高一升高二数学暑假预习课16讲第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系与11考点精讲（学生版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系与11考点精讲（学生版），共17页。
\l "_Tc12694" 一、 直线与椭圆的位置关系 PAGEREF _Tc12694 \h 2
\l "_Tc6649" 基础知识 PAGEREF _Tc6649 \h 2
\l "_Tc23479" 考点1 判断直线与椭圆的位置关系 PAGEREF _Tc23479 \h 4
\l "_Tc29882" 考点2 椭圆的弦长 PAGEREF _Tc29882 \h 4
\l "_Tc25136" 考点3 椭圆的“中点弦” PAGEREF _Tc25136 \h 5
\l "_Tc14017" 二、 直线与双曲线的位置关系 PAGEREF _Tc14017 \h 6
\l "_Tc20194" 基础知识 PAGEREF _Tc20194 \h 6
\l "_Tc16110" 考点4 判断直线与双曲线的位置关系 PAGEREF _Tc16110 \h 7
\l "_Tc6061" 考点5 双曲线的弦长 PAGEREF _Tc6061 \h 8
\l "_Tc23606" 考点6 双曲线的“中点弦” PAGEREF _Tc23606 \h 8
\l "_Tc1532" 三、 直线与抛物线的位置关系 PAGEREF _Tc1532 \h 10
\l "_Tc14202" 基础知识 PAGEREF _Tc14202 \h 10
\l "_Tc6083" 考点7 判断直线与抛物线的位置关系 PAGEREF _Tc6083 \h 11
\l "_Tc21770" 考点8 抛物线的弦长 PAGEREF _Tc21770 \h 11
\l "_Tc3453" 考点9 抛物线的焦点弦 PAGEREF _Tc3453 \h 12
\l "_Tc13117" 考点10 圆锥曲线中的三角形面积 PAGEREF _Tc13117 \h 13
\l "_Tc13535" 考点11 圆锥曲线中的定点、定值、定直线 PAGEREF _Tc13535 \h 13
\l "_Tc30406" 四、 课后作业 PAGEREF _Tc30406 \h 15
\l "_Tc15964" 单选题 PAGEREF _Tc15964 \h 15
\l "_Tc23210" 多选题 PAGEREF _Tc23210 \h 16
\l "_Tc7098" 填空题 PAGEREF _Tc7098 \h 16
\l "_Tc2318" 解答题 PAGEREF _Tc2318 \h 16
一、 直线与椭圆的位置关系
基础知识
1．点与椭圆的位置关系
(1)点与椭圆的位置：
(2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论：
点在椭圆外+>1;
点在椭圆内+0直线与椭圆相交有两个公共点;
=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点;
b>0)于，两点，
则或.
4．“中点弦问题”
(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根
与系数的关系以及中点坐标公式解决.
②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中
点坐标和斜率的关系.
设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)，
得，
①-②可得+=0，
设线段AB的中点为，当时，有+=0.
因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦
中点轨迹问题的常用方法.
(2)弦的中点与直线的斜率的关系
线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标
为，则弦AB所在直线的斜率为，即.
考点1 判断直线与椭圆的位置关系
【例1.1】（23-24高二上·山东济南·期中）直线l：2m+1x+m+1y−7m−4=0与椭圆C：x218+y212=1的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【例1.2】（23-24高二上·全国·课后作业）直线y=3x−1与椭圆x24+y28=1的公共点的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．无数个
【变式1.1】 （23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆C:x225+y29=1，直线l:m+2x−m+4y+2−m=0(m∈R)，则直线l与椭圆C的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【变式1.2】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）若直线mx−ny=4与⊙O：x2+y2=4没有交点，则过点Pm,n、Q0,5两点的直线与椭圆x29+y24=1的交点个数是（ ）
A．至多为1B．2C．1D．0
考点2 椭圆的弦长
【例2.1】 （2024高二上·江苏·专题练习）设直线l:y=3x+3与椭圆C:x26+y23=1相交于A，B两点，则AB=（ ）
A．827B．867C．8107D．8147
【例2.2】（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆x24+y23=1的焦点为F，椭圆上M，N满足：MF=2FN，则MN=（ ）
A．23B．3C．938D．278
【变式2.1】（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）已知椭圆E的中心在原点，焦点为F1(−23,0)，F2(23,0)，且离心率e=32．过点P(2,−1)的直线l与椭圆E相交于A，B两点，且P为AB的中点，则弦长AB=（ ）
A．23B．22C．25D．26
【变式2.2】（23-24高二上·福建三明·期中）已知直线l:y=2x+1被椭圆C:x22+y2m=100x1x21)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.
考点4 判断直线与双曲线的位置关系
【例1.1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线y=13x−72与双曲线x29−y2=1交点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．4
【例1.2】（2024高二·全国·专题练习）直线y=32x+2与双曲线x24−y29=1的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．无法确定
【变式1.1】（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线l:y=2x−8，双曲线C:x24−y2=1，则（ ）
A．直线l与双曲线C有且只有一个公共点
B．直线l与双曲线C的左支有两个公共点
C．直线l与双曲线C的右支有两个公共点
D．直线l与双曲线C的左右两支各有一个公共点
【变式1.2】（23-24高二上·湖北武汉·期中）过点4,33作直线，使它与双曲线x24−y29=1只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
考点5 双曲线的弦长
【例2.1】（23-24高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=2x，过其左焦点F(−3,0)作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长|AB|=（ ）
A．7B．8C．9D．10
【例2.2】（23-24高二上·浙江金华·期中）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线2x+y=0交于A，B两点，若AB=215，则该双曲线的方程为（ ）
A．y2−x2=25B．y2−x2=16C．y2−x2=9D．y2−x2=6
【变式2.1】（23-24高二上·广东惠州·期末）过双曲线x2−y22=1右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若AB=4，则这样直线l有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【变式2.2】（2024·北京·模拟预测）已知双曲线C:y2−x23=1的两个焦点分别为F1,F2，过F1的直线与双曲线C的同一支交于A，B两点，且BF1=2AF1，则线段AB的长度为（ ）
A．94B．9C．274D．6
考点6 双曲线的“中点弦”
【例3.1】（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线x2−y29=1交于A，B两点，线段AB的中点为点M−1,−4，则直线l的斜率为（ ）
A．−49B．49C．−94D．94
【例3.2】（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知A，B为双曲线x2−y2=1上不同两点，下列点中可为线段AB的中点的是（ ）
A．1,1B．(2,3)C．2,1D．−1,12
【变式3.1】（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）设A，B为双曲线x28−y216=1上的两点，若线段AB的中点为M1,2，则直线AB的方程是（ ）
A．x+y−3=0 B．2x+y−3=0 C．x−y+1=0D．x−2y+3=0
【变式3.2】（23-24高二上·浙江宁波·期末）过双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)内一点M1,1且斜率为12的直线交双曲线于A,B两点，弦AB恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（ ）
A．62B．52C．3D．5
三、 直线与抛物线的位置关系
基础知识
1．直线与抛物线的位置关系
(1)直线与抛物线的三种位置：
(2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程
.
①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标).
设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为：
4．抛物线的切线
过抛物线=2px(p>0)上的点P的切线方程是.
抛物线=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0).
考点7 判断直线与抛物线的位置关系
【例1.1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知抛物线方程y2=4x，过点P0,2的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ）条
A．0B．1C．2D．3
【例1.2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l与抛物线x2=2pyp>0只有一个公共点，则直线l与抛物线的位置关系是（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．相交或相切
【变式1.1】（23-24高二上·安徽宿州·期末）过点P(0,1)作直线与抛物线y2=−4x相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式1.2】（23-24高二下·江西新余·期末）已知直线y=kx−k及抛物线y2=2px(p>0)，则（ ）
A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点
考点8 抛物线的弦长
【例2.1】（2024·四川自贡·二模）已知定点D2,0，直线l：y=kx+2k>0与抛物线y2=4x交于两点A，B，若∠ADB=90°，则AB=( )
A．4B．6C．8D．10
【例2.2】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线y2=2pxp>0的一条弦AB恰好以P1,1为中点，弦AB的长是15，则p=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2.1】（2024·山东聊城·三模）已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F到其准线的距离为2，过F的直线l与C交于A，B两点，则AB的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式2.2】（23-24高二上·河北衡水·期中）若抛物线x2=2pyp>0的焦点为F，直线l：y=2x+p2与抛物线交于A，B两点，且AF−BF=32，则AB=（ ）
A．4B．3C．2D．354
考点9 抛物线的焦点弦
【例3.1】（23-24高三下·全国·阶段练习）已知F为抛物线C:y2=−3x的焦点，过F的直线y=kx+3与C交于A,B两点，则AB=（ ）
A．2716B．3916C．5116D．6316
【例3.2】（23-24高二上·广东珠海·期中）已知抛物线y2=2px，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且AF=2FB，则直线AB的斜率为（ ）
A．1B．2
C．22D．无法确定
【变式3.1】（23-24高三上·山东烟台·阶段练习）抛物线C:y2=2px(p>0)上存在一点M2,y0，M到抛物线焦点F的距离为3，直线MF交抛物线C于另一点N，则线段MN的长为（ ）
A．52B．92C．112D．152
【变式3.2】（23-24高二上·河北保定·期中）已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为π3的直线在第一象限交C于点A，若点A在l上的投影为点B，且|AB|=4，则p=（ ）
A．1B．2C．22D．4
考点10 圆锥曲线中的三角形面积
【例4.1】（23-24高三下·全国·阶段练习）已知过抛物线C:y2=2pxp>0的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点，当直线l垂直于x轴时，AB=16．
(1)求抛物线方程；
(2)若|AB|=24，O为坐标原点，求△OAB的面积．
【例4.2】（23-24高二上·四川凉山·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点A2,0，过点B−1,0的直线l与椭圆C交于M，N两点（M，N异于点A），当直线l与x轴垂直时，MN=2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求△AMN面积的取值范围.
【变式4.1】（23-24高三上·四川成都·期末）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A1,−1关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于−3.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线AP和BP分别与直线y=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
【变式4.2】（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3，且顶点到渐近线的距离为263.已知直线l过点0,−1，直线l与双曲线C的左，右两支的交点分别为M,N，直线l与双曲线C的渐近线的交点为P,Q，其中点Q在y轴的右侧.设△OMP,△OPQ,△OQN的面积分别是S1,S2,S3.
(1)求双曲线C的方程；
(2)求S2S1+S3的取值范围.
考点11 圆锥曲线中的定点、定值、定直线
【例5.1】（23-24高三上·广西·开学考试）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，长轴长为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)O为坐标原点，过点G3,0且斜率不为零的直线与椭圆C交于E，F两点，试问：在x轴上是否存在一个定点T，使得∠ETO=∠FTG．若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由．
【例5.2】（23-24高二上·山东济南·阶段练习）已知抛物线C：y2=4x.
(1)过抛物线的焦点，且斜率为3的直线l1交抛物线C于A，B两点，求AB；
(2)直线l2过点P2,0且与抛物线交于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线，这两条切线交于点Q.证明：点Q在定直线上.
【变式5.1】 （23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2，点3,−1在双曲线C上．过C的左焦点F作直线l交C的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若M−2,0，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上?请说明理由．
(3)点P−4,2，直线AP交直线x=−2于点Q．设直线QA、QB的斜率分别k1、k2，求证：k1−k2为定值．
【变式5.2】（23-24高三上·河北石家庄·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的上、下顶点分别是A,B，点P（异于A,B两点），直线PA与PB的斜率之积为−49，椭圆C的长轴长为6．
(1)求C的标准方程；
(2)已知T(0,1)，直线PT与椭圆C的另一个交点为Q，且直线AP与BQ相交于点D，证明点D在定直线上.
四、 课后作业
单选题
1．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆C:x24+y2=1，直线l:x−2y+2=0，则l与C的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．以上选项都不对
2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知直线l：ax−2y+2a+4=0与双曲线C：x24−y24=1有且只有一个交点，则实数a的值是（ ）
A．2B．4C．±2D．±4
3．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知抛物线C:y2=2x，过点M(−1,0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若AF=52，则BF=（ ）
A．2B．32C．1D．12
4．（23-24高二上·全国·单元测试）已知椭圆C:x29+y23=1内一点M(1,1),直线l与椭圆C交于A,B两点，且M为线段AB的中点，则直线l的斜率为（ ）
A．−3B．13C．3D．−13
5．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：x24−y2=1的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若AB=4，则这样的直线l有（ ）
A．0条B．2条C．3条D．4条
6．（23-24高二上·江苏无锡·期中）斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F，且与抛物线相交于A,B两点，线段AB的长为8，则p的值为（ ）
A．12B．1C．2D．3
7．（23-24高二上·全国·单元测试）已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于点A,B两点，若△F1AB面积是△F2AB的2倍，则m=（ ）
A．23B．22C．−23D．−23
8．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知P为椭圆x24+y2=1y≠−1上任一点，过P作圆C:x2+(y+2)2=1的两条切线PM,PN，切点分别为M,N，则四边形PMCN面积的最大值为（ ）
A．3B．22C．533D．6
多选题
9．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线l经过抛物线C:y2=4x的焦点，且与抛物线C相交于Ax1,y1、Bx2,y2两点，下列说法正确的是（ ）
A．x1x2=1，y1y2=−4
B．直线l的斜率为1时，AB=22
C．AB的最小值为6
D．以AB为直径的圆与C的准线相切
10．（23-24高二上·浙江杭州·期中）设椭圆的方程为x22+y24=1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则（ ）
A．kAB⋅kOM=−1
B．若M1,1，则直线l的方程为2x+y−3=0
C．若直线l的方程为y=x+2，则M13,43
D．若直线l的方程为y=x+2，则AB=423
填空题
11．（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于Ax1,y1,Bx2,y2两点，若AB=12，那么x1+x2= ．
12．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线交两条渐近线于点A，B，且AF1=3AB．若点A在x轴上的射影为M，则S△AF1MS△BF1F2= ．
解答题
13．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知椭圆C:x23+y22=1，直线l:y=x+m（其中m0的焦点，Mm,43是抛物线上一点，O为坐标原点，且∠MFO=120°．
(1)求m的值；
(2)过点F垂直于MF的直线与抛物线相交于A，B两点，求AB的长．
15．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为4，且过点P2,33．
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)过双曲线Γ的左焦点F分别作斜率为k1,k2的两直线l1与l2，直线l1交双曲线Γ于A,B两点，直线l2交双曲线Γ于C,D两点，设M,N分别为AB与CD的中点，若k1⋅k2=−1，证明：直线MN过定点．
16．（23-24高二下·安徽滁州·期中）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A，F分别为椭圆C的左顶点和右焦点，过F的直线l交椭圆C于点P，Q．若AF=3，且当直线l⊥x轴时，PQ=3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，问k1k2是否为定值？并证明你的结论；
(3)记△APQ的面积为S，求S的最大值．
标准方程
弦长公式
y2=2px(p>0)
|AB|=x1+x2+p
y2=-2px(p>0)
|AB|=p-(x1+x2)
x2=2py(p>0)
|AB|=y1+y2+p
x2=-2py(p>0)
|AB|=p-(y1+y2)