高一升高二数学暑假预习课16讲第11讲 圆的方程与7考点精讲（学生版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第11讲 圆的方程与7考点精讲（学生版），共14页。
\l "_Tc23663" 一、 圆的方程 PAGEREF _Tc23663 \h 2
\l "_Tc29647" 基础知识 PAGEREF _Tc29647 \h 2
\l "_Tc14136" 考点1 求圆的标准方程 PAGEREF _Tc14136 \h 2
\l "_Tc16081" 考点2 求圆的一般方程 PAGEREF _Tc16081 \h 3
\l "_Tc10040" 二、 二元二次方程和圆的方程 PAGEREF _Tc10040 \h 4
\l "_Tc21091" 基础知识 PAGEREF _Tc21091 \h 4
\l "_Tc15855" 考点3 二元二次方程表示圆的条件 PAGEREF _Tc15855 \h 4
\l "_Tc9619" 考点4 圆过定点问题 PAGEREF _Tc9619 \h 5
\l "_Tc23425" 三、 点与圆的位置关系 PAGEREF _Tc23425 \h 6
\l "_Tc28695" 基础知识 PAGEREF _Tc28695 \h 6
\l "_Tc22627" 考点5 点与圆的位置关系 PAGEREF _Tc22627 \h 6
\l "_Tc4548" 四、 轨迹方程 PAGEREF _Tc4548 \h 8
\l "_Tc8579" 基础知识 PAGEREF _Tc8579 \h 8
\l "_Tc18066" 考点6 圆相关的轨迹问题 PAGEREF _Tc18066 \h 8
\l "_Tc689" 五、 圆相关的对称问题 PAGEREF _Tc689 \h 10
\l "_Tc5091" 基础知识 PAGEREF _Tc5091 \h 10
\l "_Tc31056" 考点7 圆相关的对称问题 PAGEREF _Tc31056 \h 10
\l "_Tc235" 六、 课后作业 PAGEREF _Tc235 \h 12
\l "_Tc31134" 单选题 PAGEREF _Tc31134 \h 12
\l "_Tc31594" 多选题 PAGEREF _Tc31594 \h 13
\l "_Tc8970" 填空题 PAGEREF _Tc8970 \h 13
\l "_Tc4881" 解答题 PAGEREF _Tc4881 \h 13
一、 圆的方程
基础知识
1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此
在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1)方程叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因
此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线
方程，求待定系数D，E，F.
考点1 求圆的标准方程
【例1.1】（23-24高二上·天津武清·阶段练习）圆心为−1,1，半径为2的圆的方程为（ ）
A．x+12+y−12=4B．x+12+y+12=2
C．x−12+y+12=4D．x+12+y−12=2
【例1.2】（23-24高二上·陕西·期中）过四点0,0，4,0，−1,1，4,2中的三点的圆的方程可能为（ ）
A．x2+y2+4x−2y−5=0B．x−852+y−12=95
C．x−432+y−732=22D．x−22+y−32=13
【变式1.1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）过点A−1,1,B3,−3，半径最小的圆的方程为（ ）
A．(x−1)2+(y+1)2=8B．(x+1)2+(y−1)2=8
C．(x−1)2+(y+1)2=32D．(x+1)2+(y−1)2=32
【变式1.2】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）若圆C经过点A(2,5)，B(4,3)，且圆心在直线l:2x+y−7=0上，则圆C的方程为（ ）
A．(x−3)2+(y−6)2=2B．(x−2)2+(y−3)2=4
C．(x−2)2+(y−3)2=8D．(x−3)2+(y−6)2=10
考点2 求圆的一般方程
【例2.1】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）直线x4+y2=1与x轴，y轴分别交于点A,B，以线段AB为直径的圆的方程为（ ）
A．x2+y2−4x−2y−3=0B．x2+y2−4x−2y=0
C．x2+y2−4x−2y+3=0D．x2+y2−2x−4y=0
【例2.2】（23-24高三上·北京顺义·期中）已知圆C的圆心坐标为(−3,2)，且点(−1,1)在圆C上，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2+6x−4y+8=0B．x2+y2+6x−4y−8=0
C．x2+y2+6x+4y=0D．x2+y2+6x−4y=0
【变式2.1】（23-24高二上·浙江·期中）若直线4x+3y−12=0与两坐标轴的交点为A,B，则以AB为直径的圆的方程为（ ）
A．x2+y2−3x−4y=0B．x2+y2−4x−3y=0
C．x2+y2+3x+4y=0D．x2+y2+4x+3y=0
【变式2.2】（23-24高二上·河北保定·期中）过圆C:x2+y2−2x−6y=0的圆心且与直线x2+y4=1垂直的直线的方程是（ ）
A．2x−y−1=0B．2x+y−7=0
C．x−2y+5=0D．x+y−5=0
二、 二元二次方程和圆的方程
基础知识
1．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程，对比圆的一般方程
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程表示圆的条件是
考点3 二元二次方程表示圆的条件
【例1.1】（23-24高二上·北京顺义·期中）若x2+y2+4x−2y−m=0表示圆的方程，则m的取值范围是（ ）
A．5,+∞B．−∞,5C．−∞,−5D．−5,+∞
【例1.2】 （23-24高二上·河北·期中）若方程x2+y2+4x+2y−m=0表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A．−∞,−5B．−5,+∞C．−∞,5D．5,+∞
【变式1.1】（23-24高二上·四川成都·期中）已知方程x2+y2+4x−2y−5c=0表示圆的方程，则c的取值范围为（ ）
A．c>−1B．c≥−1
C．c>1D．c≤1
【变式1.2】 （23-24高二上·浙江舟山·阶段练习）若a∈−2,−1,0,12,34,1 ，则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a−1=0表示的圆的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
考点4 圆过定点问题
【例2.1】（23-24高二上·安徽·阶段练习）若圆C：x2+y2−m−2x+m−2y+m2−3m+2=0过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．1B．2C．2或1D．－2或－1
【例2.2】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆C:x²+y²+ax−2ay−5=0恒过的定点为（ ）
A．−2,1,(2,−1) B．−1,−2,(2,1)
C．−1,−2,(1,2) D．−2,−1,(2,1)
【变式2.1】（23-24高二下·上海徐汇·期中）对任意实数m，圆x2+y2−3mx−6my+9m−2=0恒过定点，则定点坐标为 ．
【变式2.2】（23-24高二下·上海·开学考试）对任意实数m，圆x2+y2−2mx−4my+6m−2=0恒过定点，则其坐标为 .
三、 点与圆的位置关系
基础知识
1．点与圆的位置关系
(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为
.平面内一点.
考点5 点与圆的位置关系
【例1.1】（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）若点2,1在圆x2+y2−x+y+a=0的外部，则a的取值范围是（ ）
A．(−4,+∞)B．−∞,12C．−4,12D．(−∞,−4)∪12,+∞
【例1.2】（2023高二上·江苏·专题练习）已知点P(a,10)，圆的标准方程为x−12+y−12=12，则点P（ ）
A．在圆内B．在圆上
C．在圆外D．与a的取值有关
【变式1.1】（23-24高二上·广东惠州·期中）点P(m,3)与圆x−22+y−12=2的位置关系为（ ）
A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．与m的值无关
【变式1.2】（2024高二上·全国·专题练习）点(−1,−1)在圆(x+a)2+(y−a)2=4的内部，则a的取值范围是（ ）
A．−1