高一升高二数学暑假预习课16讲第09讲 直线的方程（二）7考点精讲（学生版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第09讲 直线的方程（二）7考点精讲（学生版），共11页。
\l "_Tc18366" 一、 求直线方程的一般方法 PAGEREF _Tc18366 \h 2
\l "_Tc31038" 基础知识 PAGEREF _Tc31038 \h 2
\l "_Tc4553" 考点1 求解直线方程 PAGEREF _Tc4553 \h 2
\l "_Tc27576" 考点2 直线过定点问题 PAGEREF _Tc27576 \h 3
\l "_Tc13101" 二、 两条直线的位置关系 PAGEREF _Tc13101 \h 4
\l "_Tc23862" 基础知识 PAGEREF _Tc23862 \h 4
\l "_Tc7504" 考点3 求与已知直线垂直的直线方程 PAGEREF _Tc7504 \h 4
\l "_Tc9235" 考点4 求与已知直线平行的直线方程 PAGEREF _Tc9235 \h 5
\l "_Tc30084" 考点5 由两直线平行求参数 PAGEREF _Tc30084 \h 5
\l "_Tc24372" 考点6 由两直线垂直求参数 PAGEREF _Tc24372 \h 6
\l "_Tc6797" 三、 直线方程的实际应用 PAGEREF _Tc6797 \h 7
\l "_Tc2034" 基础知识 PAGEREF _Tc2034 \h 7
\l "_Tc1890" 考点7 直线方程的实际应用 PAGEREF _Tc1890 \h 7
\l "_Tc106" 四、 课后作业 PAGEREF _Tc106 \h 9
\l "_Tc1212" 单选题 PAGEREF _Tc1212 \h 9
\l "_Tc26930" 多选题 PAGEREF _Tc26930 \h 10
\l "_Tc26751" 填空题 PAGEREF _Tc26751 \h 10
\l "_Tc8638" 解答题 PAGEREF _Tc8638 \h 10
一、 求直线方程的一般方法
基础知识
1．求直线方程的一般方法
(1)直接法
直线方程形式的选择方法：
①已知一点常选择点斜式；
②已知斜率选择斜截式或点斜式；
③已知在两坐标轴上的截距用截距式；
④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.
(2)待定系数法
先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.
利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.
若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、
截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).
考点1 求解直线方程
【例1.1】（23-24高二上·安徽·期末）已知直线l的倾斜角为2π3，且在y轴上的截距为−2，则l的方程为（ ）
A．3x+y+2=0B．3x+y−2=0
C．x+3y+23=0D．x−3y−2=0
【例1.2】（23-24高二上·海南·期末）已知直线l的方向向量为n=3,2，且l经过点3,1，则l的方程为（ ）
A．2x−3y−6=0B．2x−3y−3=0
C．3x+2y−11=0D．3x−2y−7=0
【变式1.1】（2024高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点A(−5,6)和B(−4,8)两点，求直线l的一般式方程和截距式方程，并画出图象．
【变式1.2】（23-24高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的方程，并画出图形：
(1)在x轴上的截距是3，在y轴上的截距是2；
(2)经过点2,3，且在两坐标轴上的截距相等；
(3)经过点−1,2，且直线在x轴上的截距是其在y轴上截距的2倍．
考点2 直线过定点问题
【例2.1】（2024高二·全国·专题练习）直线kx−y+1−3k=0，当k变动时，所有直线都通过定点（ ）
A．3,1B．0,1C．0,0D．2,1
【例2.2】（23-24高二上·四川宜宾·期中）无论k为何值，直线k+2x+1−ky−2k−4=0都过一个定点，则该定点为（ ）
A．−2,0B．0,2C．2,0D．0,−2
【变式2.1】（23-24高二上·广东清远·期中）若直线2mx+y−4m−1=0的斜率k0，b>0，直线l1：x+a−4y+1=0，l2：2bx+y−2=0，且l1⊥l2，则1a+1+12b的最小值为（ ）
A．2B．4C．23D．45
三、 直线方程的实际应用
基础知识
1．直线方程的实际应用
利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从
而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性.
考点7 直线方程的实际应用
【例1.1】（23-24高二上·四川眉山·阶段练习）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（ ）
A．25minB．35minC．40minD．45min
【例1.2】（2024·全国·一模）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆x2+y2=2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为（ ）
A．x+(2−1)y−2=0B．(1−2)x−y+2=0
C．x−(2+1)y+2=0D．(2−1)x−y+2=0
【变式1.1】（23-24高二·江苏·课后作业）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度．
【变式1.2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A是指该球的球心点为A，母球的球心沿直线运动.两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：
(1)如图1，设母球A的位置为0,0，目标球B的位置为4,0，要使目标球B向C8,−4处运动，求母球A的球心运动的直线方程；
(2)如图2，若母球A的位置为0,−2，目标球B的位置为4,0，让母球A击打目标球B后，能否使目标球B向C8,−4处运动？请说明理由.
四、 课后作业
单选题
1．（23-24高二上·贵州毕节·期末）若直线mx+y−4m−1=0的斜率小于0，那么该直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．（23-24高二下·河南·阶段练习）过原点且与直线2x+y−1=0垂直的直线方程为（ ）
A．y=2xB．y=−2x
C．y=12xD．y=−12x
3．（23-24高二下·江西·开学考试）过点1,−3且与直线x−2y+1=0平行的直线方程是（ ）
A．x−2y−7=0B．x+2y+5=0
C．2x+y+1=0D．2x−y−5=0
4．（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知直线l过点0,4，且与直线3x−y+4=0及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（ ）
A．3x+y−4=0B．x+3y−43=0
C．x−3y+43=0D．3x+y−4=0或x−3y+43=0
5．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）直线l的方向向量是e=−1,2，则下列选项中的直线与直线l垂直的是（ ）
A．x−2y+3=0B．x+2y−3=0
C．2x−y+3=0D．2x+y−3=0
6．（2024高三·全国·专题练习）已知点A(－1，0)，B(5，2)，直线l经过AB的中点且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则l的方程是（ ）
A．3x＋2y－8＝0B．3x－2y－4＝0
C．2x－3y－1＝0D．2x＋3y－7＝0
7．（23-24高二下·河南·开学考试）已知直线l1:ax+y−2=0,l2:2x+a+1y+2=0,l3:−2bx+y+1=0,a,b∈R，䒴l1//l2，l1⊥l3，则b=（ ）
A．−12或14B．12C．12或−14D．14
8．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知直线l过点P(2,3)，且直线l的倾斜角为直线x−3y+3=0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（ ）
A．x+3y−3=0B．x−3y−3=0
C．3x+y−3=0D．3x−y−3=0
多选题
9．（23-24高一下·江苏南通·期末）已知直线l:(a2+a+1)x−y+1=0，其中a∈R，则（ ）
A．当a=−1时，直线l与直线x+y=0垂直
B．若直线l与直线x−y=0平行，则a=0
C．直线l过定点(0,1)
D．当a=0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
10．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线l1:ax+8y−8=0与直线l2:2x+ay−a=0，下列说法正确的是（）
A．当a=8时，直线l1的倾斜角为45°
B．直线l2恒过0,1点
C．若a=4，则l1/ l2
D．若a=0，则l1⊥l2
填空题
11．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，直线（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒过定点 .
12．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知a∈R，设直线l1:x+ay−1=0，l2:ax+y−1=0，若l1//l2，则a= .
解答题
13．（22-23高二上·浙江绍兴·期中）求满足题意的直线方程：
(1)求过点A0,−2，斜率是直线y=−6x−1的斜率的14的直线方程；
(2)求过点A−1,3，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的直线方程.
14．（23-24高二上·上海浦东新·期中）设直线l的方程为(a+1)x+y+2−a=0(a∈R).
(1)求证：不论a为何值，直线必过定点M；
(2)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.
15．（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知直线l1:a+6x+2y+8=0，直线l2:3x−a−1y+4=0.
(1)若l1 // l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值.
16．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知△ABC的三个顶点是A4,0，B6,7，C0,4．
(1)求BC边上的中线的直线方程；
(2)求BC边上的高的直线方程
(3)求AC边的垂直平分线
斜截式
一般式
方程
l1:y=k1x+b1
l2 :y=k2x+b2
相交
k1≠k2
（当时，记为）
垂直
k1·k2=-1
（当时，记为）
平行
k1=k2且b1≠b2
或
（当时，记为）
重合
k1=k2且b1=b2
A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0)
（当时，记为）