高一升高二数学暑假预习课16讲第10讲 直线的交点坐标与距离公式与9考点精讲（学生版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第10讲 直线的交点坐标与距离公式与9考点精讲（学生版），共13页。学案主要包含了 点等内容，欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc16065" 第10讲 直线的交点坐标与距离公式 PAGEREF _Tc16065 \h 1
\l "_Tc21795" 一、 直线的交点坐标 PAGEREF _Tc21795 \h 2
\l "_Tc5467" 基础知识 PAGEREF _Tc5467 \h 2
\l "_Tc19723" 考点1 求两直线的交点坐标 PAGEREF _Tc19723 \h 2
\l "_Tc30119" 考点2 经过两直线交点的直线方程 PAGEREF _Tc30119 \h 3
\l "_Tc8892" 二、 距离公式 PAGEREF _Tc8892 \h 4
\l "_Tc9455" 基础知识 PAGEREF _Tc9455 \h 4
\l "_Tc18286" 考点3 两点间的距离公式 PAGEREF _Tc18286 \h 4
\l "_Tc21594" 考点4 点到直线的距离公式 PAGEREF _Tc21594 \h 5
\l "_Tc16720" 考点5 两条平行直线间的距离公式 PAGEREF _Tc16720 \h 5
\l "_Tc11376" 考点6 与距离有关的最值问题 PAGEREF _Tc11376 \h 6
\l "_Tc19831" 三、 点、线间的对称关系 PAGEREF _Tc19831 \h 7
\l "_Tc6624" 基础知识 PAGEREF _Tc6624 \h 7
\l "_Tc25113" 考点7 直线关于点的对称问题 PAGEREF _Tc25113 \h 9
\l "_Tc3390" 考点8 点关于直线的对称问题 PAGEREF _Tc3390 \h 9
\l "_Tc7119" 考点9 直线关于直线的对称问题 PAGEREF _Tc7119 \h 10
\l "_Tc11724" 四、课后作业 PAGEREF _Tc11724 \h 11
\l "_Tc13747" 单选题 PAGEREF _Tc13747 \h 11
\l "_Tc16280" 多选题 PAGEREF _Tc16280 \h 12
\l "_Tc27533" 填空题 PAGEREF _Tc27533 \h 12
\l "_Tc16238" 解答题 PAGEREF _Tc16238 \h 12
一、 直线的交点坐标
基础知识
1．两条直线的交点坐标
(1)两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相
交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.
(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系
设两直线,直线.
考点1 求两直线的交点坐标
【例1.1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线2x−y+6=0与直线x+y=3的交点坐标是（ ）
A．(3，0)B．(−1,4)C．(−3,6)D．(4,−1)
【例1.2】（23-24高二上·四川泸州·阶段练习）若直线y=x+2k+1与直线y=−12x+2的交点在第一象限，则实数k的取值范围 （ ）
A．−52,12B．−25,12
C．−52,−12D．−52,12
【变式1.1】（23-24高二·全国·课后作业）若三条直线2x+y−4=0，x−y+1=0与ax−y+2=0共有两个交点，则实数a的值为（ ）
A．1B．-2C．1或-2D．-1
【变式1.2】（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（ ）
A．a≠−2B．a≠±1
C．a≠−2且a≠±1D．a≠−2且a≠1
考点2 经过两直线交点的直线方程
【例2.1】（23-24高二上·海南海口·期末）过两直线3x+y−1=0与x+2y−7=0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（ ）
A．3x+y−1=0B．3x+y+1=0
C．x−3y+13=0D．x−3y+6=0
【例2.2】（23-24高二上·四川雅安·期末）过直线l1:x−2y+4=0与直线l2:x+y+1=0的交点，且过原点的直线方程为（ ）
A．2x−y=0B．2x+y=0C．x−2y=0D．x+2y=0
【变式2.1】（23-24高二上·广东·阶段练习）已知直线l经过两条直线l1：x+y=2，l2：2x−y=1的交点，且l的一个方向向量为v=−3,2，则直线l的方程为（ ）
A．2x−3y+1=0B．2x+3y−5=0
C．3x−2y−5=0D．2x+3y−1=0
【变式2.2】（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）过直线3x−2y+3=0与x+y−4=0的交点，与直线2x+y−1=0平行的直线方程为（ ）
A．2x+y−5=0B．2x+y+1=0
C．x+2y−7=0D．x−2y+5=0
二、 距离公式
基础知识
1．两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式为.
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.
2．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点，一条直线为l：Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.
3．两条平行直线间的距离公式
(1)定义：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式：
设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.
4．中点坐标公式
公式：设平面上两点，线段的中点为，则.
考点3 两点间的距离公式
【例1.1】（23-24高二上·天津·期末）三角形的三个顶点为A3,−2,B3,4,C−5,4，D为AC中点，则BD的长为（ ）
A．3B．5C．9D．25
【例1.2】 （23-24高二·全国·课堂例题）已知点A3,3a+3与点Ba,3之间的距离为5，则实数a的值为（ ）
A．−1B．85C．−1或85D．1或−85
【变式1.1】（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）设点A,B在曲线y=lg2x上．若AB的中点坐标为(5,2)，则|AB|=（ ）
A．6B．210C．43D．45
【变式1.2】 （23-24高二上·海南·期中）在平面直角坐标系xOy中，原点O到直线l1：x−2y+4=0与l2：3x+y−9=0的交点的距离为（ ）
A．10B．23C．13D．15
考点4 点到直线的距离公式
【例2.1】（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知点A−2,1,B3,2,C7,−5，则点B到直线AC的距离为（ ）
A．132B．262C．13D．26
【例2.2】（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点A0,3及直线l:x+y−1=0上一点B，则AB的值不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2.1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）原点到直线l:λx+y−λ+1=0λ∈R的距离的最大值为（ ）
A．25B．225C．425D．2
【变式2.2】（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知A−2,0，B4,m两点到直线l：x−y+1=0的距离相等，则m=（ ）
A．−2B．6C．−2或4D．4或6
考点5 两条平行直线间的距离公式
【例3.1】（23-24高二上·福建三明·期末）两条平行线l1:x+2y−2=0，l2:ax+6y−9=0间的距离等于（ ）
A．55B．355C．5D．755
【例3.2】（23-24高二上·山东济宁·期末）已知直线l1:x−y+1=0与直线l2:2x+ay−2=0平行，则l1与l2之间的距离为（ ）
A．2B．2C．22D．322
【变式3.1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线3x−4y+6=0与直线3x−4y+m=0间的距离为2，则m=（ ）
A．−8或4B．4C．−4或6D．−4或16
【变式3.2】（23-24高二上·天津北辰·期末）若两平行直线x+2y+m=0m>0与x−ny−3=0之间的距离是5，则m+n=（ ）
A．−1B．0C．1D．10
考点6 与距离有关的最值问题
【例4.1】（22-23高二上·河南驻马店·期末）点D−2,−2到直线l:2x−y+mx−m=0m∈R距离的最大值为（ ）
A．5B．5C．22D．3
【例4.2】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：x−a2+y−b2可以转化为平面上点Mx,y与点Na,b的距离.结合上述观点，可得fx=x2+10x+26+x2+6x+13的最小值为（ ）
A．5B．29C．13D．2+13
【变式4.1】 （23-24高二下·重庆南岸·期中）已知直线l1：ax+y+1=0过定点P，则点P到直线l2：y=kx+1距离的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．2
【变式4.2】 （23-24高二上·天津和平·期末）设点P，Q分别为直线3x+4y−7=0与直线6x+8y+3=0上的任意一点，则PQ的最小值为（ ）
A．1B．2C．1710D．1110
三、 点、线间的对称关系
基础知识
1．点关于点的对称
2．直线关于点的对称
3．两点关于某直线对称
(4)几种特殊位置的对称：
4．直线关于直线的对称

考点7 直线关于点的对称问题
【例1.1】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）直线l:4x+3y−2=0关于点A1,1对称的直线方程为（ ）
A．4x＋3y－4＝0B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0D．4x－3y－12＝0
【例1.2】（23-24高二上·北京海淀·期中）点P(1,2)在直线l上，直线l1与l关于点(0,1)对称，则一定在直线l1上的点为（ ）
A．(12,32)B．(−1,32)C．(−1,0)D．(12,0)
【变式1.1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）直线ax+3y−9=0与直线x−3y+b=0关于原点对称，则a,b的值是
A．a=−1，b=−9B．a=−1，b=9
C．a=1，b=−9D．a=1，b=9
【变式1.2】（23-24高一下·内蒙古包头·期末）与直线3x−4y+5=0关于坐标原点对称的直线方程为（ ）
A．3x+4y−5=0B．3x+4y+5=0
C．3x−4y+5=0D．3x−4y−5=0
考点8 点关于直线的对称问题
【例2.1】（23-24高二上·广东佛山·期中）点2,1关于直线x−y+1=0对称的点的坐标为（ ）
A．−2,5B．0,3C．0,−1D．−1,2
【例2.2】（23-24高二上·浙江·阶段练习）一条光线从点P−1,5射出，经直线x−3y+1=0反射后经过点2,3，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A．2x−y−1=0B．x−2=0
C．3x−y−3=0D．4x−y−5=0
【变式2.1】（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线l：x−y=0，则点A−1,4关于l对称的点的坐标为（ ）
A．4,1B．4,−1C．−1,−4D．1,4
【变式2.2】（23-24高二上·河南·阶段练习）在△ABC中，已知A(1,1),B(−3,−5)，若直线m:2x+y+6=0为∠ACB的平分线，则直线AC的方程为（ ）
A．x−2y+1=0B．6x+7y−13=0
C．2x+3y−5=0D．x=1
考点9 直线关于直线的对称问题
【例3.1】（23-24高三上·广东·期末）直线x+2y+3=0关于直线y=−x对称的直线方程是（ ）
A．x+2y−3=0B．2x+y−3=0
C．x−2y−3=0D．2x+3y+3=0
【例3.2】（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知直线：l1:y=ax+3与l2关于直线y=x对称，l2与l3:x+2y−1=0平行，则a=（ ）
A．−12B．12C．−2D．2
【变式3.1】（23-24高三上·湖北·阶段练习）直线x+2y+3=0关于y轴对称的直线方程是（ ）
A．x+2y−3=0B．x−2y+3=0
C．x−2y−3=0D．3x+2y−1=0
【变式3.2】（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知直线l:x−y−1=0,l1:2x−y−2=0．若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是（ ）
A．x+y−1=0B．x+2y−1=0C．x−2y−1=0D．x−2y+1=0
四、课后作业
单选题
1．（23-24高二上·北京顺义·期末）若直线x−ay=0与直线2x+y−1=0的交点为1,y0，则实数a的值为（ ）
A．-1B．−12C．1D．2
2．（23-24高二·全国·课后作业）若直线l1:ax+y−4=0与直线l2:x−y−2=0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．−1,2B．−1,+∞C．−∞,2D．−∞,−1∪2,+∞
3．（23-24高二上·江西抚州·阶段练习）点0,1到直线kx+y+k=0的最大距离为（ ）
A．2B．3C．2D．1
4．（2024高三·全国·专题练习）若三条直线l1:4x+y=3,l2:mx+y=0,l3:x−my=2不能围成三角形，则实数m的取值最多有（ ）
A．2个B．3个
C．4个D．6个
5．（2024·全国·模拟预测）平行直线l1:2x+y−5=0与l2:x−by+5=0之间的距离为（ ）
A．5B．25C．35D．55
6．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知A−3,−4，B6,3两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等，求a的值（ ）
A．13B．−97C．−13或−79D．13或−79
7．（23-24高二上·全国·期末）点P1,2在直线l上，直线l1与l关于点0,1对称，则一定在直线l1上的点为（ ）
A．12,32B．−1,32C．−1,0D．（1，0）
8．（23-24高二上·湖南益阳·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点A2,0处出发，军营所在的位置为B2,3，河岸线所在直线的方程为y=3x+2，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．3B．4C．5D．6
多选题
9．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l1:3x+y−1=0与l2:x+2y−7=0，则下列说法正确的是（ ）
A．l1与l2的交点坐标是0,−1
B．过l1与l2的交点且与l1垂直的直线的方程为x−3y+13=0
C．l1，l2与x轴围成的三角形的面积是403
D．l1的倾斜角是锐角
10．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知直线l:y=x，点A0,−1，则（ ）
A．过点A与l平行的直线的方程为y=x−1
B．点A关于l对称的点的坐标为0,1
C．点A到直线l的距离为22
D．过点A与l垂直的直线的方程为y=−x−1
填空题
11．（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知点A3,3a+3与点Ba,3之间的距离为5，则实数a的值为 ．
12．（23-24高二上·江西新余·开学考试）光线从A(1,2)射向x轴上一点B，又从B反射到直线x−y+3=0上一点C，最后从点C反射回到点A，则BC所在的直线方程为 ．
解答题
13．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线y=2x+3与3x−y+2=0的交点，且分别满足下列条件的直线方程.
(1)过点P2,3；
(2)平行于直线3x+y−1=0.
14．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）已知直线l1:ax−2y+2=0和直线l2:x+(a−3)y+1=0.
(1)试判断l1，l2能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离；
(2)若原点到l2距离最大，求此时的直线l2的方程.
15．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线l:y=3x+7，试求：
(1)点P2,5关于直线l的对称点的坐标；
(2)直线y=x+3关于直线l对称的直线方程；
(3)直线l关于点A4,2对称的直线方程．
16．（23-24高二上·全国·课后作业）已知两直线l1:x−2y+4=0,l2:4x+3y+5=0
(1)若直线ax+2y−6=0与l1,l2可组成三角形，求实数a满足的条件；
(2)设A(−1,−2)，若直线l过l1与l2的交点P，且点A到直线l的距离等于1，求直线l的方程.
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1和l2的公共点个数
一个
无数个
零个
直线l1和l2的位置关系
相交
重合
平行
点
对称轴
对称点坐标
P(a,b)
x轴
(a,-b)
y轴
(-a,b)
y=x
(b,a)
y=-x
(-b,-a)
x=m(m≠0)
(2m-a,b)
y=n(n≠0)
(a,2n-b)