Tc15212 \h 6
\l "_Tc11364" 考点4 椭圆的动点轨迹方程 PAGEREF _Tc11364 \h 7
\l "_Tc3525" 二、 椭圆的焦点三角形 PAGEREF _Tc3525 \h 10
\l "_Tc30579" 基础知识 PAGEREF _Tc30579 \h 10
\l "_Tc20715" 考点5 椭圆中的焦点三角形 PAGEREF _Tc20715 \h 10
\l "_Tc301" 三、 椭圆的简单几何性质 PAGEREF _Tc301 \h 13
\l "_Tc31194" 基础知识 PAGEREF _Tc31194 \h 13
\l "_Tc29989" 考点6 由椭圆的几何性质求标准方程 PAGEREF _Tc29989 \h 14
\l "_Tc3645" 考点7 椭圆的焦距与长轴、短轴 PAGEREF _Tc3645 \h 16
\l "_Tc12600" 考点8 椭圆的离心率 PAGEREF _Tc12600 \h 18
\l "_Tc4081" 考点9 由椭圆的离心率求参数 PAGEREF _Tc4081 \h 20
\l "_Tc9591" 考点10 椭圆中的最值 PAGEREF _Tc9591 \h 22
\l "_Tc30147" 考点11 椭圆的实际应用问题 PAGEREF _Tc30147 \h 24
\l "_Tc8311" 四、课后作业 PAGEREF _Tc8311 \h 28
\l "_Tc8966" 单选题 PAGEREF _Tc8966 \h 28
\l "_Tc21253" 多选题 PAGEREF _Tc21253 \h 31
\l "_Tc7412" 填空题 PAGEREF _Tc7412 \h 32
\l "_Tc28303" 解答题 PAGEREF _Tc28303 \h 33
一、 椭圆的标准方程
基础知识
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫
作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.
(2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}.
2．椭圆的标准方程
椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
3．椭圆方程的求解
(1)用定义法求椭圆的标准方程
根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程
①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待
定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.
②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点
在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
考点1 椭圆定义
【例1.1】（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）设P是椭圆x24+y216=1上的点，若F1,F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2等于（ ）
A．4B．5
C．8D．10
【解题思路】根据椭圆的定义即可得解.
【解答过程】由椭圆x24+y216=1，得a2=16，则a=4，
所以PF1+PF2=2a=8.
故选：C.
【例1.2】（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）P为椭圆x2a2+8y23a2=1a>0上一点，P到左焦点F的距离为a2，则P到原点O的距离为（ ）
A．34aB．104aC．74aD．a2
【解题思路】先用a表示c，然后根据椭圆的定义判断出三角形PFF′是直角三角形，从而求得OP.
【解答过程】椭圆x2a2+8y23a2=1即x2a2+y23a28=1，
所以c=a2−3a28=5a22，所以左焦点为−5a22,0.
P到左焦点F的距离为a2，则P到右焦点F′的距离为2a−a2=32a，
a22+32a2=52a2=4c2，所以三角形PFF′是直角三角形，
且∠FPF′=π2，所以P到原点O的距离OP=12FF'=c=5a22=104a.
故选：B.
【变式1.1】（23-24高二上·湖南常德·期中）已知F1，F2分别是椭圆E:x29+y25=1的左、右焦点，P是椭圆E上一点，若PF1=2，则PF2=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据椭圆定义可知PF1+PF2=6，即可求得PF2=4.
【解答过程】由方程x29+y25=1可知a=3，
因为P是椭圆E上一点，由椭圆定义可知PF1+PF2=2a=6，
所以PF2=6−PF1=4.
故选：D.
【变式1.2】（23-24高二上·河北邯郸·期中）已知F1，F2是椭圆y216+x27=1的两个焦点，P为椭圆上一点，且PF1=F1F2，则点P到y轴的距离为（ ）
A．346B．356C．353D．343
【解题思路】根据余弦定理可得cs∠F1PF2=16，进而根据同角关系可得sin∠F1PF2=356，由等面积法，结合三角形面积公式即可求解.
【解答过程】由椭圆可得a2=16，b2=7，c2=9，所以PF1+PF2=2a=8，F1F2=2c=6，
所以PF1=F1F2=6，故PF2=2.
在△PF1F2中，cs∠F1PF2=PF12+PF22−F1F222PF1PF2=16，
因为cs2∠F1PF2+sin2∠F1PF2=1，且sin∠F1PF2>0，所以sin∠F1PF2=356，
设P的坐标为x0,y0，且S△F1PF2=12F1F2⋅x0=12PF2⋅F1Psin∠F1PF2，
所以x0=353，所以点P到y轴的距离为353.
故选：C.

考点2 曲线方程与椭圆
【例2.1】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）若方程x2m+2+y25−m=1表示椭圆，则m的取值范围是（ ）
A．(−2,5)B．(−∞,5)C．−2,32∪32,5D．(−2,+∞)
【解题思路】由方程表示椭圆列不等式组求参数范围即可.
【解答过程】由题设m+2>05−m>0m+2≠5−m⇒m∈(−2,32)∪(32,5).
故选：C.
【例2.2】（23-24高二上·江西赣州·阶段练习）设p:mx2+ny2=1表示的是椭圆；q:m>0,n>0，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据椭圆方程的特征以及充分条件必要条件的概念可得结果.
【解答过程】若mx2+ny2=1表示的是椭圆，则m>0,n>0且m≠n，即p⇒q成立；
反例：当m=n=1时，mx2+ny2=1表示的是圆，即q⇒p不成立；
即p是q成立的充分不必要条件，
故选：A.
【变式2.1】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知命题p：方程x25−m+y2m−1=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的范围（ ）
A．3b>0）的左，右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，PF1的最大值为3，且PF1+PF2=2F1F2，则椭圆的标准方程为（ ）
A．x24+y2=1B．x24+y23=1C．x24+y22=1D．x28+y24=1
【解题思路】由题意得a+c=3，根据椭圆的定义可得2a=4c，结合a2−b2=c2计算即可求解.
【解答过程】因为PF1的最大值为3，所以a+c=3．
因为PF1+PF2=2F1F2，所以2a=4c，即a=2c，所以c=1，a=2．
又a2−b2=c2，所以b=3，所以椭圆的标准方程为x24+y23=1
故选：B.
【变式3.1】（23-24高二上·北京顺义·期中）椭圆的两个焦点是−4,0和4,0，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ）
A．x25+y24=1B．x25+y23=1
C．x225+y29=1D．x216+y29=1
【解题思路】根据椭圆定义可得a，根据焦点坐标可得c，然后由b2=a2−c2求出b2即可得方程.
【解答过程】由椭圆定义可知，2a=10，得a=5，
又椭圆的两个焦点是−4,0和4,0，
所以椭圆焦点在x轴上，且c=4，所以b2=a2−c2=25−16=9，
所以，所求椭圆的标准方程为x225+y29=1.
故选：C.
【变式3.2】（23-24高二上·山东烟台·期末）以F1−1,0，F21,0为焦点，且经过点1,32的椭圆的标准方程为（ ）
A．x23+y22=1B．x24+y23=1C．x23+y24=1D．x24+y2=1
【解题思路】根据焦点在x轴上，c=1，且过点1,32，用排除法可得.也可待定系数法求解，或根据椭圆定义求2a可得.
【解答过程】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将1,32代入x23+y22=1得13+322=1312≠1，故A错误，所以选B.
故选：B.
考点4 椭圆的动点轨迹方程
【例4.1】（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）设Px,y满足：x2+y+22+x2+y−22=5，则P的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．不存在
【解题思路】设F10,−2，F20,2，即可得到PF1+PF2=5，根据椭圆的定义判断即可.
【解答过程】设F10,−2，F20,2，则PF1=x2+y+22，PF2=x2+y−22，
由x2+y+22+x2+y−22=5，即PF1+PF2=5，
又F1F2=4，所以PF1+PF2=5>F1F2，
根据椭圆的定义可知点P的轨迹是以F10,−2，F20,2为焦点的椭圆。
故选：B.
【例4.2】（23-24高二上·四川南充·期末）设定点F10,−2，F20,2，动点P满足条件PF1+PF2=5，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段
【解题思路】根据椭圆的定义可判断动点的轨迹.
【解答过程】因为F10,−2，F20,2，所以F1F2=4，
所以PF1+PF2=5>F1F2，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆.
故选：A.
【变式4.1】（23-24高二上·江苏常州·期中）若动点Px,y满足方程x+22+y2+x−22+y2=42，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．x216+y212=1B．x28+y24=1C．x24+y28=1D．x212+y216=1
【解题思路】
将方程转化为PF1+PF2=42>F1F2，利用椭圆定义法求标准方程.
【解答过程】已知动点Px,y满足方程x+22+y2+x−22+y2=42，
设F1(−2,0),F(2,0)，且F1F2=4，
则有PF1+PF2=42>F1F2，
故点P的轨迹是以F1,F2为焦点，长轴长为42的椭圆，
且中心在原点，焦点在x轴，即点P的轨迹轨迹方程为椭圆的标准方程，
则2a=42,2c=4，b2=a2−c2=8−4=4，
故所求轨迹方程为x28+y24=1,
故选：B.
【变式4.2】（23-24高二上·福建厦门·期中）在圆x2+y2=9的上任取一点P，过P作x轴的垂线段PD，垂足为D，并延长DP至M，使得PM=13DP，则点M的轨迹方程是（ ）
A．x29+y24=1B．x216+y29=1
C．x29+y216=1D．x23+y24=1
【解题思路】根据题意，设Mx,y，则Px,34y，然后代入圆的方程，化简即可得到结果.
【解答过程】
设Mx,y，则Px,34y，又点P在圆x2+y2=9上，所以x2+34y2=9，
化简可得x29+y216=1，所以点M的轨迹方程是x29+y216=1.
故选：C.
二、 椭圆的焦点三角形
基础知识
1．椭圆的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦
点三角形，如图所示.
(2)焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长L=2a+2c.
②在中，由余弦定理可得.
③设，，则.
考点5 椭圆中的焦点三角形
【例1.1】（23-24高二上·广东珠海·期中）已知椭圆x24+y29=1两个焦点为分别为F1、F2，过F1的直线交该椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【解题思路】由图形及椭圆定义可得答案.
【解答过程】由椭圆方程可得：a=3，
△ABF2的周长为C=AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=4a=12.
故选：D.
【例1.2】（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）设F1，F2是椭圆C：x26+y218=1的两个焦点，点P是C上的一点，且cs∠F1PF2=13，则△PF1F2的面积为（ ）
A．3B．32C．9D．92
【解题思路】由题设可得sin∠F1PF2=223，应用余弦定理、椭圆定义求得|PF1||PF2|=9，最后应用三角形面积公式求面积.
【解答过程】由题设，∠F1PF2∈(0,π)，可得sin∠F1PF2=223，
cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|=(|PF1|+|PF2|)2−|F1F2|22|PF1||PF2|−1=13，
由|PF1|+|PF2|=2a=62，|F1F2|=2c=43，则12|PF1||PF2|=43，即|PF1||PF2|=9，
所以△PF1F2的面积S=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2=32.
故选：B.
【变式1.1】（23-24高二上·江西·期中）设椭圆C：x2a2+y23=1（a>3）的左、右焦点为F1，F2.若点A1,32在C上，则△AF1F2的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【解题思路】
先根据点A1,32在C上求得椭圆方程；再根据椭圆的定义求解即可.
【解答过程】
由于点A1,32在C上，所以1a2+34=1，得a2=4，a=2，
所以椭圆C：x24+y23=1，则F1−1,0，F21,0.
由椭圆的定义，AF1+AF2=2a=4，而F1F2=2，
所以△AF1F2的周长为AF1+AF2+F1F2=6.
故选：B.
【变式1.2】（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）在椭圆中，已知焦距为4，椭圆上的一点P与两个焦点F1，F2的距离的和等于8，且∠PF1F2=120°，则△PF1F2的面积为（ ）
A．1237B．835C．1234D．1235
【解题思路】根据题意利用余弦定理求PF1,PF2，结合面积公式运算求解.
【解答过程】由题意可知：F1F2=4，PF1+PF2=8，∠PF1F2=120°，即PF1=8−PF2，
在△PF1F2中，由余弦定理得：PF22=PF12+F1F22−2PF1⋅F1F2cs∠PF1F2，
即PF22=8−PF22+16−2×8−PF2×4×−12，解得PF2=285，则PF1=125，
所以△PF1F2的面积S△PF1F2=12PF1⋅F1F2⋅sin∠PF1F2=12×125×4×32=1235，
故选：D．
三、 椭圆的简单几何性质
基础知识
1．椭圆的范围
设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围.
(1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里.
(2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.
2．椭圆的对称性
(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.
(2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点
P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.
3．椭圆的顶点与长轴、短轴
以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例.
(1)顶点
令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.
这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、
y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.
(2)长轴、短轴
线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.
长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
4．椭圆的离心率
(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.
(2)离心率的范围：00)的长轴长为4，离心率为22，则该椭圆的方程为（ ）
A．x24+y22=1B．x24+y2=1
C．x216+y28=1D．x28+y216=1
【解题思路】
根据长轴以及离心率即可求解.
【解答过程】由长轴长为4，可得2a=4，又离心率为22，即e=ca=22，
解得a=2,c=2，故b=a2−c2=2，
所以椭圆方程为x24+y22=1，
故选：A.
【例1.2】（23-24高二上·天津·期末）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（ ）
A．x24+y23=1B．x216+y212=1
C．x24+y2=1D．x216+y24=1
【解题思路】由椭圆的离心率和长轴长，结合a2=b2+c2可得椭圆标准方程.
【解答过程】由题意得e=ca=122a=4a2=b2+c2，解得a=2b=3，所以椭圆方程为：x24+y23=1，
故选：A.
【变式1.1】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的方程为x2m+y2n=1(m>0,n>0)，离心率e=32，则下列选项中不满足条件的为（ ）
A．x24+y2=1B．x28+y22=1
C．x22+y2=1D．x2+4y2＝1
【解题思路】分别求出各椭圆方程的a,b,c验证是否满足离心率为e=32即可判断得出结果
【解答过程】由x24+y2=1，可得a＝2，b＝1，∴c＝a2−b2＝3，故离心率e=32，故A正确；
由x28+y22=1，可得a＝22，b＝2，∴c＝a2−b2＝6，故离心率e＝622＝32，故B正确；
由x22+y2=1，可得a＝2，b＝1，∴c＝a2−b2＝1，故离心率e＝12＝22，故C不正确；
由x2+4y2＝1，可得x2+y214＝1，可得a＝1，b＝12，c＝a2−b2＝32，故离心率e＝32，故D正确．
故选：C．
【变式1.2】（23-24高二上·广西玉林·期中）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为13，F1，F2分别为C的左、右焦点，P为C上一点，若△F1PF2的面积等于2，且cs∠F1PF2=1517，则C的方程为（ ）
A．x22+y2=1B．x23+y22=1
C．x29+y28=1D．x218+y216=1
【解题思路】利用椭圆离心率，可设a=3m，c=mm>0，在△F1PF2中结合余弦定理，面积公式可以求出m2，进而求出椭圆方程.
【解答过程】因为椭圆离心率为13，故可设a=3m，c=mm>0，
则椭圆C的方程为x29m2+y28m2=1.
由椭圆的定义可知PF1+PF2=2a=6m，F1F2=2c=2m，
在△F1PF2中，cs∠F1PF2=1517，
由余弦定理可知F1F22=PF12+PF22−2PF1PF2cs∠F1PF2，
所以F1F22=PF1+PF22−2PF1PF21+cs∠F1PF2，
即4m2=36m2−2PF1PF21+1517，
所以PF1PF2=172m2，
又因为cs∠F1PF2=1517，∠F1PF2∈0,π，
所以sin∠F1PF2=1−cs2∠F1PF2=1−15172=817，
所以S△F1PF2=12PF1PF2sin∠F1PF2=12×172m2×817=2m2=2，
解得m2=1，
所以椭圆C的方程为x29+y28=1.
故选：C.
考点7 椭圆的焦距与长轴、短轴
【例2.1】（23-24高二上·宁夏银川·期末）椭圆C:4x2+y2=16的焦点坐标为（ ）
A．(±23,0)B．(±25,0)C．(0,±23)D．(0,±25)
【解题思路】根据题意，化简椭圆的方程为y216+x24=1，结合椭圆的几何性质，即可求解.
【解答过程】由椭圆C:4x2+y2=16，可化为y216+x24=1，
可得a=4,b=2，则c=a2−b2=23，
又由椭圆C的焦点在y轴上，所以椭圆C的焦点坐标为(0,±23).
故选：C.
【例2.2】（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）椭圆x225+y29=1与x29−k+y225−k=1(00)的焦点分别为F1,F2，点A,B在椭圆上，
AB⊥F1F2于F2，AB=4，F1F2=23，
可得c=3，2b2a=4，c2=a2−b2，
解得a=3,b=6，
所以所求椭圆的长轴长为2a=6，
故选：A．
考点8 椭圆的离心率
【例3.1】（21-22高二上·陕西铜川·期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，焦距为23，则该椭圆的离心率为（ ）
A．12B．23C．32D．63
【解题思路】由题求出b、c、a，即可求出离心率.
【解答过程】由题的2b=2⇒b=1,2c=23⇒c=3，
所以a=b2+c2=2，
所以离心率为ca=32，
故选：C.
【例3.2】（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，上、下顶点分别为B1，B2，M是FB1的中点，若FB1⊥MB2，则椭圆C的离心率为（ ）
A．14B．12C．32D．34
【解题思路】根据等腰三角形三线合一可得2b=a，再根据a,b,c的关系可得离心率.
【解答过程】由已知FB1⊥MB2，且M是FB1的中点
则B1B2=B2F，即2b=a，
所以a2=4b2=4a2−c2，
即c2a2=34，
所以e=ca=32.
故选：C.
【变式3.1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为34的直线上， △PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（ ）
A．23B．12C．13D．34
【解题思路】求得直线AP的方程：根据题意求得P点坐标，根据|PF2|=|PF1|=2c，即可求得椭圆的离心率．
【解答过程】如图所示，直线AP的方程为：y=34(x+a)，
直线PF2的方程为：y=tan60°⋅(x−c)，即y=3(x−c)．
联立y=3(x−c)y=34(x+a)，解得x=4c+a3，y=3(c+a)3，
∵△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，
∴|PF2|=|F1F2|=2c．
∴(4c+a3−c)2+(3(c+a)3)2=4c2，化简得a=2c．
∴e=ca=12．
故选：B.
【变式3.2】（23-24高二上·山东济宁·阶段练习）设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，PF1=λPF213≤λ≤3，∠F1PF2=π2，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．22,53B．12,59
C．22,104D．12,58
【解题思路】设PF2=t，由椭圆定义和勾股定理得到e2=λ2+1λ+12，换元后得到λ2+1λ+12=21m−122+12，根据二次函数单调性求出12≤e2≤58，得到离心率的取值范围.
【解答过程】设F1−c,0，F2c,0，由椭圆的定义可得，PF1+PF2=2a，
可设PF2=t，可得PF1=λt，即有λ+1t=2a，①
由∠F1PF2=π2，可得PF12+PF22=4c2，即为λ2+1t2=4c2，②
由②÷①2，可得e2=λ2+1λ+12，令m=λ+1，可得λ=m−1，
即有λ2+1λ+12=m2−2m+2m2=21m−122+12，由13≤λ≤3，
可得43≤m≤4，即14≤1m≤34，
则m=2时，取得最小值12；m=43或4时，取得最大值58.
即有12≤e2≤58，得22≤e≤104.
故选：C.
考点9 由椭圆的离心率求参数
【例4.1】（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若椭圆C:x2m+y22=1的离心率为33，则m=（ ）
A．3或23B．83C．3或43D．43或83
【解题思路】根据焦点位置分类讨论，利用离心率计算求解即可.
【解答过程】若椭圆焦点在x上，则a2=m,b2=2，
所以c2=a2−b2=m−2，故e2=c2a2=m−2m=1−2m=13，
解得m=3，
若椭圆焦点在y上，则a2=2,b2=m，
所以c2=a2−b2=2−m，故e2=c2a2=2−m2=1−m2=13，
解得m=43，综上，m=3或m=43.
故选：C.
【例4.2】（2024·河南·二模）设椭圆x2m+y2n=1m>0,n>0的离心率为e，则“e=32”是“m=4n”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】
根据充分、必要性定义，结合椭圆方程，讨论m,n判断充分性，由离心率定义判断必要性，即可得答案.
【解答过程】当m>n时e=m−nm=32，则m=4n；当m9，即k>4，e2=(k+5)−9k+5=19，解得k=418，
当椭圆焦点在y轴上时，00)，依题意可得a+c=1102b2a=44，即可求出离心率.
【解答过程】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，
设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，
令y=−c，即−c2a2+x2b2=1，解得x=±b2a，依题意可得a+c=1102b2a=44，
所以a+c=110a2−c2a=22，所以a−ca=22110，所以e=ca=45．
故选：D．
【变式6.2】（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心F1为一个焦点且离心率为14的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r，则远地点离地面的距离l为（ ）

A．3r+2RB．5r+2R
C．5r+2R2D．5r+2R3
【解题思路】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程,求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案.
【解答过程】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，

则椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
则e=ca，且r=a−c−R，解得a=r+R1−e，c=r+Re1−e，
故该卫星远地点离地面的距离为a+c−R=r+R1−e+er+R1−e−R =1+e1−er+2e1−eR，
又e=14，所以1+e1−er+2e1−eR=1+141−14r+2×141−14R=53r+23R=5r+2R3.
故选：D.
四、课后作业
单选题
1．（23-24高二上·四川宜宾·期末）椭圆x23+y28=1的焦点坐标为（ ）
A．±5,0B．0,±5C．±5,0D．0,±5
【解题思路】先确定焦点所在的位置，再求出c即可得解.
【解答过程】椭圆x23+y28=1的焦点在y轴上，
c2=8−3=5，所以c=5，
所以椭圆x23+y28=1的焦点坐标为0,±5.
故选：D.
2．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆x29+y24=1上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ）
A．6B．3C．4D．2
【解题思路】根据椭圆的定义即可求出.
【解答过程】由椭圆x29+y24=1，得a2=9，即a=3，设左焦点为F1，右焦点为F2，
则PF1+PF2=2a=6，因为PF2=4，所以PF1=2，即点P到左焦点的距离为2.
故选:D.
3．（2024高二·全国·专题练习）如果方程x2m−2+y26−m=1表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是（ ）
A．m>2B．mb>0的左，右焦点，点P在椭圆上，△PF1F2为直角三角形，PF2的中点为Q,△OQF2的面积为14b2，且PF1=2b，则椭圆的离心率为（ ）
A．35B．53C．56或53D．36或63
【解题思路】利用已知面积关系，建立方程，求解离心率即可.
【解答过程】
由OQ//PF1，则S△PF1F2=4S△OQF2=b2，
又S△PF1F2=b2tan∠F1PF22，所以tan∠F1PF22=1，
则∠F1PF22=π4，得∠F1PF2=π2，即PF1⊥PF2，
因为PF1=2b，所以PF2=2a−PF1=2a−2b，
在Rt△PF1F2中，PF12+PF22=F1F22，即2b2+2a−2b2=4c2，
又c2=a2−b2，所以b2+a2+b2−2ab=a2−b2，
所以3b2=2ab，即ba=23，则e=ca=a2−b2a2=1−b2a2=53.
故选：B.
多选题
9．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）已知椭圆C:x22+y211=1，则（ ）
A．椭圆C的长轴长为22B．椭圆C的焦距为6
C．椭圆C的短半轴长为211D．椭圆C的离心率为31111
【解题思路】利用椭圆的标准方程分析其性质即可得解.
【解答过程】因为椭圆C:x22+y211=1，所以a=11,b=2,c=3，且椭圆C的焦点在y轴上，
所以椭圆C的长轴长为211，焦距为6，短半轴长为2，离心率e=ca=31111.
故选：BD.
10．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知点P是椭圆x24+y23=1上的一点，F1,F2是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点P，使得∠F1PF2=75°B．PF1+PF2=4
C．△PF1F2的周长为定值6D．1≤PF1≤3
【解题思路】BC选项，由椭圆定义得到PF1+PF2=4，F1F2=2，从而得到三角形周长；A选项，由余弦定理和基本不等式得到cs∠F1PF2≥12，结合y=csx的单调性得到∠F1PF2≤π3，A错误；D选项，设Pm,n，则−2≤m≤2，表达出PF1=12m+4，求出1≤PF1≤3.
【解答过程】BC选项，因为a=2,c=4−3=1，
由椭圆定义得PF1+PF2=4，F1F2=2，
故△PF1F2的周长为PF1+PF2+F1F2=4+2=6，BC正确；
A选项，由余弦定理得
cs∠F1PF2=PF12+PF22−F1F222PF1⋅PF2=PF1+PF22−2PF1⋅PF2−42PF1⋅PF2
=16−2PF1⋅PF2−42PF1⋅PF2=6PF1⋅PF2−1，
因为PF1⋅PF2≤PF1+PF224=4，当且仅当|PF1|=|PF2|=2时等号成立，
所以cs∠F1PF2=6PF1⋅PF2−1≥12，
因为y=csx在0,π上单调递减，且csπ3=12，
所以∠F1PF2≤π3，故不存在点P，使得∠F1PF2=75°，A错误；
D选项，设Pm,n，则−2≤m≤2，m24+n23=1，F1−1,0，
故PF1=m+12+n2=m+12+3−34m2=14m+42=12m+4，
因为−2≤m≤2，所以1≤12m+4≤3，1≤PF1≤3，D正确.

故选：BCD.
填空题
11．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）若方程x2m+y22=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 0,2 ．
【解题思路】根据椭圆的标准方程求解即可.
【解答过程】因为方程x2m+y22=1表示焦点在y轴上的椭圆，故00)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点，延长PF2交椭圆C于点M，且△F1PM为等边三角形，则椭圆C的离心率为 33 ．
【解题思路】根据椭圆的定义可得F1P+F1M+F2P+F2M=4a，则F1P=F1M=|PM|=43a，求得PF2=2a3，结合余弦定理计算可得c2=13a2，即可求解.
【解答过程】由椭圆的定义知，△F1PM的周长为
F1P+F1M+|PM|=F1P+F1M+F2P+F2M=4a，
因为△F1PM为等边三角形，所以F1P=F1M=|PM|，
所以F1P=F1M=|PM|=43a，又F1P+PF2=2a，所以PF2=2a3．
在△PF1F2中，由余弦定理得(2c)2=43a2+23a2−2×43a×23acsπ3，
整理得，c2=13a2，所以e= ca=33．
故答案为：33.
解答题
13．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，且经过两个点0,2和1,0；
(2)经过点P13,13,Q0,−12.
【解题思路】
（1）设出焦点在y轴上椭圆的标准方程，利用待定系数法求解即可；
（2）由于椭圆的焦点所在位置不确定可设为：mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)，然后利用待定系数法求解即可.
【解答过程】
（1）焦点在y轴上的椭圆方程设为：y2a2+x2b2=1(a>b>0).
由于椭圆经过两个点0,2和1,0，
所以4a2+0b2=1,0a2+1b2=1,，解得a2=4b2=1，
所以所求的椭圆的标准方程为y24+x2=1.
（2）设椭圆的方程为：mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)，
由于椭圆经过点P13,13,Q0,−12，
m132+n132=1n−122+0=1，解得m=5n=4，
所以所求椭圆的标准方程为x215+y214=1.
14．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知椭圆x25+y24=1.
(1)求椭圆的长轴长，短轴长及离心率；
(2)求与椭圆x25+y24=1有相同的焦点，且过点3,433的椭圆的标准方程．
【解题思路】
（1）根据已知条件求得a,b,c，从而求得长轴长，短轴长及离心率；
（2）先求得焦点坐标，然后设出所求椭圆的方程，通过代入点3,433来求得正确答案.
【解答过程】
（1）由题可知a=5,b=2,c=1，
所以椭圆的长轴长为25，短轴长为4，离心率为55.
（2）因为椭圆x25+y24=1的焦点为±1,0，
所以与其有相同的焦点的椭圆的方程可设为x2A2+y2B2=1(A>B>0)，
其中B2=A2−1，
所以椭圆的方程为x2A2+y2A2−1=1，
将3,433代入得3A2+163A2−1=1，
解得A2=9，或A2=13（舍），
所以椭圆的标准方程为x29+y28=1．
15．（23-24高二·全国·课后作业）已知椭圆C：x225+y216=1内有一点M2,3，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的一点，求：
(1)PM−PF1的最大值与最小值；
(2)PM+PF1的最大值与最小值．
【解题思路】
(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得||PM|−|PF1||≤|MF1|然后得到|PM|−|PF1|的最大值与最小值；
(2)利用椭圆的定义表示出|PM|+|PF1|，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案．
【解答过程】
（1）由椭圆C:x225+y216=1可知a=5，b=4，c=3，
则F1(−3,0)，F2(3,0)，

则||PM|−|PF1||≤|MF1|=34，当且仅当P、M、F1三点共线时成立，
所以−34≤|PM|−|PF1|≤34，
所以|PM|−|PF1|的最大值与最小值分别为34和−34；
（2）2a=10，F2(3,0)，|MF2|=10，
设P是椭圆上任一点，由|PF1|+|PF2|=2a=10，|PM|≥|PF2|−|MF2|，
∴|PM|+|PF1|≥|PF2|−|MF2|+|PF1|=2a−|MF2|=10−10，
等号仅当|PM|=|PF2|−|MF2|时成立，此时P、M、F2共线，
由|PM|≤|PF2|+|MF2|，
∴|PM|+|PF1|≤|PF2|+|MF2|+|PF1|=2a+|MF2|=10+10，
等号仅当|PM|=|PF2|+|MF2|时成立，此时P、M、F2共线，
故|PM|+|PF1|的最大值10+10与最小值为10−10．
16．（23-24高二上·北京西城·期中）设椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，PF1=3，PF2=5．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点M在椭圆C上，且△MF1F2的面积为23，求点M的坐标．
【解题思路】
（1）根据椭圆定义，结合勾股定理进行求解即可；
（2）根据三角形面积公式进行求解即可.
【解答过程】
（1）因为点P在椭圆C上，
所以PF1+PF2=3+5=2a⇒a=4，
因为PF1⊥F1F2，PF1=3，PF2=5．
所以PF12+F1F22=PF2⇒F1F22=25−9=16⇒F1F2=4⇒2c=4⇒c=2，
所以b2=a2−c2=12，即椭圆C的方程为x216+y212=1；
（2）设Mx0,y0，因为△MF1F2的面积为23，
所以12⋅F2F1⋅y0=23⇒12×4×y0=23⇒y0=3，
因为点M在椭圆C上，
所以x0216+312=1⇒x02=12⇒x0=±23，
所以点M的坐标为23,3或23,−3或−23,3或−23,−3.
椭圆在坐标
系中的位置
标准方程
焦点坐标
F1(-c,0),F2 (c,0)
F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系