高一升高二数学暑假预习课16讲第08讲 直线的方程（一）：直线方程的几种形式与8考点精讲（解析版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第08讲 直线的方程（一）：直线方程的几种形式与8考点精讲（解析版），共26页。学案主要包含了 直线的点斜式， 直线的两点式等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc14767" 第08讲 直线的方程（一）：直线方程的几种形式 PAGEREF _Tc14767 \h 1
\l "_Tc16390" 一、 直线的点斜式、斜截式方程 PAGEREF _Tc16390 \h 2
\l "_Tc31131" 基础知识 PAGEREF _Tc31131 \h 2
\l "_Tc18881" 考点1 点斜式方程 PAGEREF _Tc18881 \h 2
\l "_Tc31376" 考点2 斜截式方程 PAGEREF _Tc31376 \h 4
\l "_Tc31890" 二、 直线的两点式、截距式方程 PAGEREF _Tc31890 \h 6
\l "_Tc4268" 基础知识 PAGEREF _Tc4268 \h 6
\l "_Tc16295" 考点3 两点式方程 PAGEREF _Tc16295 \h 7
\l "_Tc976" 考点4 截距式方程 PAGEREF _Tc976 \h 8
\l "_Tc19261" 三、 直线的一般式方程 PAGEREF _Tc19261 \h 10
\l "_Tc25517" 基础知识 PAGEREF _Tc25517 \h 10
\l "_Tc3813" 考点5 一般式方程 PAGEREF _Tc3813 \h 11
\l "_Tc11673" 考点6 直线一般式方程与其他形式之间的互化 PAGEREF _Tc11673 \h 13
\l "_Tc13977" 四、 方向向量与直线的参数方程 PAGEREF _Tc13977 \h 16
\l "_Tc22962" 基础知识 PAGEREF _Tc22962 \h 16
\l "_Tc11722" 考点7 求解直线的方向向量 PAGEREF _Tc11722 \h 16
\l "_Tc21070" 考点8 由直线的方向向量求直线方程 PAGEREF _Tc21070 \h 18
\l "_Tc14222" 五、 课后作业 PAGEREF _Tc14222 \h 20
\l "_Tc12244" 单选题 PAGEREF _Tc12244 \h 20
\l "_Tc11675" 多选题 PAGEREF _Tc11675 \h 22
\l "_Tc9327" 填空题 PAGEREF _Tc9327 \h 24
\l "_Tc17325" 解答题 PAGEREF _Tc17325 \h 24
一、 直线的点斜式、斜截式方程
基础知识
1．直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程的定义：
设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.
(2)点斜式方程的使用方法：
①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.
2．直线的斜截式方程
(1)直线的斜截式方程的定义：
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
(2)斜截式方程的使用方法：
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.
考点1 点斜式方程
【例1.1】（23-24高二上·河南郑州·期末）过点P2,−1，且倾斜角为90°的直线方程为（ ）
A．y=−1B．x=2C．y=2D．x=−1
【解题思路】倾斜角为90°的直线斜率不存在，可解.
【解答过程】过点P2,−1，且倾斜角为90°的直线垂直于x轴，
其方程为x=2.
故选：B．
【例1.2】（23-24高二上·四川达州·期末）经过点P2，2且倾斜角为π4的直线方程是（ ）
A．y=xB．y=x−2C．y=−x+4D．y=x+2
【解题思路】求出直线斜率，利用点斜式求出直线方程，得到答案.
【解答过程】直线斜率k=tanπ4=1，故直线方程为y−2=x−2，即y=x.
故选：A.
【变式1.1】（23-24高二上·甘肃白银·期末）若直线l过点1,3且与斜率为4的直线垂直，则直线l的方程为（ ）
A．x+4y−13=0B．4x−y−1=0
C．x+4y−8=0D．4x−y−15=0
【解题思路】根据直线垂直的斜率关系求出斜率，然后可得直线方程.
【解答过程】因为直线l与斜率为4的直线垂直，
所以直线l的斜率为−14，
又直线l过点1,3，
所以直线l的方程为y−3=−14x−1，即x+4y−13=0．
故选：A.
【变式1.2】（23-24高二上·山东东营·期末）经过点(1,0)，倾斜角为150°的直线方程是（ ）
A．y=−3x+1B．y=−33x+1C．y=−33x+33D．y=−33x−33
【解题思路】根据直线倾斜角和斜率关系可求得斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得结果.
【解答过程】由倾斜角为150°可得，直线斜率为k=tan150∘=−33
由直线的点斜式方程得直线方程为y−0=−33(x−1)；
即y=−33x+33.
故选：C.
考点2 斜截式方程
【例2.1】（23-24高二上·重庆南岸·期中）经过点A2,3，且倾斜角为π4的直线的斜截式方程为（ ）
A．y=x+1B．y=x−1C．y=−x−1D．y=−x+1
【解题思路】根据倾斜角求出斜率，写出点斜式方程，化为斜截式可得答案.
【解答过程】斜率k=tanπ4=1，
点斜式方程为y−3=x−2，
斜截式方程为y=x+1.
故选：A.
【例2.2】（23-24高二·全国·课后作业）下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（ ）
A．x＝3B．y＝－5
C．2y＝xD．x＝4y－1
【解题思路】根据直线的斜截式方程的知识确定正确选项.
【解答过程】直线的斜截式方程为y=kx+b，
所以B选项y=−5是斜截式方程，ACD选项不是斜截式方程.
故选：B.
【变式2.1】（23-24高二上·全国·课后作业）与直线y=−x+2垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（ ）.
A．y=x+2B．y=x−2
C．y=−x+2D．y=−x+4
【解题思路】首先根据垂直关系确定所求直线的斜率，设出直线方程后再根据横截距确定与x轴的交点坐标，进而求得待定系数b，确定答案.
【解答过程】因为所求的直线与直线y=−x+2垂直，所以k×−1=−1，得k=1.
设所求直线为y=x+b,又因为所求直线在x轴上的截距为2即过点2,0，
求得b=−2,所以所求直线的斜截式方程为y=x−2，
故选：B.
【变式2.2】（23-24高二上·四川南充·开学考试）与直线2x−y−1=0垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（ ）
A．y=−12x+4
B．y=−12x+4或y=−12x−4
C．y=12x+4
D．y=12x+4或y=12x−4
【解题思路】将直线2x−y−1=0化为斜截式方程，可得出斜率k=2，从而得与直线2x−y−1=0垂直的直线斜率，再根据所求直线在y轴上的截距为4，即可得出所求直线的斜截式方程.
【解答过程】解：由于直线2x−y−1=0，即y=2x−1，可知斜率k=2，
则与直线2x−y−1=0垂直的直线斜率为k=−12，
由于所求直线在y轴上的截距为4，
则所求直线的斜截式方程是y=−12x+4.
故选：A.
二、 直线的两点式、截距式方程
基础知识
1．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义：
设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程.
(2)两点式方程的使用方法：
①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当时，直线方程为 (或).
③当时，直线方程为 (或).
2．直线的截距式方程
(1)直线的截距式方程的定义：
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.
(2)直线的截距式方程的适用范围：
选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示
过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.
②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的
坐标求解k，得到直线方程.
考点3 两点式方程
【例1.1】（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（ ）
A．y=kx+bB．y−y0=kx−2x0
C．xa+y2b=1D．y−y1y2−y1=x−x1x2−x1x1≠x2,y1≠y2
【解题思路】
利用直线方程的相应形式对各个选项逐个判断即可.
【解答过程】对于选项A：y=kx+b是斜截式方程，故A错误；
对于选项B：y−y0=kx−2x0是点斜式方程，故B错误；
对于选项C：xa+y2b=1是截距式方程，故C错误；
对于选项D：y−y1y2−y1=x−x1x2−x1x1≠x2,y1≠y2是两点式方程，故D正确；
故选：D.
【例1.2】（22-23高二上·浙江温州·期末）过两点A3,−5，B−5,5的直线在y轴上的截距为（ ）
A．−54B．54C．−25D．25
【解题思路】由两点式得出直线方程，令x=0，即可解出直线在y轴上的截距.
【解答过程】过两点A3,−5，B−5,5的直线的为y+55+5=x−3−5−3，
令x=0，解得：y=−54，
故选：A.
【变式1.1】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）过1,2，5,3的直线方程是（ ）
A．y−25−1=x−13−1B．y−23−2=x−15−1C．y−15−1=x−35−3D．x−25−2=y−32−3
【解题思路】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可
【解答过程】因为所求直线过点1,2，5,3，
所以y−2x−1=3−25−1，即y−23−2=x−15−1.
故选：B.
【变式1.2】（23-24高二·全国·课后作业）经过两点x1,y1、x2,y2的直线方程都可以表示为（ ）
A．x−x1x2−x1=y−y1y2−y1B．x−x2x1−x2=y−y2y1−y2
C．y−y1x2−x1=x−x1y2−y1D．y−y1=y2−y1x2−x1x−x1
【解题思路】根据两点式直线方程即可求解.
【解答过程】当经过x1,y1、x2,y2的直线不与x,y轴平行时，所有直线均可以用x−x2x1−x2=y−y2y1−y2，
由于x1,x2可能相等，所以只有选项C满足包括与x,y轴平行的直线.
故选:C.
考点4 截距式方程
【例2.1】（23-24高二上·山西太原·期末）直线y=4x+2在x轴和y轴上的截距分别为（ ）
A．12，2B．−12，2C．12，−2D．−12，−2
【解题思路】利用横纵截距的意义求解即得.
【解答过程】直线y=4x+2，当y=0时，x=−12，当x=0时，y=2，
所以直线y=4x+2在x轴和y轴上的截距分别为−12，2.
故选：B.
【例2.2】（23-24高二上·北京顺义·期中）过点A1,2的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．x−y+3=0B．x+y−3=0
C．2x−y=0或x−y+1=0D．2x+y=0或x+y+1=0
【解题思路】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.
【解答过程】当直线过原点时，方程为y=2x，即2x−y=0，
当直线不过原点时，设直线方程为xa+y−a=1，
则1a+2−a=1，解得a=−1，
所以直线方程为x−y+1=0，
综上所求直线方程为2x−y=0或x−y+1=0.
故选：C.
【变式2.1】 （23-24高二上·天津和平·期中）经过点1,3且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A．x+y=4B．y=x+2
C．y=3x或x+y=4D．y=3x或y=x+2
【解题思路】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式方程即可得解.
【解答过程】当直线过原点时，方程为y=3x，符合题意，
当直线不过原点时，设直线方程为xa+y−a=1，
则1a+3−a=1，解得a=−2，
所以直线方程为y=x+2，
综上，所求直线的方程为y=3x或y=x+2.
故选：D.
【变式2.2】（22-23高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线l过A−2,1，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线l的方程是（ ）．
A．x+2y=0或x−y+3=0B．x−y−1=0或x−y+3=0
C．x−y−1=0或x+y−3=0D．x+2y=0或x+y−3=0
【解题思路】根据直线在两坐标轴上的截距为相反数，可以分两种情况来讨论，两坐标轴上的截距都为0时和两坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，即可求解.
【解答过程】
（1）当坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，设直线方程为y=kx
把点−2,1代入求出k=−12，即直线方程为x+2y=0
（2）当坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为xa+y−a=1，
把点−2,1代入求出a=−3，即直线方程为x−y+3=0
综上，直线方程为x+2y=0或x−y+3=0
故选：A.
三、 直线的一般式方程
基础知识
1．直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程的定义：
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)：
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.
(2)一般式方程的使用方法：
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.
2．辨析直线方程的五种形式
考点5 一般式方程
【例1.1】（2024高二上·全国·专题练习）过点(−3,0)和(0,4)，的直线的一般式方程为（ ）
A．4x+3y+12=0B．4x+3y−12=0
C．4x−3y+12=0D．4x−3y−12=0
【解题思路】根据题意，利用直线的截距式方程求得直线的方程，再化为一般式方程，即可求解.
【解答过程】由直线过点(−3,0)和(0,4)，可得直线的截距式得直线方程为x−3+y4=1，
整理得4x−3y+12=0，即直线的一般式方程为4x−3y+12=0.
故选：C.
【例1.2】（21-22高二上·北京通州·期中）已知直线l经过点A(1，1)，且斜率为2，则直线l的一般式方程为（ ）
A．y−1=2(x−1)B．y=2x−1C．2x−y−1=0D．x−2y+1=0
【解题思路】利用直线的点斜式方程写出方程，再化成一般式即可.
【解答过程】 因直线l经过点A(1，1)，且斜率为2，则直线l方程为：y−1=2(x−1)，化简得：2x−y−1=0，
所以直线l的一般式方程为2x−y−1=0.
故选：C.
【变式1.1】（2024高二上·全国·专题练习）根据下列条件求直线的一般式方程．
(1)直线的斜率为2，且经过点A1,3；
(2)斜率为3，且在y轴上的截距为4；
(3)经过两点A2,−3, B−1,−5；
(4)在x,y轴上的截距分别为2,−4．
【解题思路】
（1）先由点斜式求方程，再化为一般式；
（2）先求斜截式方程，再化为一般式；
（3）先求直线的两点式方程，再化为一般式；
（4）先求直线的截距式方程，再化为一般式.
【解答过程】
（1）因为k=2，且经过点A1,3，
由直线的点斜式方程可得y−3=2x−1，
整理可得直线的一般式方程为2x−y+1=0．
（2）由直线的斜率k=3，且在y轴上的截距为4
得直线的斜截式方程为y=3x+4．
整理可得直线的一般式方程为3x−y+4=0．
（3）由直线的两点式方程可得y+3−5+3=x−2−1−2，
整理得直线的一般式方程为2x−3y−13=0
（4）由直线的截距式方程可得x2+y−4=1，
整理得直线的一般式方程为2x−y−4=0.
【变式1.2】（23-24高二上·湖北·期中）求分别满足下列条件的直线l的一般式方程．
(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；
(2)经过点4,−3，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
【解题思路】
（1）设出直线方程，得到与两坐标轴的交点坐标，根据面积列出方程，求出答案；
（2）分截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程.
【解答过程】
（1）设直线l的方程为y=34x+b．
令x=0，得y=b．令y=0，得x=−43b，
∴12b⋅−43b=6，解得b=±3．
∴直线l的方程为y=34x±3，化为一般式为3x−4y±12=0．
（2）设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a,b．
当a≠0,b≠0时，直线l的方程为xa+yb=1．
∵直线过点4,−3，
∴4a−3b=1，
又∵a=b，
故4a−3b=1a=±b，解得a=1b=1或a=7b=−7
∴直线l的方程为x+y−1=0或x−y−7=0；
当a=b=0时，设直线方程为y=kx，
直线l过原点且过点4,−3，故4k=−3，解得k=−34，
∴直线l的方程为y=−34x．
综上所述，直线l的方程为x+y−1=0或x−y−7=0或3x+4y=0．
考点6 直线一般式方程与其他形式之间的互化
【例2.1】（23-24高二上·安徽淮北·期中）根据条件写出下列直线的方程，并化成一般式：
(1)直线的斜率为2，在y轴上的截距是−5；
(2)直线的倾斜角是直线y=−3x+1的倾斜角的一半，且过点−3,2．
【解题思路】
（1）利用斜截式方程求解即可；
（2）根据倾斜角的关系求出直线斜率，再将−3,2代入即可求解.
【解答过程】
（1）因为直线斜率为2，在y轴上的截距是−5，
所以由斜截式可得直线方程为y=2x−5，整理得2x−y−5=0.
（2）因为直线y=−3x+1的斜率为−3，
所以直线y=−3x+1的倾斜角为120°，
所以由题意得所求直线的倾斜角为60°，则斜率k=tan60°=3，
设所求直线为y=3x+c，将−3,2代入可得2=3×−3+c，解得c=5，
所以所求直线方程为y=3x+5，整理得3x−y+5=0．
【例2.2】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）求分别满足下列条件的直线l的方程，化成一般形式.
(1)经过点B−2,0，且与x轴垂直；
(2)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(3)经过C−1,5，D2,−1两点.
【解题思路】
（1）根据条件直接写出直线方程即可.
（2）由条件利用斜截式求直线的方程，并化为一般式.
（3）由条件利用两点式求直线的方程，并化为一般式.
【解答过程】
（1）因为直线经过点B−2,0，且与x轴垂直，
则直线方程为x=−2，即x+2=0.
（2）由题直线斜率为－4，在y轴上的截距为7，
由直线斜截式方程，得y=−4x+7，化成一般式为4x+y−7=0.
（3）由题直线经过C−1,5，D2,−1两点，
由直线两点式方程得y−5−1−5=x−−12−−1，整理得2x+y−3=0.
【变式2.1】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）根据下列条件，写出下列直线方程的一般式：
(1)经过点(0,2)，且倾斜角为π3
(2)经过点(1,2)，且一个方向向量为v=(1,3)
(3)在△ABC中，点A(8,4),B(4,−1),C(−6,3)，求BC边上中线所在直线的方程
【解题思路】
（1）求出直线的斜率，利用直线的斜截式方程求解即得.
（2）利用直线的点斜式方程求解即得.
（3）求出BC的中点坐标。进而求出斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.
【解答过程】
（1）直线倾斜角为π3，则该直线的斜率k=tanπ3=3，直线方程为y=3x+2，
所以所求直线方程为3x−y+2=0.
（2）由直线的一个方向向量为v=(1,3)，得该直线斜率为3，方程为y−2=3(x−1)，
所以所求直线方程为3x−y+2−3=0.
（3）由点A(8,4),B(4,−1),C(−6,3)，得边BC的中点为(−1,1)，
BC边上中线所在直线的斜率为4−18−(−1)=13，该直线方程为y−1=13(x+1)，
所以BC边上中线所在直线的方程为x−3y+4=0.
【变式2.2】（2024高二·全国·专题练习）（1）已知直线l的一般式方程为2x−3y+6=0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距；
（2）根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式.
①斜率是−12，经过点A8,−2；
②经过点B4,2，平行于x轴；
③在x轴和y轴上的截距分别是32，−3；
④经过两点P13,−2,P25,−4
【解题思路】
（1）把直线方程化为斜截式及截距式，即可得到斜率及截距；
（2）分情况根据直线方程的形式，直接写出直线方程并化为一般式即可.
【解答过程】
（1）由l的一般式方程2x−3y+6=0得斜截式方程为：y=23x+2，
截距式方程为：x−3+y2=1，
由此可知，直线的斜率为23，
在x轴、y轴上的截距分别为－3，2.
（2）①由点斜式得y−−2=−12x−8，
化为一般式为：x+2y−4=0.
②由斜截式得y=2，
化为一般式为：y−2=0.
③由截距式得x32+y−3=1，
化为一般式为：2x−y−3=0.
④由两点式得y−−2−4−−2=x−35−3,
化为一般式为：x+y−1=0.
四、 方向向量与直线的参数方程
基础知识
1．方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.
如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以
①.
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.
由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确
定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.
考点7 求解直线的方向向量
【例1.1】（23-24高二上·四川绵阳·期末）直线2x−3y+1=0的一个方向向量是（ ）
A．3,2B．2,3C．3,−2D．2,−3
【解题思路】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量a，再求与a共线的向量即可.
【解答过程】直线2x−3y+1=0的斜率为k=23，则直线2x−3y+1=0的一个方向向量a=1,23，
对于A，因3×23−1×2=0，即向量(3,2)与1,23共线，A是；
对于B，因2×23−1×3≠0，即向量2,3与1,23不共线，B不是；
对于C，因3×23−1×−2≠0，即向量3,−2与1,23不共线，C不是；
对于D，因2×23−1×−3≠0，即向量2,−3与1,23不共线，D不是.
故选：A.
【例1.2】（23-24高三上·江西·阶段练习）已知直线3x+2y−1=0的一个方向向量为v=1,m，则m的值为（ ）
A．233B．−233C．32D．−32
【解题思路】根据方向向量和斜率的知识求得正确答案.
【解答过程】直线3x+2y−1=0的斜率为−32，
所以m1=m=−32.
故选：D.
【变式1.1】（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）直线2x+y+2=0的一个方向向量为（ ）
A．(1,−2)B．0,−2C．1,2D．2,1
【解题思路】根据直线的一般式与斜率的关系结合方向向量的定义求解.
【解答过程】因为直线2x+y+2=0的斜率为k=−2，
对A，−21=−2，A正确；
对B，方向向量为0,−2的直线斜率不存在，B错误；
对C，21=2≠−2，C错误；
对D，12≠−2，D错误；
故选:A.
【变式1.2】（23-24高二上·四川自贡·期末）已知直线l的方程为3x+3y+1=0，则下列说法正确的是（ ）
A．倾斜角为120°B．倾斜角为150°
C．方向向量可以为−3,1D．方向向量可以为33,−3
【解题思路】求出直线的斜率，然后可计算出倾斜角，由此可判断AB；根据方向向量可求直线斜率，由此可判断CD.
【解答过程】因为斜率k=−33=−3，令tanθ=−3θ∈0,π，则θ=120°，故A正确，B错误；
方向向量为−3,1时，斜率k1=−13=−33，故C错误；
方向向量为33,−3时，斜率k2=−333=−33，故D错误；
故选：A.
考点8 由直线的方向向量求直线方程
【例2.1】（2023高三·全国·专题练习）过点A1,4的直线的方向向量为m=1,2，则该直线方程为（ ）
A．2x−y+2=0B．2x+y−6=0
C．x−2y+7=0D．x+y−5=0
【解题思路】由直线的斜率和方向向量之间的关系即可求解.
【解答过程】不妨设点Px,y为直线上异于点A1,4的任意一点，
则由直线的斜率和方向向量之间的关系可知kPA=y−4x−1=21，
整理得2x−y+2=0，因此满足题意的直线方程为2x−y+2=0.
故选：A.
【例2.2】（23-24高二上·浙江·期中）已知直线l的一个方向向量n=−1,2，且过点−1,2，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y=0B．x−2y+5=0C．x+2y−3=0D．2x−y+4=0
【解题思路】
先根据直线的方向向量求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出直线方程.
【解答过程】
因为直线l的一个方向向量n=−1,2，所以直线l的斜率为−2，
又直线经过点−1,2，所以直线l的方程为y−2=−2x+1，即2x+y=0.
故选：A.
【变式2.1】（23-24高二下·河南·开学考试）已知经过点2,−1的直线l的一个方向向量为1,2，则l的方程为（ ）
A．x−2y−4=0B．2x−y−5=0
C．x+2y=0D．2x+y−3=0
【解题思路】根据直线的方向向量的概念求出直线的斜率，再用点斜式求直线的方程.
【解答过程】因为l的一个方向向量为1,2，所以设l的斜率为2，由点斜式得：直线方程为：y+1=2x−2 ⇒ 2x−y−5=0.
故选：B.
【变式2.2】（22-23高二上·山西运城·阶段练习）已知直线l：2m+1x+m+1y+m=0经过定点P，直线l′经过点P，且l′的方向向量a=3,2，则直线l′的方程为（ ）
A．2x−3y+5=0B．2x−3y−5=0
C．3x−2y+5=0D．3x−2y−5=0
【解题思路】直线l方程变为x+y+m2x+y+1=0，可得定点P −1,1.根据l'的方向向量a=3,2，可得斜率为23，代入点斜式方程，化简为一般式即可.
【解答过程】2m+1x+m+1y+m=0可变形为x+y+m2x+y+1=0，
解x+y=02x+y+1=0得x=−1y=1，即P点坐标为−1,1.
因为a=3,2=31,23，所以直线l′的斜率为23，又l′过点P −1,1，
代入点斜式方程可得y−1=23x+1，整理可得2x−3y+5=0.
故选：A.
五、 课后作业
单选题
1．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）过点M1,2且倾斜角为45°的直线方程为（ ）
A．y=x−1B．y=x+1C．y=−x+3D．y=−x−1
【解题思路】由题意知直线斜率为1，根据点斜式即可写出直线方程化简即可得解.
【解答过程】过点M1,2，且倾斜角为45°的直线斜率为1，则y−2=x−1，即y=x+1．
故选：B．
2．（23-24高二上·山西大同·期末）直线l过点A4,5，B1,−1，则直线l在y轴上的截距是（ ）
A．32B．3C．−32D．−3
【解题思路】求出直线l的方程，令x=0可解.
【解答过程】由题可得直线l的斜率k=−1−51−4=2，
再由点斜式方程可得y−5=2x−4，
化简可得y=2x−3，令x=0，
则直线l在y轴上的截距为−3．
故选：D．
3．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系xOy中，直线x4−y8=1在y轴上的截距为（ ）
A．−8B．8C．−18D．18
【解题思路】对直线方程，令x=0，即可求得结果.
【解答过程】对方程x4−y8=1，令x=0，解得y=−8；
故直线x4−y8=1在y轴上的截距为−8.
故选：A.
4．（2024高二·全国·专题练习）经过两点x1,y1,x2,y2的直线方程都可以表示为（ ）
A．x−x1x2−x1＝y−y1y2−y1
B．x−x2x1−x2＝y−y2y1−y2
C．y−y1x2−x1=x−x1y2−y1
D．y−y1x−x1＝y2−y1x2−x1
【解题思路】利用直线方程的两点式即可得出.
【解答过程】当x1≠x2,y1≠y2时，由两点式可得直线方程为：y−y1y2−y1＝x−x1x2−x1，
化为：y−y1x2−x1=x−x1y2−y1，
对于x1=x2或y1=y2时上述方程也成立，
因此直线方程为：y−y1x2−x1=x−x1y2−y1.
故选：C.
5．（23-24高二下·河南·阶段练习）过原点且与直线2x+y−1=0垂直的直线方程为（ ）
A．y=2xB．y=−2x
C．y=12xD．y=−12x
【解题思路】根据直线垂直的斜率关系确定垂线斜率，从而得直线方程.
【解答过程】直线2x+y−1=0的斜率为−2，与直线2x+y−1=0垂直的直线斜率为12，
又直线过原点，故其方程为y=12x.
故选：C.
6．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知经过点3,1的直线l的一个方向向量为3,2，则l的方程为（ ）
A．3x+2y−11=0B．2x−3y−3=0
C．2x+3y−9=0D．3x−2y−7=0
【解题思路】
由题意得QP与3,2共线，P为直线l上的点，且不与Q3,1重合，由此即可得解.
【解答过程】设直线l上任意与点Q3,1不重合的一点为Px,y，由题意有QP与3,2共线，
所以y−1x−3=23，整理得l的方程为2x−3y−3=0x≠3，
又点Q3,1在直线l上，且点Q3,1满足方程2x−3y−3=0，
综上所述，l的方程为2x−3y−3=0.
故选：B.
7．（23-24高二上·广东佛山·期末）斜率为−34，且经过点1,−1的直线方程为（ ）
A．3x+4y−1=0B．3x+4y+1=0
C．3x−4y−7=0D．3x−4y−1=0
【解题思路】由直线的点斜式方程求解即可得出答案.
【解答过程】由点斜式方程可得y+1=−34x−1，
化简可得：3x+4y+1=0.
故选：B.
8．（2023高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线5x+12y−1=0倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（ ）
A．5x+y−10=0 B．y=−15x+1
C．x−2+y10=1D．5x−y−1=0
【解题思路】根据正切的二倍角公式，结合三角形面积公式进行求解即可.
【解答过程】5x+12y−1=0⇒y=−512x+15，
所以直线5x+12y−1=0的斜率为负值，因此直线5x+12y−1=0的倾斜角为钝角，
设直线l的倾斜角为α，则α∈(0,π2).
因为tan2α=2tanα1−tan2α=−512，所以tanα=5或tanα=−15(舍去).
设直线l的方程为y=5x+t，则直线l与坐标轴的交点分别为(−t5,0)，(0,t)，
由12|−t5|⋅|t|=10，得t=±10，
故直线l的方程可能是y=5x±10.，显然ABD不符合，
y=5x±10⇒ x−2+y10=1，或x2+y−10=1，
故选：C.
多选题
9．（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列说法正确的是（ ）
A．直线x−y−2=0的倾斜角为π4
B．直线x−y−2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
C．过点1,4的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程为x−y+3=0
D．过1,4、x0,y0两点的直线方程为y−4y0−4=x−1x0−1
【解题思路】求出直线的斜率判断A；求出直线的横纵截距计算判断B；举例说明判断CD.
【解答过程】对于A，直线x−y−2=0的斜率为k=1，其倾斜角为π4，A正确；
对于B，直线x−y−2=0交x,y轴分别于点(2,0),(0,−2)，
该直线与坐标轴围成三角形面积为S=12×2×2=2，B正确；
对于C，过点1,4与原点(0,0)的直线y=4x在两坐标轴上的截距都为0，符合题意，
即过点1,4且在两坐标轴上的截距之和为0的直线可以是直线y=4x，C错误；
对于D，当x0=1,y0≠4时的直线或当y0=4,x0≠1时的直线方程不能用y−4y0−4=x−1x0−1表示出，D错误.
故选：AB.
10．（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．经过点P（－2，5），且斜率为－34的直线的方程是3x－4y＋26＝0
B．过点M（－3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为x－y＋8＝0
C．过点（x1，y1），（x2，y2）的直线的方程为（y－y1）（x2－x1）＝（y2－y1）（x－x1）
D．任意一条不过点（0，2）的直线均可用方程mx＋n（y－2）＝1形式表示
【解题思路】根据题意，逐项分析判断，即可得出结果.
【解答过程】A选项，由点斜式，得所求直线方程是y－5＝－（x＋2），即3x＋4y－14＝0，错误．
B选项，①当过原点时，直线方程为y＝－x；②当不过原点时，设直线方程为＋＝1，即x－y＝a，代入点（－3，5），得a＝－8，即直线方程为y＝－x或x－y＋8＝0，错误．
C选项，若直线的斜率不存在，即x1＝x2，且y1≠y2，则直线方程为x＝x1，若直线的斜率存在，则x1≠x2，则直线方程为y－y1＝（x－x1），即（y－y1）（x2－x1）＝（y2－y1）（x－x1），且x＝x1，也满足该方程，C正确．
D选项，当方程mx＋n（y－2）＝1中的x＝0，y＝2时，0＝1，不成立，则该直线不过点（0，2），D正确．
故选：CD.
填空题
11．（23-24高三下·浙江·阶段练习）直线3x−4y+3=0的一个方向向量是 1,34（答案不唯一） .
【解题思路】由直线方向向量的定义求解.
【解答过程】因为直线3x−4y+3=0的斜率为34，所以直线3x−4y+3=0的一个方向向量是1,34.
故答案为：1,34（答案不唯一）.
12．（2024高三·全国·专题练习）若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为 x＋3y－3＝0 ．
【解题思路】根据题意，进行求解即可.
【解答过程】（解法1）在直线上取点（1，0），其绕原点按逆时针方向旋转90°后得到点（0，1），按逆时针方向旋转90°，倾斜角增加90°，故所得直线斜率为－13，从而所求直线方程为x＋3y－3＝0.
（解法2）在直线上取两点（1，0）和（0，－3），它们绕原点按逆时针方向旋转90°后分别得到点（0，1）和（3，0），进而可得所求直线方程为x＋3y－3＝0.
故答案为：x＋3y－3＝0.
解答题
13．（2024高二上·全国·专题练习）将直线的方程x−2y+6=0作如下转换：
(1)化成斜截式，并指出它们的斜率与在y轴上的截距．
(2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距．
【解题思路】
（1）根据题意，化简得到直线的斜截式方程，并求得斜率和截距；
（2）根据题意，化简得到直线的截距式方程，进而求得坐标轴上的截距.
【解答过程】
（1）解：将原方程移项，可得2y=x+6，可得直线的截距式方程为y=12x+3，
则直线的斜率为k=12，在y轴上的截距为3.
（2）解：将原方程化简为x−2y=−6，可得直线的截距式方程为x−6+y3=1，
所以直线在x轴和y轴上的截距分别为−6,3.
14．（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知两点A−1,2,B1,0．
(1)求直线AB的斜率k和倾斜角θ；
(2)求直线AB在x轴上的截距．
【解题思路】
（1）根据题意，由直线的斜率公式计算可得k的值，进而分析可得答案；
（2）根据题意，由（1）的结论求出直线的方程，据此分析可得答案．
【解答过程】
（1）根据题意，直线AB的斜率为k，倾斜角为θ，
由两点A−1,2,B1,0，得斜率k=0−21−−1=−1，
则tanθ=−1，即θ=135°．
（2）由（1）知，直线AB的斜率k=−1，则其方程为y=−x−1，
即y=−x+1，令y=0，则x=1,∴直线AB在x轴上的截距为1．
15．（23-24高二上·全国·课后作业）求下列直线的方程．
(1)经过点2,1，且一个法向量为v=2,−3；
(2)经过点2,−3，且一个方向向量为a=2,4.
【解题思路】
（1）先根据法向量设出直线的一般方程代入求参即可；
（2）先根据方向向量求出斜率，再点斜式写出直线方程化简为一般式即可.
【解答过程】
（1）∵直线的一个法向量为v=2,−3，∴设直线的一般式方程为2x−3y+C=0，代入点2,1得4−3+C=0，解得C=−1，∴直线的方程为2x−3y−1=0.
（2）∵直线的一个方向向量为a=2,4，∴k=42=2，
故所求直线方程为y+3=2x−2，
即2x−y−7=0.
16．（23-24高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程：
(1)经过点A−2,3，斜率为3；
(2)经过点B3,0，倾斜角是π6；
(3)经过点C−4,−2，倾斜角是2π3．
【解题思路】
（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果；
（2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可；
（3）利用倾斜角是2π3可得直线斜率为−3，代入点斜式方程求出结果；
【解答过程】
（1）由题意可知，将A−2,3和斜率3直接代入直线点斜式方程y−y0=kx−x0可得，
直线的点斜式方程为y−3=3x+2；
（2）由倾斜角是π6可得直线斜率k=tanπ6=33，
将B3,0代入点斜式方程即为y−0=33x−3
（3）由倾斜角是2π3可得直线斜率k=tan2π3=−3，
将C−4,−2代入点斜式方程即为y+2=−3x+4.
方程形式
直线方程
局限性
选择条件
点斜式
不能表示与x轴垂直的直线
①已知斜率；②已知
一点
斜截式
y=kx+b
不能表示与x轴垂直的直线
①已知在y轴上的截距；②已知斜率
两点式
不能表示与x轴、
y轴垂直的直线
①已知两个定点；②已知两个截距
截距式
不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线
①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积
一般式
Ax+By+C=0
(A,B不全为0)
表示所有的直线
求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程