高一升高二数学暑假预习课16讲第09讲 直线的方程（二）7考点精讲（解析版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第09讲 直线的方程（二）7考点精讲（解析版），共25页。
\l "_Tc3847" 一、 求直线方程的一般方法 PAGEREF _Tc3847 \h 2
\l "_Tc9205" 基础知识 PAGEREF _Tc9205 \h 2
\l "_Tc15189" 考点1 求解直线方程 PAGEREF _Tc15189 \h 2
\l "_Tc12198" 考点2 直线过定点问题 PAGEREF _Tc12198 \h 5
\l "_Tc11410" 二、 两条直线的位置关系 PAGEREF _Tc11410 \h 7
\l "_Tc19619" 基础知识 PAGEREF _Tc19619 \h 7
\l "_Tc31393" 考点3 求与已知直线垂直的直线方程 PAGEREF _Tc31393 \h 7
\l "_Tc3587" 考点4 求与已知直线平行的直线方程 PAGEREF _Tc3587 \h 9
\l "_Tc25593" 考点5 由两直线平行求参数 PAGEREF _Tc25593 \h 10
\l "_Tc14646" 考点6 由两直线垂直求参数 PAGEREF _Tc14646 \h 12
\l "_Tc24020" 三、 直线方程的实际应用 PAGEREF _Tc24020 \h 14
\l "_Tc17902" 基础知识 PAGEREF _Tc17902 \h 14
\l "_Tc755" 考点7 直线方程的实际应用 PAGEREF _Tc755 \h 14
\l "_Tc18008" 四、 课后作业 PAGEREF _Tc18008 \h 18
\l "_Tc15741" 单选题 PAGEREF _Tc15741 \h 18
\l "_Tc16900" 多选题 PAGEREF _Tc16900 \h 21
\l "_Tc11448" 填空题 PAGEREF _Tc11448 \h 22
\l "_Tc8498" 解答题 PAGEREF _Tc8498 \h 23
一、 求直线方程的一般方法
基础知识
1．求直线方程的一般方法
(1)直接法
直线方程形式的选择方法：
①已知一点常选择点斜式；
②已知斜率选择斜截式或点斜式；
③已知在两坐标轴上的截距用截距式；
④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.
(2)待定系数法
先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.
利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.
若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、
截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).
考点1 求解直线方程
【例1.1】（23-24高二上·安徽·期末）已知直线l的倾斜角为2π3，且在y轴上的截距为−2，则l的方程为（ ）
A．3x+y+2=0B．3x+y−2=0
C．x+3y+23=0D．x−3y−2=0
【解题思路】先求出斜截式方程，再化为一般式．
【解答过程】直线l的倾斜角为2π3，则l的斜率k=tan2π3=−3，
所以l的方程为y=−3x−2，即3x+y+2=0．
故选：A.
【例1.2】（23-24高二上·海南·期末）已知直线l的方向向量为n=3,2，且l经过点3,1，则l的方程为（ ）
A．2x−3y−6=0B．2x−3y−3=0
C．3x+2y−11=0D．3x−2y−7=0
【解题思路】利用方向向量求出直线斜率，结合点斜式并化简成一般式即可求解.
【解答过程】由题意，因为直线l的一个方向向量为(3,2)，所以l的斜率k=23，
所以直线方程为y−1=23x−3，整理得2x−3y−3=0.
故选：B.
【变式1.1】（2024高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点A(−5,6)和B(−4,8)两点，求直线l的一般式方程和截距式方程，并画出图象．
【解题思路】根据题意，结合直线的两点式方程，求得直线的一般式方程和截距式方程，并画出图象.
【解答过程】由直线l过点A(−5,6)和B(−4,8)两点，
根据直线的两点式方程，可得y−68−6=x+5−4+5，
可得直线的一般式方程为2x−y+16=0，
可得2x−y=−16，可得截距式方程为x−8+y16=1，
图象如图所示，
【变式1.2】（23-24高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的方程，并画出图形：
(1)在x轴上的截距是3，在y轴上的截距是2；
(2)经过点2,3，且在两坐标轴上的截距相等；
(3)经过点−1,2，且直线在x轴上的截距是其在y轴上截距的2倍．
【解题思路】
（1）根据截距直接列出直线的截距式方程；
（2）当截距为0时，设直线的方程为y=kx；当截距不为0时，根据截距之间的关系，设出直线的截距式方程.最后根据直线经过的点求出直线方程；
（3）方法同（2）；
【解答过程】
（1）直线在x轴上的截距是3，在y轴上的截距是2，直接列出直线的截距式方程x3+y2=1，
整理为2x+3y−6=0，直线的图象如下：
（2）①当直线的截距为0时，设直线方程为y=kx，
代入点(2,3)，得到3=2k，即k=32，
故直线方程为y=32x，即3x−2y=0，直线的图象如下：
②当直线的截距不为0时，设直线的方程为xa+ya=1，
代入点(2,3)，得到2a+3a=1，解得a=5，
故直线的方程为x5+y5=1，即x+y−5=0，直线的图象如图：
综上，直线的方程为3x−2y=0或x+y−5=0.
（3）①当直线的截距为0时，此时满足直线在x轴上的截距是其在y轴上截距的2倍，
设直线方程为y=kx，
代入点(−1,2)，得到k=−2，
故直线方程为y=−2x，即2x+y=0，直线的图象如下：
②当直线的截距不为0时，设直线的方程为x2a+ya=1，
代入点(−1,2)，得到−12a+2a=1，解得a=32，
故直线的方程为x3+2y3=1，即x+2y−3=0，直线的图象如图：
综上，直线的方程为2x+y=0或x+2y−3=0.
考点2 直线过定点问题
【例2.1】（2024高二·全国·专题练习）直线kx−y+1−3k=0，当k变动时，所有直线都通过定点（ ）
A．3,1B．0,1C．0,0D．2,1
【解题思路】直线方程转化为：x−3k−y+1=0，然后令x−3=0−y+1=0，解方程即可求解．
【解答过程】解：直线方程转化为：x−3k−y+1=0，
令x−3=0−y+1=0，解得x=3,y=1，
所以直线过定点3,1，
故选：A．
【例2.2】（23-24高二上·四川宜宾·期中）无论k为何值，直线k+2x+1−ky−2k−4=0都过一个定点，则该定点为（ ）
A．−2,0B．0,2C．2,0D．0,−2
【解题思路】将直线方程整理成kx−y−2+2x+y−4=0即可求得定点坐标.
【解答过程】将直线方程整理成kx−y−2+2x+y−4=0，
令x−y−2=02x+y−4=0，解得x=2y=0，即直线经过定点2,0.
故选：C.
【变式2.1】（23-24高二上·广东清远·期中）若直线2mx+y−4m−1=0的斜率k0,b>0，所以a+1>0,2b>0，
所以1a+1+12b = 1a+1+12b ×15a+1+2b =152+2ba+1+a+12b ≥152+22ba+1⋅a+12b=45，
当且仅当a=32,b=54时，等号成立.
故选：D.
三、 直线方程的实际应用
基础知识
1．直线方程的实际应用
利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从
而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性.
考点7 直线方程的实际应用
【例1.1】（23-24高二上·四川眉山·阶段练习）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（ ）
A．25minB．35minC．40minD．45min
【解题思路】根据已知条件可知直线方程的斜率k及所过的点，进而得到直线方程，再求蜡烛从点燃到燃尽所耗时间即可.
【解答过程】由题意知：蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程，过(6,17.4),(21,8.4)两点，故其斜率k=8.4−17.421−6=−35，
∴直线方程为l−8.4=−35(t−21)，
∴当蜡烛燃尽时，有t−21=14，即t=35，
故选：B.
【例1.2】（2024·全国·一模）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆x2+y2=2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为（ ）
A．x+(2−1)y−2=0B．(1−2)x−y+2=0
C．x−(2+1)y+2=0D．(2−1)x−y+2=0
【解题思路】由题意求解题中所给的直线方程，对比选项，利用排除法即可求得最终结果.
【解答过程】如图所示，可知A(2，0),B(1，1)，C(0,2),D−1,1，
所以直线AB，BC，CD的方程分别为：
y=1−01−2x−2,y=(1−2)x+2,y=(2−1)x+2
整理为一般式即：
x++2−1y−2=0,1−2x−y+2=0,2−1x−y+2=0,
分别对应题中的ABD选项.

故选：C.
【变式1.1】（23-24高二·江苏·课后作业）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度．
【解题思路】用直线的斜截式方程写出l与t的关系，再利用待定系数法求出方程并求解作答.
【解答过程】依题意，设l与t的关系式为：l=kt+b，k,b是常数，
于是得12.506=40k+b12.512=80k+b，解得k=0.00015b=12.5，
则l与t的关系式为l=0.00015t+12.5，当t=100时，l=12.515，
所以所求直线的方程为l=0.00015t+12.5，铁棒在100℃时的长度是12.515m.
【变式1.2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A是指该球的球心点为A，母球的球心沿直线运动.两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：
(1)如图1，设母球A的位置为0,0，目标球B的位置为4,0，要使目标球B向C8,−4处运动，求母球A的球心运动的直线方程；
(2)如图2，若母球A的位置为0,−2，目标球B的位置为4,0，让母球A击打目标球B后，能否使目标球B向C8,−4处运动？请说明理由.
【解题思路】
（1）由题意可求得点B4,0，C8,−4所在的直线方程，设球A的球心坐标为A′a,b，列方程求得A′4−2,2，即可求得答案;
（2）假设能使目标球B向C8,−4处运动，则由（1）知球A需运动到A′4−2,2处，且到达A′处前不与目标球B接触，由此判断点B到直线AA′的距离的大小范围，并与2比较，可得结论.
【解答过程】
（1）点B4,0，C8,−4所在的直线方程为y−0−4−0=x−48−4，即x+y−4=0，
如图，
可知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线x+y−4=0上，且在第一象限，
设A，B两球碰撞时，球A的球心坐标为A′a,b，
此时A′B=2，则a+b−4=0a−42+b2=2a>0,b>0 ，
解得a=4−2，b=2，
即A，B两球碰撞时，球A的球心坐标A′4−2,2，
所以母球A的球心运动的直线方程为y=24−2x，即y=22+17x；
（2）假设能使目标球B向C8,−4处运动，
则由（1）知球A需运动到A′4−2,2处，且到达A′处前不与目标球B接触.
如图，设AA′与x轴的交点为D.
因为A′B的斜率为−1，所以∠A′BD=45°，
因为AA′的斜率为2+24−2=5+327>1，
所以∠A′DB>45°，所以∠DA′B为锐角，
过点B作BE⊥AA′于点E，
因为A′B=2，所以BE