湘美版三年级上册提课时训练

这是一份湘美版三年级上册提课时训练，共41页。试卷主要包含了5b=5，等内容，欢迎下载使用。
知识点
待定系数法求一次函数表达式
◆1、定义：先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.
◆2、待定系数法求一次函数表达式一般步骤：
设：设一次函数的一般形式y＝kx+b；
（2）列：把图象上的点 (x1，y1)，(x2，y2) 代入一次函数的解析式，组成二元一次方程组；
（3）解：解二元一次方程组得 k，b ；
（4）还原：把 k，b 的值代入一次函数的解析式．
【注意】求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
题型一 已知两点确定函数解析式
1．（2023秋•锡山区校级月考）一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，1），B（2，﹣1）两点，则这个函数的表达式为 ．
【分析】用待定系数法，把A（1，1），B（2，﹣1）两点代入y＝kx+b，得到关于k，b的方程组，解方程组即可得到一次函数的解析式．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图像经过A（1，1），B（2，﹣1）两点，
∴k+b=12k+b=-1，
解得：b=3k=-2，
∴该一次函数的解析式为：y＝﹣2x+3．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
2．（2023•鹿城区校级三模）已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则a的值为 ．
【分析】根据给定数据，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a的值．
【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
将（1，1），（2，3）代入y＝kx+b得：k+b=12k+b=3，
解得：k=2b=-1，
∴一次函数的解析式为y＝2x﹣1．
当x＝0时，y＝﹣1，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据给定数据，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
3．（2024春•监利市期末）一次函数图象经过（﹣2，1）和（1，4）两点，
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＝3时，求y的值．
【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，把（﹣2，1）和（1，4）代入解析式即可得到关于k和b的方程组求得k、b的值；
（2）把x＝3代入解析式即可求解．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，
∵图象经过（﹣2，1）和（1，4）两点
∴-2k+b=1k+b=4，
解得k=1b=3，
则一次函数的解析式为：y＝x+3；
（2）当x＝3时y＝3+3＝6．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．
4．（2023秋•平桂区 期末）已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点．
（1）求此一次函数表达式；
（2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上．
【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再把A（2，0），B（0，4）代入求出k的值即可；
（2）把x＝﹣1代入（1）中函数解析式进行检验即可．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（2，0），B（0，4）在函数图象上，
∴2k+b=0b=4，解得k=-2b=4，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣2x+4；
（2）由（1）知，函数解析式为：y＝﹣2x+4，
∴当x＝﹣1时，y＝6，
∴点（﹣1，6）在一次函数的图象上．
【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
5．（2024春•鲤城区校级期中）如果函数y＝kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是﹣2≤x≤6，相应的函数值的范围是﹣11≤y≤9，求此函数的解析式．
【分析】根据自变量的取值范围确定x，y的值，用待定系数法可求出函数关系式．
【解答】解：一次函数y＝kx+b的自变量的取值范围是：﹣2≤x≤6，
相应函数值的取值范围是：﹣11≤y≤9，
若k＞0 函数为递增函数
即当x＝﹣2时，y＝﹣11，即经过点（﹣2，﹣11），
x＝6时，y＝9．即经过点（6，9）．
根据题意列出方程组：-2k+b=-116k+b=9，
解得：k=52b=-6，
则这个函数的解析式是y=52x-6．
若k＜0 函数为递减函数，则函数一定经过点（﹣2，9）和（6，﹣11），
设一次函数的解析式是y＝kx+b，
则-2k+b=96k+b=-11，
解得：k=-52b=4
则函数的解析式为y=-52x+4，
故答案为：y=52x-6或y=-52x+4．
【点评】根据自变量的取值范围确定x，y的值是解决本题的关键．
6．（2023秋•嘉兴期末）已知y是关于x的一次函数，且点A（0，4），B（1，2）在此函数图象上．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当﹣2≤y＜4时，求x的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）分别把y＝﹣2和y＝4代入y＝﹣2x+4，再根据一次函数的增减性，即可求解．
【解答】解：（1）设一次函数的表达式y＝kx+b，
∵点A（0，4），B（1，2）在此函数图象上，
∴b=4k+b=2，
解得：k=-2b=4，
∴这个一次函数表达式为y＝﹣2x+4；
（2）把y＝﹣2代入y＝﹣2x+4得：x＝3；
把y＝4代入y＝﹣2x+4得：x＝0，
∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当﹣2≤y＜4时，x的范围是0＜x≤3．
【点评】本题主要考查求一次函数解析式以及一次函数的增减性，掌握相关知识是解题的关键．
7．（2023秋•亭湖区期末）已知一次函数y＝kx+7的图象经过点A（2，3）．
（1）求k的值；
（2）判断点B（﹣1，8），C（3，1）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
（3）当﹣3＜x＜﹣1时，求y的取值范围．
【分析】（1）将已知点坐标代入一次函数解析式中即可求出k的值．
（2）把B、C点的坐标代入解析式即可判断．
（3）把x＝﹣3和x＝﹣1分别代入解析式，分别求得函数值，根据求得的函数值即可求得．
【解答】解：（1）将x＝2，y＝3代入一次函数解析式得：3＝2k+7，
解得：k＝﹣2．
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣2x+7＝2+7＝9≠8，
当x＝3时，y＝﹣2x+7＝﹣6+7＝1，
所以，点B（﹣1，8）不在这个一次函数的图象上；点C（3，1）在这个函数的图象上；
（3）当x＝﹣3时，y＝﹣2x+7＝6+7＝13，当x＝﹣1时，y＝﹣2x+7＝2+7＝9，
所以当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是9＜y＜13．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
题型二 由函数图象确定函数解析式
1．（2023春•永年区月考）直线y＝kx+b在直角坐标系中的位置如图所示，这条直线的函数表达式为（ ）
A．y＝2x+4B．y＝﹣2x+4C．y＝4x+2D．y＝﹣4x﹣2
【答案】A．
【分析】根据待定系数法即可求出函数表达式．
【解答】解：设直线的解析式为y＝kx+b，
由图象可知直线与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，4），
把点（﹣2，0），（0，4）代入y＝kx+b得
-2k+b=0b=4
解得k=2b=4，
∴该直线的函数解析式为y＝2x+4，
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
2．（2024春•枣强县月考）如图，将8个边长均为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，直线l经过小正方形的顶点A、B，则直线l的表达式为 ．
【分析】利用待定系数法即可求出函数的解析式即可．
【解答】解：从图示来看，点A、点B的坐标分别是（0，1）、（4，3），
设直线l的解析式为y＝kx+b，
将点A、点B的坐标代入直线l的解析式得：1=b3=4k+b，
∴b=1k=12，
∴直线l的解析式为y=12x+1．
故答案为：y=12x+1．
【点评】本题考查了用待定系数求一次函数解析式，解题的关键是将函数点的坐标代入解析式，然后解方程组．
3．（2024春•南阳月考）如图，将含45°角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，其中A（﹣3，0），B（0，2），则直线BC的函数表达式为 ．
【分析】过C作CD⊥x轴于点D，证明△ACD≌△BAO得出AO＝CD＝3，AD＝OB＝2，则C（﹣5，3），进而待定系数法求解析式，即可求解．
【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠CAB＝90°，∠CDA＝∠AOB＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠CAD＝∠BAO，
又∵CA＝AB，
∴△ACD≌△BAO（AAS），
又∵A（﹣3，0），B（0，2），
∴AO＝3，BO＝2，
∴AO＝CD＝3，AD＝OB＝2，
∴DO＝5，
∴C（﹣5，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入B（0，2），C（﹣5，3），
∴-5k+b=3b=2，
解得：k=-15b=2，
∴y=-15x+2，
故答案为：y=-15x+2．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，坐标与图形；掌握待定系数法是关键．
4．（2023春•长沙期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示：
（1）求出该一次函数的表达式；
（2）当x＝10时，y的值是多少？
【分析】（1）观察函数图象，找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数表达式；
（2）代入x＝10求出与之对应的y值．
【解答】解：（1）观察函数图象，可知：点（2，0），（6，4）在函数y＝kx+b的图象上，
∴2k+b=06k+b=4，解得：k=1b=-2，
∴该一次函数的表达式为y＝x﹣2．
（2）当x＝10时，y＝10﹣2＝8．
【点评】本题考查了一次函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
5．（2024春•玉州区期末）如图，已知一次函数的图象过点A（﹣2，0），B（0，1），与正比例函数y＝﹣x的图象交于点C．求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△BOC的面积．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）根据直线解析式求得C的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）设一次函数为y＝kx+b，
∵一次函数的图象过点A（﹣2，0），B（0，1），
∴-2k+b=0b=1，
解得k=12b=1，
所以一次函数的解析式为：y=12x+1；
（2）由题意得y=12x+1y=-x，
解得x=-23y=23，
∴点点C的坐标为(-23，23)，
∴S△BOC=12×1×23=13．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
6．（2023春•朝阳区校级期中）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象．
（1）求直线l的解析式；
（2）如果直线l向上平移3个单位后，经过点A（3，m），求m的值．
【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）利用平移的规律求得平移后的直线解析式，点A（3，m）代入得到关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）把点（﹣2，0），（0，1）代入y＝kx+b得-2k+b=0b=1，
解得k=12b=1，
∴直线l的解析式为y=12x+1；
（2）直线l向上平移3个单位后得到y=12x+1+3=12x+4，
∵经过点A（3，m），
∴m=12×3+4=112．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
7．已知某一次函数的图象如图所示．
（1）求这个一次函数的解析式．
（2）请直接写出该直线关于y轴对称的直线解析式．
【分析】（1）从图象可知一次函数的图象过点（2，0）和（0，3），用待定系数法求出解析式即可；
（2）关于y轴对称，那么它们的k值互为相反数，b不变，由此即可得到所求直线的解析式．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，
据图可知：直线经过（0，3）和（2，0）两点
∴3=0+b0=2k+b，
解之得：b=3k=-32，
∴一次函数的解析式为：y=-32x+3；
（2）该直线关于y轴对称的直线解析式为：y=32x+3．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与几何变换，明确关于y轴对称的直线，那么它们的k值互为相反数，b不变是解此题的关键．
8．如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象．
（1）求出这个一次函数的解析式；
（2）将该函数的图象向下平移3个单位，求出平移后一次函数的解析式，并写出平移后的图象与x轴的交点坐标．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）先求出该函数图象向下平移3个单位后的直线解析式，再令y＝0，求出x的值即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，0）和点（2，2），
∴-2k+b=02k+b=2
解得k=12，b＝1
∴一次函数的解析式为：y=12x+1；
（2）∵一次函数y=12x+1向下平移3个单位的解析式为y=12x﹣2，
∴当y＝0时，x＝4，
∴平移后的图象与x轴的交点坐标为（4，0）．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的性质是解答此题的关键．
9．已知正比例函数y＝mx与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，3）；
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积；
【分析】（1）把A（1，3）代入y＝mx，利用待定系数法求得正比例函数的解析式；把A（1，3），（﹣2，0）代入y＝ax+b，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）首先求得一次函数与y轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式列式计算即可求得答案；
【解答】解：（1）把A（1，3）代入y＝mx，得m＝3，
则正比例函数的解析式为y＝3x；
把A（1，3），（﹣2，0）代入y＝ax+b，
得a+b=3-2a+b=0，解得a=1b=2，
则一次函数的解析式为：y＝x+2；
（2）∵一次函数的解析式为：y＝x+2，
∴一次函数与y轴的交点坐标为：（0，2），
又一次函数与x轴的交点坐标为：（﹣2，0），
∴该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为：12×2×2＝2；
【点评】此题考查了两条直线的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积．正确求出两个函数的解析式是解此题的关键．
题型三 利用已知函数关系式，再求函数关系式
1．（2024春•五莲县期末）已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣3成正比例，当x＝﹣1时，y＝4；当x＝1时，y＝8，求y与x之间的函数关系式．
【分析】根据题意设y1＝k1x，y2＝k2（x﹣3），从而可得y＝k1x+k2（x﹣3），然后把x＝﹣1，y＝4和x＝1，y＝8代入联立方程组，进行计算即可解答．
【解答】解：设y1＝k1x，y2＝k2（x﹣3），
则y＝y1+y2＝k1x+k2（x﹣3），
由题意得：-k1-4k2=4k1-2k2=8，
解得：k1=4k2=-2，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝4x﹣2（x﹣3），
即y＝2x+6，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝2x+6．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
2．（2023秋•丰县校级月考）已知y＝y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝﹣1时，y＝2；当x＝2时，y＝4，求y与x的函数关系式．
【分析】根据正比例函数的定义可设y1＝ax，y2＝b（x﹣2），则y＝（a+b）x﹣2b，然后把两组对应值代入得到方程组，然后求出a+b与2b的值即可．
【解答】解：设y1＝ax，y2＝b（x﹣2），则y＝y1+y2＝ax+b（x﹣2）＝（a+b）x﹣2b，
把x＝﹣1，y＝2；x＝2，y＝4分别代入得-(a+b)-2b=22(a+b)-2b=4，
解得a+b=232b=83，
所以y与x的函数关系式为y=23x+83．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
3．（2023秋•涟水县校级月考）已知：y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣3成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝4时，y＝9．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）当x＝﹣2时，求y的值．
【分析】（1）利用正比例函数的定义得到设y1＝ax，y2＝b（x﹣3），则y＝（a+b）x﹣3b，然后把两组对应值分别代入得到a、b的方程组，再解方程组求出a、b即可得到y与x的函数关系式；
（2）计算（1）中解析式中对应的函数值即可．
【解答】解：（1）设y1＝ax，y2＝b（x﹣3），
∵y＝y1+y2，
∴y＝ax+b（x﹣3）＝（a+b）x﹣3b，
∵当x＝1时，y＝0；当x＝4时，y＝9．
∴a+b-3b=04(a+b)-3b=9，解得a=2b=1，
∴y＝3x﹣3；
（2）当x＝﹣2时，y＝3×（﹣2）﹣3＝﹣9．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），然后把一个已知点的坐标代入求出k即可．
4．（2023•南京模拟）已知y＝y1+y2，且y1﹣3与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝2时，y＝7，当x＝1时，y＝0．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）计算x＝4时，y的值．
【分析】（1）设y1﹣3＝k1x，y2＝k2（x﹣2），可得y＝k1x+3+k2（x﹣2），把x＝2，y＝7和x＝1，y＝0代入求解即可．
（2）由（1）可直接把x＝4代入求解．
【解答】解：（1）设y1﹣3＝k1x，y2＝k2（x﹣2），
∵y＝y1+y2，
∴y＝k1x+3+k2（x﹣2），
把x＝2，y＝7和x＝1，y＝0代入得，
∴7=2k1+30=k1+3-k2，
解得k1=2k2=5，
∴y＝2x+3+5（x﹣2）＝7x﹣7，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝7x﹣7．
（2）把x＝4代入y＝7x﹣7得：
y＝7×4﹣7＝21．
【点评】本题主要考查正比例函数的定义及求函数解析式，熟练掌握正比例函数的定义及求函数解析式的方法是解题的关键．
题型四 由三角形的面积确定一次函数解析式
1．（2023秋•西安期末）已知某直线经过点A（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2．则该直线的一次函数表达式是 ．
【分析】设直线解析式为y＝kx+b，先把（0，2）代入得b＝2，再确定直线与x轴的交点坐标为（-2k，0），然后根据三角形的面积公式得到12×2×|-2k|＝2，解方程得k的值，可得所求的直线解析式．
【解答】解：设直线解析式为y＝kx+b，
把（0，2）代入得b＝2，
所以y＝kx+2，
把y＝0代入得x=-2k，
所以12×2×|-2k|＝2，
解得：k＝1或﹣1，
所以所求的直线解析式为y＝x+2或y＝﹣x+2．
故答案为：y＝x+2或y＝﹣x+2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
2．（2023秋•东平县期末）已知一次函数的图象经过点P（0，﹣2），且与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为3，则此一次函数的解析式为 ．
【分析】由题意可设函数解析式为y＝kx﹣2，求出与坐标轴的交点坐标，再根据面积=12|x||y|可得出关于k的方程，解出即可得出k的值，进而可以求出函数解析式．
【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx﹣2，
令y＝0，得x=2k，则一次函数的图象与x轴交点坐标为（2k，0），
∴面积=12×2×|2k|＝3，解得：k＝±23．
∴一次函数解析式为：y=23x﹣2，或y=-23x﹣2．
故答案为：y=23x﹣2，或y=-23x﹣2．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，结合了三角形的知识，但难度中等，注意掌握坐标和线段长度的转化．
3．（2023春•濮阳期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，0），与y轴交于点B，O为坐标原点．若△AOB的面积为6，则该一次函数的解析式为 ．
【分析】分两种情况：当点B在y轴正半轴时，当点B在y轴负半轴时，然后利用待定系数法进行计算即可解答．
【解答】解：∵点A（3，0），
∴OA＝3，
∵△AOB的面积为6，
∴12OA•OB＝6，
∴12×3•OB＝6，
∴OB＝4，
∴B（0，4）或（0，﹣4），
将A（3，0），B（0，4）代入y＝kx+b（k≠0）得：
3k+b=0b=4，
解得：k=-43b=4，
∴一次函数的解析式为：y=-43x+4，
将A（3，0），B（0，﹣4）代入y＝kx+b（k≠0）得：
3k+b=0b=-4，
解得：k=43b=-4，
∴一次函数的解析式为：y=43x﹣4，
综上所述：一次函数的解析式为：y=-43x+4或y=43x﹣4，
故答案为：y=-43x+4或y=43x﹣4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论是解题的关键．
4．（2023春•上海期中）已知直线y＝kx+b（k≠0）与坐标轴围成的三角形面积是6，且经过（2，0），则这条直线的表达式是 ．
【分析】先根据面积求出三角形在y轴上边的长度，再分正半轴和负半轴两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意，设与y轴交点坐标为（0，b）
则12×2×|b|＝6，
解得|b|＝6，
∴b＝±6，
①当b＝6时，与y轴交点为（0，6）
∴2k+b=0b=6，解得k=-3b=6，
∴函数解析式为y＝﹣3x+6；
②当b＝﹣6时，与y轴的交点为（0，﹣6）
∴2k+b=0b=-6解得k=3b=-6，
∴函数解析式为y＝3x﹣6．
∴这个一次函数的解析式是y＝﹣3x+6或y＝3x﹣6．
故答案为：y＝﹣3x+6或y＝3x﹣6．
【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，先根据三角形面积求出与y轴的交点，再利用待定系数法求函数解析式，本题需要注意有两种情况．
5．（2023春•建瓯市校级月考）已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点．若S△AOB＝6，求一次函数解析式．
【分析】先根据一次函数的性质求出OA，OB的长，再根据S△AOB＝6建立方程，解方程可得b的值，由此即可得．
【解答】解：对于一次函数y＝﹣2x+b，
当y＝0时，x=b2，则A(b2，0)，OA=|b2|，
当x＝0时，y＝b，则B（0，b），OB＝|b|，
∵x轴⊥y轴，S△AOB＝6，
∴12OA⋅OB=12×|b2|×|b|=6，即b2＝24，
解得b=±26，
则一次函数解析式为y=-2x+26或y=-2x-26．
【点评】本题考查的是利用待定系数法求一次函数的解析式，根据一次函数的解析式，正确表示OA，OB的长是解题关键．
6．（2024春•桑植县期末）如图，在直角坐标系xOy中，直线l过（1，3）和（3，1）两点，且分别与x轴，y轴交于A，B两点．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若点C在x轴上，且△BOC的面积为6．求点C的坐标．
【分析】（1）把两点坐标代入函数解析式得到关于k、b的二元一次方程组并求解即可得到函数解析式；
（2）先求出B点坐标，再根据△BOC的面积求出OC的长，即可求出点C的坐标．
【解答】解：（1）设直线l的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把（3，1），（1，3）代入得3k+b=1k+b=3，
解方程组得k=-1b=4，
∴直线l的函数关系式为y＝﹣x+4；
（2）设C（x，0），
当x＝0时，y＝﹣x+4＝4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
∵△BOC的面积为6，
∴12OC⋅4=6，
∴OC＝3，
∴C（3，0）或（﹣3，0）．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，注意由三角形面积求点坐标分情况讨论是关键．
7．（2024春•嵩明县期末）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C的坐标．
【分析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；
（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC＝2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），
∴k+b=0b=-2，
解得k=2b=-2，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2．
（2）设点C的坐标为（x，y），
∵S△BOC＝2，
∴12•2•x＝2，
解得x＝2，
∴y＝2×2﹣2＝2，
∴点C的坐标是（2，2）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式．
8．（2024春•黄石港区期末）如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，0），B（0，6）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点D为平面内的一点，且S△ABD＝15．求所有的点D组成图形的解析式．
【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）设点D在过y轴上的C点且平行于直线AB的直线上，则S△ABC＝15，根据平行线间的距离相等，即可求得点D组成图形的解析式．
【解答】解：（1）∵点A（﹣3，0），B（0，6）．
设直线AB的解析式为：y＝kx+b
则-3k+b=0b=6，解得k=2b=6，
∴直线AB的解析式为y＝2x+6；
（2）∵点A（﹣3，0），B（0，6），
∴OA＝3，OB＝6，
∴S△AOB=12OA⋅OB=12×3×6=9，
∵S△ABD＝15，
设点D在过y轴上的C点且平行于直线AB的直线上，则S△ABC＝15，
∴S△AOC＝15﹣9＝6，
∴12OA⋅OC=12×3⋅OC=6，
∴OC＝4，
∴C（0，﹣4），
∴点D组成图形的解析式为y＝2x﹣4，
当点D在直线AB的上方时，点D组成图形的解析式为y＝2x+16，
∴点D组成图形的解析式为y＝2x﹣4或y＝2x+16．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，两条直线相交或平行问题，求得直线AB的解析式是解题的关键．
9．（2022•南京模拟）如图，在△AOB中，∠ABO＝90°，OB＝4，AB＝8，直线y＝﹣x+b分别交OA、AB于点C、D，且△BOD的面积是4
（1）求直线AO的解析式；
（2）求直线CD的解析式．
【分析】（1）由OB＝4，AB＝8，∠ABO＝90°，得A点坐标为（4，8），通过待定系数法，求得直线AO的解析式；
（2）由OB＝4，∠ABO＝90°，S△BOD=12×OB×BD=4，求得D点的坐标，再通过待定系数法，求得直线CD的解析式．
【解答】解：（1）∵OB＝4，AB＝8，∠ABO＝90°，
∴A点坐标为（4，8），
设直线AO的解析式为y＝kx，则4k＝8，
解得k＝2，即直线AO的解析式为y＝2x．
（2）∵OB＝4，∠ABO＝90°，S△BOD=12×OB×BD=4，
∴DB＝2，
∴D点的坐标为（4，2），
把D（4，2）代入y＝﹣x+b得：2＝﹣4+b
解得b＝6，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+6．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，准确求得相关点坐标，熟练运用待定系数法是解题的关键．
题型五 利用图形变换确定一次函数解析式
1．（2023秋•贵池区期末）如图一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，3），点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，将直线AB沿y轴方向向下平移若干单位长度得到的直线l恰好经过点D，若OD＝2，则直线l的函数表达式为 ．
【分析】待定系数法求得一次函数的解析式，设平移后的解析式为y=12x+b1，将点D（2，0）代入即可求解．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，3），
∴-6k+b=0b=3，
解得：k=12b=3，
∴y=12x+3，
依题意，设直线l的解析式为y=12x+b1，将点D（2，0）代入得，0=12×2+b1，
解得：b1＝﹣1，
∴直线l的解析式为：y=12x-1，
故答案为：y=12x-1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
2．（2023•桥西区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线y=-34x+3分别与x轴、y轴交于点A、B，将△AOB沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴的负半轴上，记作点C，折痕与y轴交于点D，则直线AD的解析式为 ．
【分析】分别将x＝0、y＝0代入直线y=-34x+3中求出与之对应的y、x值，由此即可得出点B、A的坐标，根据折叠的性质结合勾股定理可求出AC的长度，进而可得出点C的坐标，设OD＝m，则CD＝BD＝3﹣m，在Rt△COD中利用勾股定理可求出m的值，进而可得出点D的坐标，则可求出答案．
【解答】解：如图，
当x＝0时，y=-34x+3＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
当y＝0时，有-34x+3＝0，
解得：x＝4，
∴点A的坐标为（4，0）．
由折叠性质可知，△ABD≌△ACD，
∴AC＝AB，BD＝CD．
在Rt△AOB中，AB=OA2+OB2=5，
∴AC＝5，
∴OC＝AC﹣OA＝5﹣4＝1，
∴点C的坐标为（﹣1，0）．
设OD＝m，则CD＝BD＝3﹣m，
在Rt△COD中，OC2+OD2＝CD2，即12+m2＝（3﹣m）2，
解得：m=43，
∴OD=43，
∴点D的坐标为（0，43）．
设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（4，0）、D（0，43）代入y＝kx+b，
4k+b=0b=43，
解得：k=-13b=43，
∴直线AD的解析式为y=-13x+43．
故答案为：y=-13x+43．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及翻折变换，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
3．（2023秋•溧水区期末）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（2，4），AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，则直线AC的函数表达式为 ．
【分析】直接把点A（2，4）代入正比例函数y＝kx，求出k的值即可；由A（2，4），AB⊥x轴于点B，可得出OB，AB的长，再由△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，由旋转不变性的性质可知DC＝OB，AD＝AB，故可得出C点坐标，再把C点和A点坐标代入y＝ax+b，解出解析式即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）经过点A（2，4）
∴4＝2k，
解得：k＝2，
∴y＝2x；
∵A（2，4），AB⊥x轴于点B，
∴OB＝2，AB＝4，
∵△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，
∴DC＝OB＝2，AD＝AB＝4
∴C（6，2），
设直线AC的解析式为y＝ax+b，
把（2，4）（6，2）代入解析式可得：2a+b=46a+b=2，
解得：a=-0.5b=5，
所以解析式为：y＝﹣0.5x+5.
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及旋转变换，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
4．（2023秋•乐平市期末）已知，直线经过点A（﹣8，0）和点B（0，6），点C在线段AO上，将△BOC沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）先设直线AB的表达式为y＝kx+b，再将点A（﹣8，0），B（0，6）代入y＝kx+b之中求出k，b的值，进而可得直线AB的表达式；
（2）先求出AB＝10，设OC＝t，则AC＝8﹣t，由折叠的性质得：CD＝OC＝t，BD＝OB＝6，∠BDC＝∠BOC＝90°，进而得AD＝4，然后在Rt△ACD中由勾股定理求出t＝3，进而可得△ABC的面积．
【解答】解：（1）设直线AB的表达式为：y＝kx+b，
将点A（﹣8，0），B（0，6）代入y＝kx+b，
得：-8k+b=0b=6，解得：k=34b=6，
∴直线AB的表达式为：y=34x+6；
（2）∵点A（﹣8，0），B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=OA2+OB2=10，
设OC＝t，则AC＝OA﹣OC＝8﹣t，
由折叠的性质得：CD＝OC＝t，BD＝OB＝6，∠BDC＝∠BOC＝90°，
∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4，
在Rt△ACD中，AD＝4，CD＝t，AC＝8﹣t，
由勾股定理得：AC2﹣CD2＝AD2，
即（8﹣t）2﹣t2＝42，
解得：t＝3，
∴CD＝t＝3，
∴S△ABC=12AB•CD=12×10×3＝15．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象，图形的折叠变换及其性质，勾股定理等，熟练掌待定系数法求一次函数的解析式，理解图形的折叠变换及其性质是解决问题的关键．
5．（2024春•澄海区期末）如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，已知A（6，0），B（0，4）．
（1）求直线AB的函数解析式；（2）若点C在坐标轴上，且S△ABC＝18，求点C的坐标；
（3）点P在第一象限内，且纵坐标为4．若点P关于直线AB的对称点P'恰好落在x轴的正半轴上，PP′与AB相交于点Q，求点P′的坐标．
【分析】（1）待定系数法求出直线AB解析式即可；
（2）分两种情况分析讨论点C坐标，当点C在x轴上时，设点C坐标为（m，0），则AC＝丨m﹣6丨，利用三角形面积公式列出方程求出m值；当点C在y轴上时，设点C坐标为（0，m），则BC＝丨m﹣4丨，利用三角形面积公式列出方程求出m值即可；
（3）根据对称性质及点B和点P的纵坐标相同，可证明△BQP≌△AQP′得到BP＝AP′，设P（n，4），则BP＝n，利用勾股定理建立方程42+（6﹣n）2＝n2，求出n值，继而得到点P′坐标即可．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，图象经过A（6，0），B（0，4），
6k+b=0b=4，解得k=-23b=4，
∴直线AB的函数解析式为y=-23x+4；
（2）当点C在x轴上时，设点C坐标为（m，0），则AC＝丨m﹣6丨，
∴S△ABC=12×丨m-6丨×4=18，
∴m﹣6＝±9，
∴m＝15或﹣3，
∴C（15，0）或（﹣3，0）．
当点C在y轴上时，设点C坐标为（0，m），则BC＝丨m﹣4丨，
∴S△ABC=12×丨m-4丨×6=18，
整理得：m﹣4＝±6，
∴m＝10或m＝﹣2，
∴C（0，10）或C（0，﹣2），
综上分析，C（15，0）或（﹣3，0）或（0，10）或（0，﹣2），
（3）∵P、P′关于直线AB对称，
∴BP′＝BP，PQ＝P′Q，
∵点B和点P的纵坐标相同，
∴BP∥x轴，
∴∠QBP＝QAP′，∠P＝∠QP′A，
∴△BQP≌△AQP′（AAS），
∴BP＝AP′，
设P（n，4），则BP＝n，
∴BP＝BP′＝AP′＝n，
∴OP′＝OA﹣AP′＝6﹣n，
∵OB2+OP′2＝BP′2，
∴42+（6﹣n）2＝n2，
解得n=133，
∴OP′＝6-133=53，
∴P′（53，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形变换﹣对称，三角形的面积，熟练掌握对称性质是解得本题的关键．
题型六 与确定函数解析式有关的综合性问题
1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-32，0），（32，1），连接AB，以AB为边向上作等边三角形ABC．
（1）求点C的坐标；
（2）求线段BC所在直线的解析式．
【分析】（1）由点A、点B，易知线段AB的长度，∠BAH＝30°，而△ABC为等边三角形，得CA⊥x轴，即可知CA的长即为点C的纵坐标，即可求得点C的坐标．
（2）由（1）知点C纵标，已知点B的坐标，利用待定系数法即可求线段BC所在的直线的解析式．
【解答】解：（1）如图，过点B作BH⊥x轴，
∵点A坐标为（-32，0），点B坐标为（32，1），
∴|AB|=(0-1)2+(-32-32)2=2，
∵BH＝1，
∴BH=2AB，
∴∠BAH＝30°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝2，
∴∠CAB+∠BAH＝90°，
∴点C的纵坐标为2，
∴点C的坐标为（-32，2）．
（2）由（1）知点C的坐标为（-32，2），点B的坐标为（32，1），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则1=32k+b2=-32k+b，解得k=-33b=32，
故直线BC的函数解析式为y=-33x+32．
【点评】此题主要考查待定系数求一次函数的解析式及等边三角形的性质，此题的关键是利用等边三角形的性质求得点C的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式．
2．（2023春•封开县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）已知点C在第一象限，且到两坐标轴距离相等，若S△AOB＝2S△AOC，求点C的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据三角形的面积求得C的纵坐标为2，然后根据题意即可求得C的坐标为（2，2）．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣2，0），B（1，4），
∴-2k+b=0k+b=4，
解得：k=43b=83，
∴直线AB的解析式为y=43x+83；
（2）∵A（﹣2，0），B（1，4），
∴S△AOB=12×2×4=4，
设C的纵坐标为n（n＞0），
∵点C在第一象限，且到两坐标轴距离相等，
∴C（n，n），
∵S△AOB＝2S△AOC，
∴S△AOC=12×2•n＝2，
∴n＝2，
∴点C的坐标为（2，2）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
3．（2024春•高新区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（1，4），直线BC交x轴于（4，0），过点A作AD∥BC交y轴于点D．
（1）求直线BC和直线AD的关系式；
（2）点M在直线AD上，且△ABM与△ABO的面积相等，求点M的坐标．
【分析】（1）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，将B，C两点代入即可求解；设直线AD的解析式为：y=-43x+b'，将A点代入即可求解；
（2）求出直线AB的解析式，过点O作AB的平行线l，则点M是直线AD与直线l的交点，据此即可求解．
【解答】解：（1）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则k+b=44k+b=0，
解得：b=163k=-43，
∴直线BC的解析式为：y=-43x+163，
∵AD∥BC
∴设直线AD的解析式为：y=-43x+b'，
则0=-43×(-3)+b'，
解得：b′＝﹣4
∴直线AD的解析式为：y=-43x-4，
（2）如图所示：过点O作AB的平行线l，
设直线AB的解析式为：y＝mx+n，
则-3m+n=0m+n=4，
解得：m=1n=3，
∴直线AB的解析式为：y＝x+3，
则直线l的解析式为：y＝x，
∵点M在直线AD上，且△ABM与△ABO的面积相等，
∴点M是直线AD与直线l的交点
则y=xy=-43x-4，
解得：x=-127y=-127，
∴M(-127，-127)，
点M(-127，-127)关于点A（﹣3，0）的对称点为：M'(-307，127)，
综上所述：点M的坐标为(-127，-127)或(-307，127)．
【点评】本题考查了一次函数的解析式求解、平行线间的距离处处相等等知识点，掌握待定系数法是解题关键．
4．（2023•鼓楼区校级一模）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，直线经过点（3，﹣3），交x轴于点A，交y轴于点B（0，1）．
（1）求直线l的解析式；
（2）求l与两坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）当x 时，y≥0；
（4）求原点到直线l的距离．
【分析】（1）把（3，﹣3），（0，1）代入一次函数的解析式得到方程组求出方程组的解即可；
（2）根据解析式求得A的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）观察图象即可求得；
（4）利用三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）把（3，﹣3），（0，1）代入y＝kx+b，
得3k+b=-3b=1，
解得：k=-43b=1，
∴直线l的解析式为y=-43x+1；
（2）在y=-43x+1中，令y＝0，则-43x+1＝0，
解得x=34，
∴A（34，0），
∵B（0，1），
∴OA=34，OB＝1，
∴S△AOB=12OA⋅OB=12×34×1=38，
∴直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为38；
（3）∵A（34，0），
∴当x≤34时，y≥0；
故答案为：≤34；
（4）设原点到直线的距离为h，
∵OA=34，OB＝1，
∴AB=OA2+OB2=(916)2+12=54，
∵S△AOB=12AB•h，
∴38=12×54×h，
∴h=35．
故原点到直线l的距离为35．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解此题的关键．
5．（2023秋•余姚市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-43x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点B的直线交x轴于点C（﹣2，0）．
（1）点A坐标为 ，点B坐标为 ；
（2）求直线BC的表达式；
（3）若点D在直线BC上，且△ACD是以AD为腰的等腰三角形，点D的坐标．
【分析】（1）令y＝0解得x＝3，令x＝0得y＝4；
（2）设过点B（0，4）、C（﹣2，0）的直线解析式为y＝kx+b代入法求解即可；
（3）当AD＝AC时，此时D与B重合，求得D点坐标为（0，4）；当AD＝CD时，如图，D点在AC的垂直平分线上，求得此时D点的横坐标，代入BC的表达式求得纵坐标即可．
【解答】解：（1）直线y=-43x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令y＝0即0=-43x+4，解得x＝3，
令x＝0得y＝4，
即点A坐标为（3，0），点B坐标为（0，4），
故答案为：（3，0），（0，4）；
（2）设过点B（0，4）、C（﹣2，0）的直线解析式为y＝kx+b，
则有：0=-2k+b4=b，
解得：k=2b=4，
故直线BC的表达式y＝2x+4；
（3）由（1）可知，AC＝OA+OC＝5，AB=OA2+OB2=5，
当AD＝AC时，此时D与B重合，
D点坐标为（0，4），
当AD＝CD时，如图，D点在AC的垂直平分线上，
此时D点的横坐标为：3+(-2)2=12，
将x=12代入y＝2x+4，
求得y＝5，
D点坐标为(12，5)，
故D点坐标为（0，4）或(12，5)．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法求函数解析式以及等腰三角形的存在性；解题的关键是熟练掌握点与函数图象的关系．
6．（2024春•南昌期末）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，4），B（8，0），C（3，0），D是线段AB的中点，DC所在直线与y轴相交于点E，连接BE．
（1）求AC的长．
（2）求CD所在直线的解析式．
（3）y轴上是否存在一点F，使S△FAC=12SCBE？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理即可求得；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）先求出△CBE的面积，得出△FAC的面积是152，利用三角形面积公式求得FA＝5，即可得出点F的坐标．
【解答】解：（1）∵A（0，4），C（3，0），
∴OA＝4，OC＝3，
∴AC=OA2+OC2=5；
（2）∵A（0，4），B（8，0），C（3，0），D是线段AB的中点，
∴D（4，2），
设CD所在直线的解析式为y＝kx+b，
∴3k+b=04k+b=2，解得k=2b=-6，
∴CD所在直线的解析式为y＝2x﹣6；
（3）y轴上存在一点F，使S△FAC=12SCBE，
令x＝0，则y＝2x﹣6＝﹣6，
∴OE＝6，
∴S△CBE=12×BC⋅OE=12×(8-3)×6=15，
∵S△FAC=12SCBE，
∴S△FAC=152，
∴12FA⋅OC=152，即12FA⋅3=152，
∴FA＝5，
∵A（0，4），
∴F（0，﹣1）或（0，9）．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，线段的长度，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
7．（2023春•丹江口市期中）如图，直线y＝x+3交y轴于点A，交x轴于点B，经过点（2，2）且平行于直线y＝﹣2x的直线交x轴于点C，交y轴于点D，交AB于点E．
（1）直线CD的解析式为 ；
（2）求△EBC的面积；
（3）P是直线AB上的一个动点，过点P作PQ∥y轴，交直线CD于点Q，若PQ＝2AD，求点P的坐标．
【分析】（1）依题意设直线CD的解析式为：y＝﹣2x+b，把（2，2）代入y＝﹣2x+b即可得出答案；
（2）由y=x+3y=-2x+6可得E（1，4），再由三角形面积公式进行解答即可；
（3）设P（x，x+3），则Q（x，﹣2x+6），得出PQ＝|x+3﹣（﹣2x+6）|，再由PQ＝2AD得，|x+3﹣（﹣2x+6）|＝6，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）依题意设直线CD的解析式为：y＝﹣2x+b，
把（2，2）代入y＝﹣2x+b得：2＝﹣4+b，
∴b＝6，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣2x+6．
故答案为：y＝﹣2x+6；
（2）由y=x+3y=-2x+6，
解得x=1y=4，
∴E（1，4），
当y＝0时，0＝x+3，
解得：x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
当y＝0时，0＝﹣2x+6，
解得：x＝3，
∴C（3，0），
∴BC＝6，
∴S△EBC=12×BC×yE=12×6×4=12；
（3）设P（x，x+3），则Q（x，﹣2x+6），
由PQ＝2AD得，|x+3﹣（﹣2x+6）|＝6，
解得：x＝3或﹣1，
∴P（3，6）或（﹣1，2）．
【点评】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，涉及到求两个函数的交点坐标，三角形的面积公式，线段的长度的表达式，掌握以上知识点是解题的关键．
8．（2024春•潮南区校级期末）如图，直线OA的解析式为y＝3x，点A的横坐标是﹣1，OB=2，OB与x轴所夹锐角是45°．
（1）求B点坐标；
（2）求直线AB的函数表达式；
（3）若直线AB与y轴的交点为点D，求△AOD的面积；
（4）在直线AB上存在异于点A的另一点P，使得△ODP与△ODA的面积相等，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）过点B作BE⊥x轴于点E，则△BOE为等腰直角三角形，由此得出OE＝BE、OB=2OE，结合OB=2即可得出OE＝BE＝1，再根据点B所在的象限即可得出点B的坐标；
（2）由点A的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点A的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的函数表达式；
（3）将x＝0代入直线AB的函数表达式中即可求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出△AOD的面积；
（4）由△ODP与△ODA的面积相等可得知xP＝﹣xA，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．
∵∠BOE＝45°，BE⊥OE，
∴△BOE为等腰直角三角形，
∴OE＝BE，OB=2OE．
∵OB=2，
∴OE＝BE＝1，
∴点B的坐标为（1，﹣1）．
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣3，
∴点A的坐标为（﹣1，﹣3）．
设直线AB的表达式为y＝kx+b（k≠0），
将（﹣1，﹣3）、（1，﹣1）代入y＝kx+b，
-k+b=-3k+b=-1，解得：k=1b=-2，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣2．
（3）当x＝0时，y＝﹣2，
∴点D的坐标为（0，﹣2），
∴S△AOD=12OD•|xA|=12×2×1＝1．
（4）∵△ODP与△ODA的面积相等，
∴xP＝﹣xA＝1，
当x＝1时，y＝1﹣2＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，﹣1）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
9．（2024春•锦江区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，﹣1），B（1，5），直线AC⊥AB与y轴交于点C，直线AB分别与x轴、y轴交于点D、E．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使S△PAC＝S四边形ODAC？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）分别过A、B作y轴的垂线，垂足为G、H，证明Rt△ACG≌Rt△EBH（AAS）利用OC＝OG+CG即可得答案；
（3）设直线AC与x轴交于点M，求出直线AC解析式为y=-12x-2则M（﹣4，0），故OM＝4，由S四边形ODAC=S△OMC-S△AMD=12×4×2-12×52×1=114，S△PAC=S△PMC-S△PMA=12×PM×(2-1)=PM2，设P（x，0），则PM＝|x+4|，由S△PAC＝S四边形ODAC即可求出点P坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，且过A（﹣2，﹣1），B（1，5），
∴-2k+b=-1k+b=5，解得k=2b=3，
∴直线AB的解析式为y＝2x+3；
（2）分别过A、B作y轴的垂线，垂足为G、H，
∵A（﹣2，﹣1），B（1，5）
∴AG＝2，OG＝1，BH＝1，OH＝5，
在y＝2x+3中，令x＝0，得y＝3，
∴OE＝3，EH＝OH﹣OE＝5﹣3＝2，
∴AG＝EH，
∵∠ACG+∠CAG＝90°，∠AEC+∠ACG＝90°，∠BEH＝∠AEC，
∴∠CAG＝∠BEH，
∴Rt△ACG≌Rt△EBH（AAS）
∴CG＝BH＝1，
∴OC＝OG+CG＝1+1＝2，
∴C（0，﹣2）；
（3）如图，设直线AC与x轴交于点M，
设直线AC解析式为y＝mx+n，
∴-2m+n=-1n=-2，解得：m=-12n=-2，
∴直线AC解析式为y=-12x-2，当y＝0，则x＝﹣4，
∴M（﹣4，0），
∴OM＝4，
由直线AB的解析式为y＝2x+3，当y＝0，则x=-32，
∴D(-32，0)，
∴MD=4-32=52，
由S四边形ODAC=S△OMC-S△AMD=12×4×2-12×52×1=114，
S△PAC=S△PMC-S△PMA=12×PM×(2-1)=PM2，
设P（x，0），∴PM＝|x+4|，
∵S△PAC＝S四边形ODAC
∴|x+4|2=114，解得x=32或x-y2=-12-(-3)2=-192，
∴点P(32，0)或(-192，0)．
【点评】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式和求面积方法，解题的关键是熟练掌握知识点的应用；
解题技巧提炼
本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，若同时有多个点可以选择时，往往选取数值较小，且容易计算的点的坐标代入求值.
x
0
1
2
y
a
1
3
解题技巧提炼
本题考查用待定系数法求函数解析式，解题关键是利用所给条件得到关键点的坐标，进而求得函数解析式．
解题技巧提炼
首先根据成正比例，设出函数解析式，把x和y的值代入求出k的值，即可确定出y与x的函数关系式；此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
解题技巧提炼
解决本题的关键是根据直线与坐标轴围成三角形的面积确定另一个点的坐标．
解题技巧提炼
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
解题技巧提炼
此题主要考查待定系数求一次函数的解析式及等边三角形的性质，此题的关键是利用等边三角形的性质求得点C的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式．