高一升高二数学暑假预习课16讲第13讲 椭圆与11考点精讲（学生版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第13讲 椭圆与11考点精讲（学生版），共16页。
\l "_Tc3496" 一、 椭圆的标准方程 PAGEREF _Tc3496 \h 2
\l "_Tc22531" 基础知识 PAGEREF _Tc22531 \h 2
\l "_Tc21632" 考点1 椭圆定义 PAGEREF _Tc21632 \h 3
\l "_Tc29899" 考点2 曲线方程与椭圆 PAGEREF _Tc29899 \h 3
\l "_Tc6483" 考点3 求解椭圆方程 PAGEREF _Tc6483 \h 4
\l "_Tc1901" 考点4 椭圆的动点轨迹方程 PAGEREF _Tc1901 \h 4
\l "_Tc9787" 二、 椭圆的焦点三角形 PAGEREF _Tc9787 \h 6
\l "_Tc23021" 基础知识 PAGEREF _Tc23021 \h 6
\l "_Tc27702" 考点5 椭圆中的焦点三角形 PAGEREF _Tc27702 \h 6
\l "_Tc21556" 三、 椭圆的简单几何性质 PAGEREF _Tc21556 \h 8
\l "_Tc2782" 基础知识 PAGEREF _Tc2782 \h 8
\l "_Tc31073" 考点6 由椭圆的几何性质求标准方程 PAGEREF _Tc31073 \h 9
\l "_Tc6915" 考点7 椭圆的焦距与长轴、短轴 PAGEREF _Tc6915 \h 10
\l "_Tc16524" 考点8 椭圆的离心率 PAGEREF _Tc16524 \h 10
\l "_Tc31450" 考点9 由椭圆的离心率求参数 PAGEREF _Tc31450 \h 11
\l "_Tc11426" 考点10 椭圆中的最值 PAGEREF _Tc11426 \h 11
\l "_Tc4320" 考点11 椭圆的实际应用问题 PAGEREF _Tc4320 \h 12
\l "_Tc25682" 四、课后作业 PAGEREF _Tc25682 \h 14
\l "_Tc25255" 单选题 PAGEREF _Tc25255 \h 14
\l "_Tc21019" 多选题 PAGEREF _Tc21019 \h 15
\l "_Tc1819" 填空题 PAGEREF _Tc1819 \h 15
\l "_Tc22003" 解答题 PAGEREF _Tc22003 \h 16
一、 椭圆的标准方程
基础知识
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫
作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.
(2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}.
2．椭圆的标准方程
椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
3．椭圆方程的求解
(1)用定义法求椭圆的标准方程
根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程
①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待
定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.
②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点
在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
考点1 椭圆定义
【例1.1】（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）设P是椭圆x24+y216=1上的点，若F1,F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2等于（ ）
A．4B．5
C．8D．10
【例1.2】（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）P为椭圆x2a2+8y23a2=1a>0上一点，P到左焦点F的距离为a2，则P到原点O的距离为（ ）
A．34aB．104aC．74aD．a2
【变式1.1】（23-24高二上·湖南常德·期中）已知F1，F2分别是椭圆E:x29+y25=1的左、右焦点，P是椭圆E上一点，若PF1=2，则PF2=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1.2】（23-24高二上·河北邯郸·期中）已知F1，F2是椭圆y216+x27=1的两个焦点，P为椭圆上一点，且PF1=F1F2，则点P到y轴的距离为（ ）
A．346B．356C．353D．343
考点2 曲线方程与椭圆
【例2.1】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）若方程x2m+2+y25−m=1表示椭圆，则m的取值范围是（ ）
A．(−2,5)B．(−∞,5)C．−2,32∪32,5D．(−2,+∞)
【例2.2】（23-24高二上·江西赣州·阶段练习）设p:mx2+ny2=1表示的是椭圆；q:m>0,n>0，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2.1】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知命题p：方程x25−m+y2m−1=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的范围（ ）
A．30)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围.
(1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里.
(2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.
2．椭圆的对称性
(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.
(2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点
P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.
3．椭圆的顶点与长轴、短轴
以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例.
(1)顶点
令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.
这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、
y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.
(2)长轴、短轴
线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.
长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
4．椭圆的离心率
(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.
(2)离心率的范围：00)的长轴长为4，离心率为22，则该椭圆的方程为（ ）
A．x24+y22=1B．x24+y2=1
C．x216+y28=1D．x28+y216=1
【例1.2】（23-24高二上·天津·期末）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（ ）
A．x24+y23=1B．x216+y212=1
C．x24+y2=1D．x216+y24=1
【变式1.1】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的方程为x2m+y2n=1(m>0,n>0)，离心率e=32，则下列选项中不满足条件的为（ ）
A．x24+y2=1B．x28+y22=1
C．x22+y2=1D．x2+4y2＝1
【变式1.2】（23-24高二上·广西玉林·期中）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为13，F1，F2分别为C的左、右焦点，P为C上一点，若△F1PF2的面积等于2，且cs∠F1PF2=1517，则C的方程为（ ）
A．x22+y2=1B．x23+y22=1
C．x29+y28=1D．x218+y216=1
考点7 椭圆的焦距与长轴、短轴
【例2.1】（23-24高二上·宁夏银川·期末）椭圆C:4x2+y2=16的焦点坐标为（ ）
A．(±23,0)B．(±25,0)C．(0,±23)D．(0,±25)
【例2.2】（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）椭圆x225+y29=1与x29−k+y225−k=1(00)的焦点分别为F1,F2，点A,B在椭圆上，AB⊥F1F2于F2，AB=4，F1F2=23，则椭圆的长轴长为（ ）
A．6B．3C．23D．3
考点8 椭圆的离心率
【例3.1】（21-22高二上·陕西铜川·期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，焦距为23，则该椭圆的离心率为（ ）
A．12B．23C．32D．63
【例3.2】（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，上、下顶点分别为B1，B2，M是FB1的中点，若FB1⊥MB2，则椭圆C的离心率为（ ）
A．14B．12C．32D．34
【变式3.1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为34的直线上， △PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（ ）
A．23B．12C．13D．34
【变式3.2】（23-24高二上·山东济宁·阶段练习）设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，PF1=λPF213≤λ≤3，∠F1PF2=π2，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．22,53B．12,59
C．22,104D．12,58
考点9 由椭圆的离心率求参数
【例4.1】（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若椭圆C:x2m+y22=1的离心率为33，则m=（ ）
A．3或23B．83C．3或43D．43或83
【例4.2】（2024·河南·二模）设椭圆x2m+y2n=1m>0,n>0的离心率为e，则“e=32”是“m=4n”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式4.1】（23-24高二上·重庆沙坪坝·期末）已知椭圆x2k+5+y29=1的离心率e=13，则k的值可能是（ ）
A．3B．7C．3或418D．7或74
【变式4.2】（2023·全国·高考真题）设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2．若e2=3e1，则a=（ ）
A．233B．2C．3D．6
考点10 椭圆中的最值
【例5.1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆C:x225+y29=1的左焦点为F,P为C上任意一点，则PF的最大值为（ ）
A．5B．9C．10D．18
【例5.2】 （23-24高二上·湖北·期中）点P是椭圆C: x24+y23=1上任一动点，定点A1,1，F为右焦点，则PA+PF的最小值为（ ）
A．1B．3C．4+5D．4−5
【变式5.1】（23-24高二上·福建宁德·期末）已知P是椭圆x216+y212=1上一动点，Q是圆(x+2)2+y2=1上一动点，点M(5,4)，则|PQ|−|PM|的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式5.2】（23-24高二上·河南焦作·期中）已知椭圆C:x225+y29=1的右焦点为F，点E0,2，点P是C上的动点，则PF+PE的最小值为（ ）
A．5B．10−25C．10D．10+25
考点11 椭圆的实际应用问题
【例6.1】（2024·内蒙古赤峰·一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为x225+y216=1，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且PF1=2，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M，则F1M:F2M=（ ）
A．1:3B．1:2C．1:3D．1:4
【例6.2】（23-24高二上·北京西城·期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在l处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面2m，水面宽6m，那么当水位上升1m时，水面宽度为（ ）

A．33mB．332mC．42mD．423m
【变式6.1】（2024·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段AB，且AB过椭圆的下焦点，AB=44米，桥塔最高点P距桥面110米，则此椭圆的离心率为（ ）
A．13B．25C．23D．45
【变式6.2】（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心F1为一个焦点且离心率为14的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r，则远地点离地面的距离l为（ ）

A．3r+2RB．5r+2R
C．5r+2R2D．5r+2R3
四、课后作业
单选题
1．（23-24高二上·四川宜宾·期末）椭圆x23+y28=1的焦点坐标为（ ）
A．±5,0B．0,±5C．±5,0D．0,±5
2．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆x29+y24=1上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ）
A．6B．3C．4D．2
3．（2024高二·全国·专题练习）如果方程x2m−2+y26−m=1表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是（ ）
A．m>2B．mb>0的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，PF1=3，PF2=5．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点M在椭圆C上，且△MF1F2的面积为23，求点M的坐标．
椭圆在坐标
系中的位置
标准方程
焦点坐标
F1(-c,0),F2 (c,0)
F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系