小学书法练习指导湘美版三年级上册提当堂达标检测题

这是一份小学书法练习指导湘美版三年级上册提当堂达标检测题，共25页。试卷主要包含了1 认识二元一次方程组，例如，36万元，2022年达到2等内容，欢迎下载使用。

知识点一
二元一次方程
★二元一次方程的定义：每个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
★二元一次方程的一般形式：ax+by=c( a≠0,b≠0)
【注意】（1）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
“一次”是指含未知数的项的次数是 1，而不是未知数的次数.不可理解为两个未知数的次数都是1.例如: 5xy+1 =0就不是二元一次方程.
知识点二
二元一次方程方程的解
★二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
【注意】1、二元一次方程的解都是成对出现的两个数，一般要用大括号括起来.
在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解.
知识点二
二元一次方程组
★二元一次方程组的定义：方程组有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
【注意】1、二元一次方程组的特点：
①方程组中共有2个不同的未知数；
②方程组有2个整式方程；
③一般用大括号把2个方程连起来.
二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，方程的个数可以超过两个，其中有的方程也可以是一元一次方程.
知识点四
二元一次方程组的解
★1、二元一次方程组的解定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
★2、只要告诉一组值是某个二元一次方程组的解，就说明这组值是这个方程组中每个方程的解．
★3、判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法：判断一对数值是不是二元一次方程的解，只需将这对数值分别代入方程的左、右两边，若左边=右边，则这对数值是这个方程的解；若左边≠右边，则这对数值不是这个方程的解.
题型一 二元一次方程的识别
1．（2024春•沙坪坝区期中）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．x2+2y＝8B．x﹣1＝3C．3x﹣y＝0D．x-1y=6
【分析】直接利用二元一次方程的定义（含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程）分析得出答案．
【解答】解：A、x2+2y＝8含有未知数的项的最高次数为2，不符合二元一次方程定义，故此选项不合题意；
B、x﹣1＝3只含有1个未知数，不符合二元一次方程定义，故此选项不合题意；
C、3x﹣y＝0符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故此选项符合题意；
D、x-1y=6不是整式方程，所以不是二元一次方程，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握相关定义是解题关键．
2．（2023秋•五华县期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．x3-2y=y+5xB．x+y＝1
C．15x=y2+1D．3x+1＝2xy
【分析】根据二元一次方程的定义对四个选项进行逐一分析．
【解答】解：A、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误；
B、含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，是二元一次方程，故本选项正确；
C、D、含有两个未知数，并且未知数的最高次数是2，是二元二次方程，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是二元一次方程的定义，即含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的方程叫二元一次方程．
3．（2024春•潍城区期中）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．2x﹣y＝0B．xy+1＝0C．x2+2x＝3D．y=8x
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．
【解答】解：A、2x﹣y＝0，符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意；
B、xy+1＝0，含有未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C、x2+2x＝3，是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、y=8x，是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
4．（2024春•崇川区校级月考）下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）
①6x﹣2y；
②4x+1＝x﹣y；
③1x+y=5；
④x＝y；
⑤x2﹣y2＝2．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．
【解答】解：①6x﹣2y，是多项式，不是方程；
②4x+1＝x﹣y，属于二元一次方程；
③1x+y=5，不是整式方程；
④x＝y，属于二元一次方程；
⑤x2﹣y2＝2，未知数的最高次数是2，不是二元一次方程．
所以属于二元一次方程的个数有2．
故选：B．
【点评】考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
5．（2024秋•温江区校级月考）下列式子：①5x﹣y+3；②x-29=3；③2x+3y＝4+2x；④xy+y＝8；⑤x2+x＝2x2﹣（x2+y）中是二元一次方程的是 （只填序号）．
【分析】根据二元一次方程的定义逐项判断即可．
【解答】解：5x﹣y+3不是方程；
x-29=3，仅含有一个未知数，它不是二元一次方程；
2x+3y＝4+2x，整理得：3y＝4，仅含有一个未知数，它不是二元一次方程；
xy+y＝8中含有未知数的项的最高次数是2，它不是二元一次方程；
x2+x＝2x2﹣（x2+y），整理得：x＝﹣y，符合二元一次方程的定义，它是二元一次方程；
综上，二元一次方程只有⑤，
故答案为：⑤．
【点评】本题考查二元一次方程的识别，解题的关键是掌握二元一次方程的定义．
题型二 由二元一次方程的定义求字母的值
1．（2024春•东营区校级月考）若关于x，y的方程7x|m|+（m﹣1）y＝6是二元一次方程，则m的值为（ ）
A．﹣1B．﹣1或1C．1D．2
【分析】根据含有两个未知数并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程得到|m|＝1且m﹣1≠0，求解即可．
【解答】解：∵关于x，y的方程7x|m|+（m﹣1）y＝6是二元一次方程，
∴|m|＝1且m﹣1≠0，
解得m＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，绝对值等知识，解题的关键是理解二元一次方程的定义．
2．（2024春•龙亭区校级期末）若（m﹣3）x|m﹣2|+y＝0是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（ ）
A．1B．3C．0D．1或3
【分析】根据一元二次方程的定义列绝对值方程求解即可．
【解答】解：∵（m﹣3）x|m﹣2|+y＝0是关于x、y的二元一次方程，
∴|m﹣2|＝1且m﹣3≠0，
解得：m＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的定义，正确理解二元一次方程的定义是解题关键，方程的两个未知数的系数不能为0是解题的易错点．
3．（2023春•嘉兴期末）方程（k﹣2）x+2y|k﹣1|+1＝0是关于x，y的二元一次方程，则k的值为（ ）
A．0B．2C．0或2D．3
【分析】根据二元一次方程的定义得出k﹣2≠0且|k﹣1|＝1，再求出k即可．
【解答】解：∵方程（k﹣2）x+2y|k﹣1|+1＝0是关于x，y的二元一次方程，
∴k﹣2≠0且|k﹣1|＝1，
解得：k＝0，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义和绝对值，能根据二元一次方程的定义得出k﹣2≠0和|k﹣1|＝1是解此题的关键．
4．（2023秋•渠县校级月考）若（m﹣2023）x|m|﹣2023+（n+4）y|n|﹣3＝2023是关于x，y的二元一次方程，则（ ）
A．m＝±2024，n＝±4B．m＝﹣2024，n＝±4
C．m＝±2024，n＝4D．m＝﹣2024，n＝4
【分析】根据二元一次方程的定义解答即可．
【解答】解：∵（m﹣2023）x|m|﹣2023+（n+4）y|n|﹣3＝2023是关于x，y的二元一次方程，
∴|m|-2023=1m-2023≠0，|n|-3=1n+4≠0，
解得：m＝±2024，n＝4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
5．（2023春•贵州期中）已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3）yn2-8=6是关于x，y的二元一次方程．
（1）求m，n的值；
（2）求x=12时，y的值．
【分析】二元一次方程是含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，当所含未知数的系数有待定字母时，则必须保证两个未知数的系数都不为零，由此入手列不等式组即可求解．
【解答】解：（1）因为，已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3）yn2-8=6是关于x，y的二元一次方程，
所以，m-2≠0①n+3≠0②|m|-1=1③n2-8=1@
解这个不等式组得：m＝﹣2，n＝3
即：m＝﹣2，n＝3
（2）因为，当m＝﹣2，n＝3时，二元一次方程可化为：﹣4x+6y＝6
所以，当x=12时，有：
﹣4×12+6y＝6
y=43
即：求x=12时，y的值为43
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是能够将定义所限制的条件“翻译”成对应的数学式子．
6．（2023•江北区开学）方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8是关于x、y的方程，试问当k为何值时，（1）方程为一元一次方程？（2）方程为二元一次方程？
【分析】（1）若方程为关于x、y的一元一次方程，则二次项系数应为0，然后x或y的系数中有一个为0，另一个不为0即可．
（2）若方程为关于x、y的二元一次方程，则二次项系数应为0且x或y的系数不为0．
【解答】解：（1）因为方程为关于x、y的一元一次方程，所以：
①k2-4=0k+2=0k-6≠0，解得k＝﹣2；
②k2-4=0k+2≠0k-6=0，无解，
所以k＝﹣2时，方程为一元一次方程．
（2）根据二元一次方程的定义可知k2-4=0k+2≠0k-6≠0，解得k＝2，
所以k＝2时，方程为二元一次方程．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知一元一次方程与二元一次方程的定义．
题型三 由二元一次方程的定义求字母的取值范围
1．（2024春•沭阳县期末）关于x、y的方程kx﹣3y＝2x+1是二元一次方程，则k的取值范围是（ ）
A．k≠0B．k≠3C．k≠2D．k≠﹣2
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数方面考虑．
【解答】解：方程kx﹣3y＝2x+1变形为（k﹣2）x﹣3y﹣1＝0，
根据二元一次方程的定义，得
k﹣2≠0，解得k≠2．
故选：C．
【点评】二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；
（2）含未知数项的最高次数为一次；
（3）方程是整式方程．
2．（2024春•新化县期末）若方程mx﹣2y＝3x+4是关于x、y的二元一次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0B．m≠3C．m≠﹣3D．m≠2
【分析】首先把方程整理为二元一次方程的一般形式，再根据定义要求x、y的系数均不为0，即m﹣3≠0解出即可．
【解答】解：∵mx﹣2y＝3x+4是关于x、y的二元一次方程，
移项合并，得（m﹣3）x﹣2y＝4，
∴m﹣3≠0，
解得m≠3．
故选：B．
【点评】本题主要考查二元一次方程的定义，即一个方程只含有两个未知数，并且所含未知项的次数都是1，那么这个整式方程就叫做二元一次方程．
3．（2024春•西安区校级期末）已知mx﹣3y＝2x+6是关于x，y的二元一次方程，则m的取值范围是 ．
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，由此解答即可．
【解答】解：mx﹣3y＝2x+6，
mx﹣2x﹣3y＝6，
（m﹣2）x﹣3y＝6，
若mx﹣3y＝2x+6是关于x，y的二元一次方程，
则m﹣2≠0，
解得m≠2，
故答案为：m≠2．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
4．（2023春•久治县期末）已知关于x、y的方程（a﹣1）x+（a+2）y+5﹣2a＝0是二元一次方程，则a满足的条件是 ．
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程即可解答．
【解答】解：∵关于x、y的方程（a﹣1）x+（a+2）y+5﹣2a＝0是二元一次方程，
∴a-1≠0a+2≠0，
∴a≠1且a≠﹣2，
故答案为：a≠1且a≠﹣2．
【点评】本题考查了二元一次方程的概念，熟记二元一次方程的概念是解题的关键．
题型四 由二元一次方程的定义求代数式的值
1．（2024春•大余县期末）已知关于x、y的方程2xa﹣2﹣y2+b＝1是二元一次方程，则ab的值为（ ）
A．﹣2B．2C．3D．﹣3
【分析】根据二元一次方程的定义得出a﹣2＝1，2+b＝1，再求出a、b的值，然后代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵关于x、y的方程2xa﹣2﹣y2+b＝1是二元一次方程，
∴a﹣2＝1，2+b＝1，
解得a＝3，b＝﹣1，
∴ab＝3×（﹣1）＝﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
2．（2024春•泸县校级期末）若关于x，y的方程2x3a﹣5﹣2yb+1＝5是二元一次方程，则a+b＝ ．
【分析】根据二元一次方程的定义得出3a﹣5＝1且b+1＝1，求出a＝2，b＝0，最后求出答案即可．
【解答】解：∵关于x，y的方程2x3a﹣5﹣2yb+1＝5是二元一次方程，
∴3a﹣5＝1且b+1＝1，
∴a＝2，b＝0，
∴a+b＝2+0＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，能根据二元一次方程的定义得出3a﹣5＝1且b+1＝1是解此题的关键．
3．（2024秋•武侯区校级月考）已知方程(m+2)xm2-3+(n-2)yn2-8=2是关于x，y的二元一次方程，则（m+n）2＝ ．
【分析】利用二元一次方程的定义，可列出关于m，n的不等式及方程，解之可得出m，n的值，再将其代入（m+n）2中，即可求出结论．
【解答】解：∵方程(m+2)xm2-3+(n-2)yn2-8=2是关于x，y的二元一次方程，
∴m+2≠0m2-3=1n-2≠0n2-8=1，
解得：m=2n=±3．
当m＝2，n＝3时，（m+n）2＝（2+3）2＝25；
当m＝2，n＝﹣3时，（m+n）2＝（2﹣3）2＝1．
故答案为：1或25．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，牢记“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程”是解题的关键．
4．（2023秋•甘州区校级期末）如果2004xm+n﹣1+2005y2m+3n﹣4＝2006是关于x、y的二元一次方程，那么m2+n3的值是 ．
【分析】首先根据二元一次方程的定义，列出关于m、n的二元一次方程组m+n-1=12m+3n-4=1，解方程组求得m、n的值，再将m、n的值代入代数式m2+n3求得结果即可．
【解答】解：由题意得，m+n-1=12m+3n-4=1，
解得m=1n=1，
∴m2+n3＝1+1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查二元一次方程的定义，理解二元一次方程满足的条件是解题的关键．
5．（2024春•柳州期末）如果x=my=n是方程2x﹣3y＝2020的一组解，那么代数式2024﹣2m+3n＝ ．
【分析】先根据方程解的定义求出2m﹣3n的值，再整体代入求值．
【解答】解：∵x=my=n是方程2x﹣3y＝2020的一组解，
∴2m﹣3n＝2020．
∴代数式2024﹣2m+3n＝2024﹣（2m﹣3n）＝2024﹣2020＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了代数式的求值，掌握方程解的意义和整体代入的思想方法是解决本题的关键．
6．（2023秋•新城区校级月考）若方程2x2m+3+3y5n﹣9＝4是关于x，y的二元一次方程，求m2+n2的平方根．
【分析】根据只含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程是二元一次方程，列出方程，即可求出m、n的值，再代入即可得出答案．
【解答】解：根据题意得，
2m+3＝1，5n﹣9＝1，
解得：m＝﹣1，n＝2，
∴m2+n2＝（﹣1）2+22＝5，
∴m2+n2的平方根为±5．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，平方根，关键是二元一次方程定义的熟练掌握．
7．（2023秋•德惠市期末）若（a+3）2与|b﹣1|互为相反数，且关于x的方程a+x4-3y=12x+b的解是x＝﹣1，求2y2﹣3的值．
【分析】利用相反数及非负数的性质求出a与b的值，把a，b，x的值代入方程计算求出y的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：（a+3）2+|b﹣1|＝0，
可得a+3＝0，b﹣1＝0，
解得：a＝﹣3，b＝1，
把x＝﹣1，a＝﹣3，b＝1代入方程得：-3-14-3y=-12+1，
整理得：﹣1﹣3y=12，即3y=-32，
解得：y=-12，
则原式=12-3＝﹣212．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型五 二元一次方程组的识别
1．（2024春•徐汇区校级月考）下列方程组中，是二元二次方程组的是（ ）
A．x+y=4x=9B．x+y=58-3z2=5x
C．xy=7x=16D．1x2-1y2=2y=x-3
【分析】根据二元一次方程组的定义
【解答】解：A、x+y=4x=9不是整式方程组，故不是二元二次方程组，不符合题意；
B、x+y=58-3z2=5x含有3个未知数，故不是二元二次方程组，不符合题意；
C、xy=7x=16是二元二次方程组，符合题意；
D、1x2-1y2=2y=x-3不是整式方程组，故不是二元二次方程组，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二元yi次方程组的定义，解题的关键是掌握“组成二元二次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是二次的整式方程．
2．（2023秋•东明县期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．x+y=-200，x-z=-100 B．m+n=2，n=-25
C．x+y=3，x2-y=8 D．m+n=19，mn=90
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【解答】解：A．含有三个未知数，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意；
B．符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；
C．第2个方程的未知数的最高次数是2，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意．
D．第2个方程含未知数的项的最高次数是2，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
3．（2024秋•温江区校级月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．x+3y=52x-3z=3B．m+n=1m6+2n3=1
C．m+n=5mn+n=6D．3x+2y=10x+2y=6
【分析】根据二元一次方程组的基本形式及特点进行求解即可，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次．
【解答】解：A含有三个未知数，它不是二元一次方程组；
B符合条件，它是二元一次方程组；
C中mn项的次数为2，它不是二元一次方程组；
D中存在不是整式的式子，它不是二元一次方程组；
故选：B．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点．
4．（2024春•宿迁月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．2x+y-xy=13x-2y=3B．3x=y-15x-4z=7
C．x+2y=55x+y=3D．2x+y=73x+y=9
【分析】根据二元一次方程组的定义：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且有两个方程组成的方程组，即可作答．
【解答】解：A．第一个方程含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B．含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C．第一个方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D．是二元一次方程组，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的定义，正确理解二元一次方程组的定义是解题的关键．
5．（2024春•晋江市期中）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．x=1x+y=-3B．x2+y=10x+y=-2
C．x+y=8xy=-5D．x+y=51x+1y=56
【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是二元一次方程组，故本选项符合题意；
B．是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C．是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D．是分式方程组，不是整式方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，能熟记二元一次方程组的定义是解此题的关键，由两个方程组成，并且共含有两个未知数，含未知数的项的最高次数是1次的方程组，叫二元一次方程组．
题型六 由二元一次方程组的定义求字母的值
1．（2023春•平凉期末）方程组y-(a-1)x=5y|a|+(b-5)xy=3是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 ．
【分析】利用二元一次方程组的定义确定出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：由题意得：|a|＝1，b﹣5＝0，a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1，b＝5，
则原式＝（﹣1）5＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键．
2．若方程组2x-7y=13x+az=y是关于x，y的二元一次方程组，则（a﹣1）2019＝ ．
【分析】利用二元一次方程组的定义求出a的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：∵方程组2x-7y=13x+az=y是关于x，y的二元一次方程组，
∴a＝0，
则原式＝﹣1，
故答案为：﹣1
【点评】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键．
3．（2023春•涪城区期末）若方程组y|m|+(2-n)xy=2(m-1)x=3是关于x，y的二元一次方程组，则mn＝ ．
【分析】先根据二元一次方程组的概念得出|m|=12-n=0m-1≠0，据此求出m、n的值，代入计算可得．
【解答】解：根据题意知，|m|=12-n=0m-1≠0，
解得m＝﹣1，n＝2，
则mn＝（﹣1）2＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是一元二次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
4．（2024秋•长寿区校级月考）若方程组4x-2y=7y+az+3x=0是二元一次方程组，则a的值为 ．
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．
【解答】解：两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，
则a＝0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
5．（2023春•河北区期末）若方程组x-(c+3)xy=3xa-2-yb+3=4是关于x，y的二元一次方程组，则代数式a+b+c的值是 ．
【分析】根据二元一次方程组的定义：
（1）含有两个未知数；
（2）含有未知数的项的次数都是1．
【解答】解：由二元一次方程组的概念，得
c+3＝0，a﹣2＝1，b+3＝1
解得
c＝﹣3，a＝3，b＝﹣2
所以a+b+c＝﹣2．
或c+3＝0，a﹣2＝0，b+3＝1，
解得
c＝﹣3，a＝2，b＝﹣2，
所以a+b+c＝﹣3．
故答案为：﹣2或﹣3．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解．
题型七 二元一次方程的解
1．（2023秋•榆次区校级期末）二元一次方程x+2y＝6的一个解是（ ）
A．x=2y=2B．x=2y=3C．x=2y=4D．x=2y=6
【分析】分别将选项中的解代入方程，使等式成立的即是它的解．
【解答】解：A、2+4＝6，能使方程成立，故该选项正确，符合题意；
B、2+6＝8，不能使方程成立，故该选项不正确，不符合题意；
C、2+8＝10，不能使方程成立，故该选项不正确，不符合题意；
D、2+12＝14，不能使方程成立，故该选项不正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
2．（2023秋•敦煌市期末）若x=3y=-2是关于x、y的方程x﹣my＝13的一个解，则m的值
是（ ）
A．5B．﹣5C．8D．﹣8
【分析】把x=3y=-2代入x﹣my＝13，再解关于m的方程即可．
【解答】解：∵x=3y=-2是关于x、y的方程x﹣my＝13的一个解，
∴3+2m＝13，
解得：m＝5，
故选A．
【点评】本题考查的是二元一次方程的解，掌握“方程的解使方程的左右两边的值相等”是解本题的关键．
3．（2023秋•东河区期末）若x=1y=-2，是关于x和y的二元一次方程mx+ny＝3的解，则2m﹣4n的值等于（ ）
A．3B．6C．﹣1D．﹣2
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m﹣2n＝3，把所求式子因式分解后代入计算即可．
【解答】解：将x=1y=-2代入方程mx+ny＝3得：m﹣2n＝3，
∴2m﹣4n＝2（m﹣2n）＝2×3＝6．
故选：B．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4．（2024春•江城区校级期中）已知x=1y=2是关于x，y的方程，x+ky＝3的一个解，则k的值
为（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出k的值．
【解答】解：∵x=1y=2是关于x、y的方程x+ky＝3的一个解，
∴把x=1y=2代入到原方程，得1+2k＝3，
解得k＝1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟知方程的解是使方程两边相等的未知数的值是解题的关键．
5．（2024春•长沙期末）若x=2y=1，是关于x，y的二元一次方程ax+2y＝3的一组解，则a＝ ．
【分析】将x=2y=1代入ax+2y＝3，即可求得a．
【解答】解：∵x=2y=1是关于x，y的二元一次方程ax+2y＝3的一组解，
∴2a+2×1＝3，解得a=12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，掌握能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解是解题的关键．
6．（2024•榆林开学）若x=ay=-3是二元一次方程3x+2y＝6的一组解，则a的值为 ．
【分析】把x=ay=-3代入二元一次方程3x+2y＝6中，得到关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：因为x=ay=-3是二元一次方程3x+2y＝6的一组解，
所以3a+2×（﹣3）＝6，
解得：a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解：是使二元一次方程两边值相等的一对未知数的值．
7．（2023秋•丰顺县期末）已知x=2y=3是方程mx+ny＝5的解，则代数式4m+6n﹣1的值为 ．
【分析】把x=2y=3代入方程mx+ny＝5得出2m+3n＝5，变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：把x=2y=3代入方程mx+ny＝5得：
2m+3n＝5，
所以4m+6n﹣1＝2（2m+3n）﹣1＝2×5﹣1＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，能求出2m+3n＝5是解此题的关键．
8．（2024春•章贡区期末）若x=ay=b是方程3x+y＝1的一个解，则9a+3b+4＝ ．
【分析】把方程的解代入方程，把关于x和y的方程转化为关于a和b的方程，再根据系数的关系来求解．
【解答】解：把x=ay=b代入方程3x+y＝1，得
3a+b＝1，
所以9a+3b+4＝3（3a+b）+4＝3×1+4＝7，
即9a+3b+4的值为7．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，注意运用整体代入的思想．
9．（2024春•舒兰市校级期末）已知m=2n=3是关于m，n的二元一次方程3m+an＝18的一组解．
（1）求a的值；
（2）请用含有m的代数式表示n．
【分析】（1）将m=2n=3代入3m+an＝18，得出关于a方程，解关于a的方程即可；
（2）把a＝4代入3m+an＝18得3m+4n＝18，将n看作未知数，m看作已知数，解方程即可．
【解答】解：（1）将m=2n=3代入3m+an＝18，得
3×2+3a＝18，
解得a＝4．
（2）∵a＝4，
∴原方程可变为3m+4n＝18，
∴4n＝18﹣3m，
∴n=18-3m4．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是理解二元一次方程组解的定义．
题型八 二元一次方程的整数解
1．（2023春•建华区校级期中）关于x和y的二元一次方程，2x+3y＝20的正整数解有（ ）组．
A．1B．2C．3D．4
【分析】将y看作已知数，求出x，即可确定出方程的正整数解．
【解答】解：2x+3y＝20，
x=12(20-3y)，
当y＝2时，x＝7；当y＝4时，x＝4；当y＝6时，x＝1，
则方程的正整数解有3对．
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看作已知数，表示出x．
2．（2024春•淮滨县期末）写出二元一次方程2x﹣y＝5的一个整数解 ．
【分析】只要写出的整数解使方程2x﹣y＝5成立即可．
【解答】解：∵2x﹣y＝5，
∴x=3y=1是方程的解，
故答案为x=3y=1（答案不唯一）．
【点评】本题考查二元一次方程的解，注意二元一次方程的解的无限性是解题的关键．
3．（2024春•铁岭县期末）请写出二元一次方程x+y＝3的一个整数解： ．
【分析】任意给定义一个x的值，然后求得对应的y值即可．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝3，
∴x=0y=3是二元一次方程x+y＝3的一个整数解．
故答案为：x=0y=3．
【点评】本题主要考查的是方程的解得定义，掌握方程的解得定义是解题的关键．
4．（2024春•聊城期中）已知二元一次方程x+2y＝7，请写出该方程的一组正整数解 ．
【分析】根据二元一次方程的解的定义即可写出一组正整数解．
【解答】解：x+2y＝7，
当x＝1，y＝3，
∴方程x+2y＝7的解为：
x=1y=3（答案不唯一）；
故答案为：x=1y=3（答案不唯一）．
【点评】本题考查二元一次方程的解，掌握代入法是关键．
5．（2024春•榆树市期中）二元一次方程2x+y＝3的非负整数解有 组．
【分析】分别令x＝0，1，2，3…，然后代入方程2x+y＝3中，求出y值，再进行判断即可．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝3；
当x＝1时，2+y＝3，y＝1；
当x＝2时，4+y＝3，y＝﹣1，
当x＝3时，6+y＝3，y＝﹣3；
…，
∴二元一次方程2x+y＝3的非负整数解为：x=0y=3，x=1y=1，共2组，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．
6．（2024春•岱岳区期中）方程3x+2y＝15的正整数解有 个．
【分析】根据解为正整数列举即可．
【解答】解：方程3x+2y＝15的正整数解有x=1y=6，x=3y=3，共2个，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解的情况是解题的关键．
题型九 二元一次方程组的解
1．（2024春•凉州区期末）若x=2y=-1是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（ ）
A．x-3y=5x+y=1B．x+y=10y=2x-3
C．x+y=10x=2y+3D．x+y=10x=2y-3
【分析】将x=2y=-1代入各方程组进行检验、求解．
【解答】解：∵当x=2y=-1时，
x﹣3y＝2﹣3（﹣1）＝2+3＝5，x+y＝2﹣1＝1，
∴选项A符合题意，选项B，C，D不符合题意，
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程组解定义的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．
2．（2024春•周口期末）解为x=-1y=-3的方程组可以是（ ）
A．x-y=22x-y=5B．x+y=-22x+y=5
C．x-y=22x-y=1D．x+y=-22x-y=5
【分析】将x=-1y=-3代入各选项进行排除即可．
【解答】解：A、将x=-1y=-3代入x-y=22x-y=5可知x﹣y＝2，2x﹣y＝1≠5，不符合题意；
B、将x=-1y=-3代入x+y=-22x+y=5可知x+y＝﹣4≠2，2x+y＝﹣5≠5，不符合题意；
C、将x=-1y=-3代入x-y=22x-y=1可知x﹣y＝2，2x﹣y＝1，符合题意；
D、将x=-1y=-3代入x+y=-22x-y=5可知x+y＝﹣4≠2，2x﹣y＝1≠5，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，正确理解二元一次方程组的解得定义是解题的关键．
3．（2024春•宜城市期末）如果方程x+y＝3与下面方程中的一个组成的方程组的解为x=1y=2，那么这个方程可以是（ ）
A．5x﹣y＝3B．5x﹣2y＝2C．3y﹣2x＝3D．2（y﹣x）＝x
【分析】根据二元一次方程组解的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A.x=1y=2是方程5x﹣y＝3的解，因此选项A符合题意，
B.x=1y=2不是方程5x﹣2y＝2的解，因此选项B不符合题意，
C.x=1y=2不是方程3y﹣2x＝3的解，因此选项C不符合题意，
D.x=1y=2不是方程2（y﹣x）＝x的解，因此选项D不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组解的定义是正确解答的关键．
4．（2024春•开州区期中）若二元一次方程组x+y=3□=1的解为x=2y=1则“□”可以表示为（ ）
A．xB．x2﹣3yC．y﹣xD．x﹣y
【分析】根据二元一次方程组的解的定义，即可得到答案．
【解答】解：∵二元一次方程组x+y=3□=1的解为x=2y=1，
∴x﹣y＝1，即“□”可以表示为x﹣y，
故选：D．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握方程组的解的意义是关键．
5．（2023秋•碑林区校级月考）下列方程组中是二元一次方程组的是 ．（填写序号）
①x+y=2x-z=1
②x+y=4x2-y2=8
③x+y=11x-y=32
④2x-y=32y+x=4
【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．
【解答】解：①含有3个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意；
②未知数的最高次数是2，不是二元一次方程组，故不符合题意；
③分母含未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意；
④是二元一次方程组，故符合题意；．
故答案为：④．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程组的定义，只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组．
题型十 根据实际问题列二元一次方程（组）
1．（2024春•德城区期末）将一个长方形的长减少5cm，宽变成现在的2倍，就成为了一个正方形，设这个长方形的长为x cm，宽为y cm，则下列方程中正确的是（ ）
A．x+5＝2yB．x+5＝y+2C．x﹣5＝2yD．x﹣5＝y+2
【分析】根据将一个长方形的长减少5cm，宽变成现在的2倍，就成为了一个正方形可得等量关系：长﹣5＝宽×2，依此得出方程即可．
【解答】解：由题意，得：x﹣5＝2y．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程的知识，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系．
2．（2023•永州）某2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2.7（1+x）2＝2.36B．2.36（1+x）2＝2.7
C．2.7（1﹣x）2＝2.36D．2.36（1﹣x）2＝2.7
【分析】利用2022年间每年人均可支配收入＝2020年间每年人均可支配收入×（1+每年人均可支配收入的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得2.36（1+x）2＝2.7．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2024•惠山区一模）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”设有醇酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意可列方程组为（ ）
A．x+y=193x+13y=33B．x+y=19x+3y=33
C．x+y=1913x+3y=33D．x+y=193x+y=33
【分析】根据“醇酒数量+薄酒数量＝19和喝醇酒醉倒人数+喝薄酒醉倒人数＝33”可列方程组．
【解答】解：根据题意，可列方程组为x+y=193x+13y=33．
故选：A．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是掌握理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
4．（2024•宝安区二模）现有x辆载重6吨的卡车运一批重y吨的货物，若每辆卡车装5吨，则剩下2吨货物；若每辆卡车装满后，最后一辆卡车只需装4吨，即可装满所有货物．根据题意，可列方程（组）（ ）
A．5x+2＝6（x﹣1）+4B．5x+2＝6x﹣4
C．5x-y=2y-6(x-1)=4D．y-5x=26x-y=4
【分析】根据“每辆卡车装5吨，则剩下2吨货物；若每辆卡车装满后，最后一辆卡车只需装4吨，即可装满所有货物”，即可得出关于x的一元一次方程或方程组．
【解答】解：根据每辆卡车装5吨，则剩下2吨货物，可得y﹣5x＝2，即y＝5x+2，
根据每辆卡车装满后，最后一辆卡车只需装4吨，即可装满所有货物，可得y﹣6（x﹣1）＝4，
∴得一元一次方程为5x+2＝6（x﹣1）+4或者方程组为y-5x=2y-6(x-1)=2，故选项A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程或由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
5．（2024•金牛区模拟）某工厂去年的利润（总产值﹣总支出）为200万元．今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元．去年的总产值、总支出各是多少万元？设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则可列方程组为（ ）
A．x-y=200(1+20%)x-(1-10%)y=780
B．x-y=200(1+20%)y+(1-10%)x=780
C．x-y=200(1+20%)x+(1-10%)y=780
D．x+y=200(1+20%)x+(1-10%)y=780
【分析】根据今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%即可解决．
【解答】解：根据题意，可列方程组x-y=200(1+20%)x-(1-10%)y=780．
故选：A．
解题技巧提炼
判断二元一次方程的方法是看它是否需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
解题技巧提炼
判断二元一次方程的方法是看它是否需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
解题技巧提炼
由二元一次方程的定义求字母的取值范围，主要是根据未知数的系数不为0得出字母的取值范围.
解题技巧提炼
将二元一次方程的定义求出关于字母参数的值，然后再代入字母参数的值求代数式的值即可解答.
解题技巧提炼
本题运用定义法解题，在识别二元一次方程组时，首先看是否有两个未知数，其次看含未知数的项的次数是否是1，另外还要注意方程是不是整式方程.
解题技巧提炼
二元一次方程组的定义：方程组有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
解题技巧提炼
二元一次方程的解的定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
解题技巧提炼
利用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的方法，可以求出方程有正整数解时 x、y的取值范围，然后再进一步确定解.
解题技巧提炼
一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程（组）的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
解题技巧提炼
由实际问题列二元一次方程组：在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出表示问题的两个相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出二元一次方程组．