湘美版三年级上册提复习练习题

这是一份湘美版三年级上册提复习练习题，共25页。试卷主要包含了直接代入解，解决字母参数的问题，方程组的解满足某一附加条件，利用二元一次方程组解决错解问题等内容，欢迎下载使用。

题型一 直接代入解，解决字母参数的问题
1．（2023春•海安市月考）若x=1y=4是关于x，y的二元一次方程ax+by=3的解，那么73-4b-a的值是（ ）
A．7B．73C．63D．-73
【分析】把方程的解代入方程，则得到a+4b=3，再整体代入即可求解．
【解答】解：∵x=1y=4是二元一次方程ax+by=3的解，
∴a+4b=3，
∴73-4b-a=73-(a+4b)=73-3=63．
故选：C．
【点评】本题主要考查二元一次方程的解，解答的关键是把方程的解代入得到a+4b=3．
2．（2024春•衡山县月考）若关于x，y的二元一次方程ax+by﹣2＝0的两个解分别是x=5y=3或x=-1y=-3，则a，b的值是（ ）
A．a＝1，b＝0B．a＝1，b＝﹣1C．a＝﹣1，b＝1D．a＝1，b＝2
【分析】分别把两组解代入二元一次方程组，再根据加减消元法解二元一次方程组的方法即可求解．
【解答】解：根据题意，把方程的两组解代入得，5a+3b-2=0①-a-3b-2=0②，
①+②得，a＝1，
把a的值代入②得，b＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握其运算方法是解题的关键．
3．（2024春•中山市期中）若x=2y=-3是关于x和y的二元一次方程kx﹣2y＝4的解，则k的值是（ ）
A．﹣1B．-83C．1D．5
【分析】根据题意得2k﹣2×（﹣3）＝4，进一步计算即可求解．
【解答】解：∵x=2y=-3是关于x和y的二元一次方程kx﹣2y＝4的解，
∴2k﹣2×（﹣3）＝4，
解得k＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，掌握解二元一次方程的步骤是关键．
4．（2024春•武昌区校级期中）关于x，y的二元一次方程组2x+ay=4ax-by=5的解是x=1y=2，则a+b的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】首先根据题意，可得2a+2=4①a-2b=5②，解二元一次方程组，求出a、b的值，然后把求出的a、b的值代入a+b计算即可．
【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组2x+ay=4ax-by=5的解是x=1y=2，
∴2a+2=4①a-2b=5②，
由①，可得a＝1，
把a＝1代入②，可得1﹣2b＝5，
解得b＝﹣2，
∴关于a、b的二元一次方程组2a+2=4①a-2b=5②的解是a=1b=-2，
∴a+b＝1+（﹣2）＝﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是求出a、b的值．
5．（2024春•漳州期末）若方程组ax+by=2bx+ay=4的解是x=1y=2，则a+b的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】已知方程组的解，可把解代入原方程组，得到关于a、b的新方程组，进行解答，求出a、b，代入代数式即可解答．
【解答】解：把x=1y=2代入方程组ax+by=2bx+ay=4得：a+2b=22a+b=4，
解得：a=2b=0，
∴a+b＝2+0＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是解二元一次方程组．
6．（2024春•兰考县期中）已知x=3y=2是二元一次方程组ax+by=4bx-ay=3的解，则a+5b的值是（ ）
A．7B．5C．4D．3
【分析】先代入方程组的解可得3a+2b=4①3b-2a=3②，再把两个方程相加即可．
【解答】解：由题意得：3a+2b=4①3b-2a=3②，
①+②得：a+5b＝7，
故选：A．
【点评】本题考查的是二元一次方程的解的含义，二元一次方程组的特殊解法，解答本题的关键是熟练掌握加减消元法解二元一次方程．
7．（2024春•大足区校级期中）关于x、y的方程组3x-y=mx+my=n的解是x=1y=1，则3m+n的值是（ ）
A．4B．9C．5D．11
【分析】把x=1y=1代入关于x、y的方程组3x-y=mx+my=n，求出m，n，再把m，n的值代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：把x=1y=1代入关于x、y的方程组3x-y=mx+my=n得：
m=2①1+m=n②，
把①代入②得：n＝3，
∴3m+n
＝3×2+3
＝6+3
＝9，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解：解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使方程左右两边相等的未知数的值．
8．（2024春•兰考县期中）已知关于x、y的二元一次方程组ax-by=-4bx+ay=-8的解为x=2y=-2．
（1）求a、b的值；
（2）求2024a﹣b的值．
【分析】（1）把x=2y=-2代入关于x、y的二元一次方程组ax-by=-4bx+ay=-8得关于a，b的方程组，解方程组求出a，b即可；
（2）把（1）中所求a，b代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：把x=2y=-2代入关于x、y的二元一次方程组ax-by=-4bx+ay=-8得：
2a+2b=-4①2b-2a=-8②，
①+②得：b＝﹣3，
把b＝﹣3代入①得：a＝1，
∴a＝1，b＝﹣3；
（2）由（1）得：a＝1，b＝﹣3，
∴2024a﹣b
＝2024×1﹣（﹣3）
＝2024+3
＝2027，
∴2024a﹣b的值为2027．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值．
9．（2024春•沙依巴克区期末）若 a=2b=1是关于a、b的二元一次方程组32ax+by=5ax-by=2的解，求x+2y的算术平方根．
【分析】所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．把a、b的值代入原方程组可转化成关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求出x、y的值．
【解答】解：把 a=2b=1代入方程组32ax+by=5ax-by=2，
得3x+y=5①2x-y=2②，
由①﹣②，得x+2y＝3，
由①+②，得5x＝7，
所以x=75，y=45．
所以x+2y＝3．
x+2y的算术平方根为3．
【点评】一要注意方程组的解的定义；
二要熟练解方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法．
题型二 二元一次方程（组）同解问题
1．（2023秋•昌图县期末）已知方程组5x+y=3x-2y=5和ax+2y=12x+by=8有相同的解，则a，b的值
为（ ）
A．a＝﹣5，b＝3B．a＝3，b＝﹣5C．a＝5，b＝﹣3D．a＝﹣3，b＝5
【分析】先求出方程组5x+y=3x-2y=5的解，再代入方程组ax+2y=12x+by=8可得关于a、b的方程组，解方程组即可求解．
【解答】解：解方程组5x+y=3x-2y=5，得x=1y=-2，
代入代入方程组ax+2y=12x+by=8，得a-4=12-2b=8，
解得a＝5，b＝﹣3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解及二元一次方程组的解法，正确理解题意，然后根据题意得到关于待定系数的方程组，解方程组是解答此题的关键．
2．（2023春•禹州市期末）已知关于x，y的方程组4x+y=-5ax-by=1和3x-y=-93ax+2by=18有相同的解，则a2﹣b2的值是（ ）
A．﹣3B．3C．0D．﹣4
【分析】根据方程组解的定义，先求出方程组的解，再把方程组的解代入含a、b的方程组，求出a、b，最后求出a2﹣b2．
【解答】解：∵方程组4x+y=-5ax-by=1和3x-y=-93ax+2by=18有相同的解，
∴方程组4x+y=-53x-y=-9和ax-by=13ax+2by=18有相同的解．
解方程组4x+y=-53x-y=-9得x=-2y=3．
把x=-2y=3代入方程组ax-by=13ax+2by=18得，
-2a-3b=1-6a+6b=18．
解这个方程组，得a=-2b=1．
∴a2﹣b2＝（﹣2）2﹣12＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组，掌握方程组的解法是解决本题的关键．
3．（2023秋•北碚区校级期末）关于x，y的方程组2x+3y=19ax+by=-1与3x-2y=9bx+ay=-7有相同的解，则a+4b−3的值为（ ）
A．−1B．−6C．−10D．−12
【分析】解不等式组2x+3y=193x-2y=9，可得出x=5y=3，将其代入ax+by=-1bx+ay=-7中，可求出a，b的值，再将a，b的值，代入a+4b−3中，即可求出结论．
【解答】解：不等式组2x+3y=193x-2y=9的解为x=5y=3，
将x=5y=3代入关于x，y的方程组ax+by=-1bx+ay=-7得：5a+3b=-15b+3a=-7，
解得：a=1b=-2，
∴a+4b−3＝1+4×（﹣2）﹣3＝﹣10．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．
4．（2024春•船营区校级期末）已知关于x、y的方程组mx+2ny=42x-3y=7与3x+2y=4nx+(m-1)y=3的解相同．
（1）求这个相同的解；
（2）求m，n的值．
【分析】（1）根据题意得出相同的解是方程组2x-3y=73x+2y=4的解即可；
（2）将（1）中求出的x、y的值代入关于m、n的方程，解方程组即可．
【解答】解：（1）由题意得，
2x-3y=73x+2y=4，
解得x=2y=-1，
即这个相同的解是x=2y=-1；
（2）将x=2y=-1代入方程mx+2ny＝4和nx+（m﹣1）y＝3中，得
2m-2n=4-m+2n=2，
解得m=6n=4．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，根据题意组成新的方程组是解题的关键．
5．（2024春•邯山区期末）已知方程组4x+y=53x-2y=1和ax+by=3ax-by=1有相同的解，求a2﹣2ab+b2的值．
【分析】先求出已知方程组（1）的解，再代入方程组（2）即可求出a、b的值，进一步即可求解．
【解答】解：解方程组4x+y=53x-2y=1得x=1y=1，
把x=1y=1代入第二个方程组得a+b=3a-b=1，解得a=2b=1，
则a2﹣2ab+b2＝22﹣2×2×1+12＝1．
【点评】考查了同解方程组，解答此题的关键是要弄清题意，方程组有相同的解及说明方程组（1）的解也适合（2），不要盲目求解，造成解题过程复杂化．
6．（2023春·湖南常德·七年级统考期中）已知关于x，y的方程组mx+2ny=4x+y=1与x-y=3nx+m-1y=3有相同的解，
(1)求这个相同的解；
(2)求m、n的值；
(3)小明同学说，无论a取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程(3+a)x+(2a+1)y=5的解，这句话对吗？请你说明理由．
【分析】（1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；
（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可；
（3）将（1）所求的解代入(3+a)x+(2a+1)y=5，再化简，即得出5=5，即说明这句话对．
【解答】（1）由题意可得：x+y=1x-y=3，
解得x=2y=-1；
（2）将x=2y=-1代入含有m，n的方程得：2m-2n=42n-m-1=3，
解得：m=6n=4；
（3）将x=2y=-1代入3+ax+2a+1y=5，得：
3+a×2+2a+1×-1=5，
化简得：6+2a-2a-1=5，即5=5．
所以无论a取何值，x=2y=-1都是方程3+ax+2a+1y=3的解．
【点评】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键．
7．（2024春•南昌期末）已知关于x，y的方程组2x-y=72ax-by=4和x+2y=1ax+2by=7有相同的解．
（1）求出它们的相同解；
（2）求（a+b）2024的值．
【分析】（1）根据已知条件，重新把不含有a，b的两个方程联立成方程组，利用加减消元法，求出x，y的值即可；
（2）把（1）中所求的x＝3，y＝﹣1分别代入2ax﹣by＝4和ax+2by＝7得关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，再代入计算即可．
【解答】解：（1）由题意得：2x-y=7①x+2y=1②，
①×2得：4x﹣2y＝14③，
②+③得：x＝3，
把x＝3代入②得：y＝﹣1，
∴方程组的解为：x=3y=-1；
（2）把（1）中所求的x＝3，y＝﹣1分别代入2ax﹣by＝4和ax+2by＝7得：6a+b=43a-2b=7，
①×2得：12a+2b＝8③，
②+③得：a＝1，
把a＝1代入①得：b＝﹣2，
∴（a+b）2023
＝[1+（﹣2）]2024
＝（﹣1）2024
＝1．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值．
8．（2024春•长葛市期末）已知关于x、y的方程组2x+5y=-26mx-ny=-4和3x-2y=18mx+ny=-8的解相同．
（1）求m、n的值．
（2）求m+36n的平方根．
【分析】（1）把不含有m，n的两个二元一次方程联立成方程组，解方程组求出x，y，再把x，y的值代入含有m，n的方程，联立成方程组，解方程组求出m，n即可；
（2）把（1）中所求的m，n代入m+36n进行计算，然后求出其平方根即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
2x+5y=-26①3x-2y=18②，
①×2得：4x+10y＝﹣52③，
②×5得：15x﹣10y＝90④，
③+④得：19x＝38，
x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣6，
把x＝2，y＝﹣6分别代入mx﹣ny＝﹣4和mx+ny＝﹣8得：
2m+6n=-4①2m-6n=-8②，
①+②得：m＝﹣3，
把m＝﹣3代入①得：n=13，
∴m=-3n=13；
（2）由（1）可知：m＝﹣3，n=13，
∴m+36n=-3+36×13=9，
∴9的平方根为±3，
答：m+36n的平方根为±3．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握利用加减消元法解二元一次方程组．
题型三 方程组的解满足某一附加条件
1．（2023秋•峄城区校级期末）已知关于x，y的二元一次方程组2x-5y=3n+7x-3y=4的解相等，则n的值是（ ）
A．3B．-13C．1D．13
【分析】把x＝y代入方程组中进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：2x-5y=3n+7①x-3y=4②，
解②得：x＝y＝﹣2，
把x＝y＝﹣2代入①得：2×（﹣2）﹣5×（﹣2）＝3n+7，
解得：n=-13，
∴故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是关键．
2．（2024春•南陵县期末）关于x，y的方程组2x-y=3mx-2y=m-2的解中x与y的差等于2，则m的值为（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
【分析】两个方程相加后，再根据解的情况，得到m的一元一次方程，进行求解即可．
【解答】解：2x-y=3m①x-2y=m-2②，
①+②，得：3x﹣3y＝4m﹣2，
∵x与y的差等于2，
∴x﹣y＝2，
∴3（x﹣y）＝3×2＝4m﹣2，
∴m＝2；
故选：C．
【点评】本题考查已知二元一次方程组的解的情况，求参数的值，熟练掌握加减消元法是关键．
3．（2024春•南安市期中）若关于x，y的方程组5x-2y=4k-62x+9y=3k-8的解满足x+y＝2024，则k等于（ ）
A．2026B．2025C．2023D．2022
【分析】直接让方程组中的两个方程相加即可得出7x+7y＝7k﹣14，于是得到x+y＝k﹣2，结合x+y＝2024即可求出k的值．
【解答】解：5x-2y=4k-6①2x+9y=3k-8②，
①+②，得7x+7y＝7k﹣14，
解得x+y＝k﹣2，
∵x+y＝2024，
∴k﹣2＝2024，
解得k＝2026，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组中未知数的系数特点得出x+y＝k﹣2是解题的关键．
4．（2024秋•市中区期中）若关于x，y的二元一次方程组x+2y=k-12x+y=2k+1的解满足x﹣y＝5，则k的值为 ．
【分析】用方程组中的第二个方程减去第一个方程，即可得出x﹣y＝k+2，再结合已知即可求出k的值．
【解答】解：x+2y=k-1①2x+y=2k+1②，
②﹣①，得x﹣y＝k+2，
∵x﹣y＝5，
∴k+2＝5，
∴k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，观察方程组未知数系数的特点，直接相减得出x﹣y＝k+2是解题的关键．
5．（2024秋•青羊区校级月考）如果方程组2x+3y=7y=2x-3的解也是方程3x+my﹣8＝0的一个解，则m的值为 ．
【分析】先求出二元一次方程组的解，再代入3x+my﹣8＝0，解一元一次方程即可得到m的值．
【解答】解：2x+3y=7①y=2x-3②，
把②代入①得：2x+3（2x﹣3）＝7，
解得：x＝2，
把x＝2代入②得：y＝2×2﹣3＝1，
∴原方程组的解为x=2y=1．
∵方程组2x+3y=7y=2x-3的解也是方程3x+my﹣8＝0的一个解，
∴3×2+m﹣8＝0，
解得：m＝2，
∴m的值为2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
6．（2024•两江新区校级开学）已知关于x、y的方程组x+2y=k-22x+y=k-1中，满足x+y＝5，则3x+y的值为 ．
【分析】先把方程组中的两个方程相加求出x+y，再根据x+y＝5列出关于k的方程，解方程求出k，然后把x+y＝5与方程组的一个方程联立成方程组，解方程组求出x，y，最后代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：x+2y=k-2①2x+y=k-1②，
①+②得：3x+3y＝2k﹣3，
∴x+y=2k3-1，
∵x+y＝5，
∴2k3-1=5，
2k3=6，
2k＝18，
k＝9，
∴x+2y=7①x+y=5②，
①﹣②得：y＝2，
把y＝2代入②得：x＝3，
∴方程组的解为：x=3y=2，
∴3x+y
＝3×3+2
＝9+2
＝11，
故答案为：11．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．
7．（2024春•邹城市校级月考）如果关于x、y的方程组x-y=4mx+2y=m-3的解也是二元一次方程3x+2y＝14的一个解，求m的值．
【分析】先解方程组组x-y=4mx+2y=m-3得x=3m-1y=-1-m，再根据x=3m-1y=-1-m也是二元一次方程3x+2y＝14的一个解得2（3m﹣1）+2（﹣1﹣m）＝14，由此可得m的值．
【解答】解：对于方程组x-y=4m①x+2y=m-3②，
②﹣①得：y＝﹣1﹣m，
将y＝﹣1﹣m代入①得：x﹣（﹣1﹣m）＝4m，
∴x＝3m﹣1，
∴方程组x-y=4m①x+2y=m-3②的解为x=3m-1y=-1-m，
又∵关于x、y的方程组x-y=4mx+2y=m-3的解也是二元一次方程3x+2y＝14的一个解，
∴2（3m﹣1）+2（﹣1﹣m）＝14，
∴m=197．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，理解二元一次方程的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解决问题的关键．
8．（2024春•凉州区校级期末）关于x，y的方程组2x+y=5k+2x-y=k-5的解满足x＝3，y＝6，
（1）求k的值．
（2）化简|k+5|+|k﹣3|．
【分析】（1）将x＝3，y＝6，代入方程组解答即可，
（2）利用（1）求得的k值，化简绝对值即可．
【解答】解：（1）将x＝3，y＝6代入2x+y=5k+2x-y=k-5得：
12=5k+2-3=k-5，
解得：k＝2；
（2）把k＝2代入|k+5|+|k﹣3|得
＝|2+5|+|2﹣3|
＝7+1
＝8．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解以及化简绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型四 利用二元一次方程组解决错解问题
1．（2023秋•邹平市期末）在解关于x、y的方程组ax+8y=7①3x-by=4②时甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2，乙看错②中的b，解得x＝﹣3，y＝﹣1，则a和b的正确值应是（ ）
A．a＝﹣4.25，b＝3B．a＝4，b＝13
C．a＝4，b＝4D．a＝﹣5，b＝4
【分析】将x＝4，y＝2代入3x﹣by＝4中求得b的值，再将x＝﹣3，y＝﹣1代入ax+8y＝7中解得a的值即可．
【解答】解：将x＝4，y＝2代入3x﹣by＝4得12﹣2b＝4，
解得：b＝4，
将x＝﹣3，y＝﹣1代入ax+8y＝7得﹣3a﹣8＝7，
解得：a＝﹣5，
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，结合已知条件，将方程的解代入正确的方程是解题的关键．
2．（2023秋•敦煌市期末）解方程组ax+by=2cx-7y=8时，甲同学正确解得x=3y=2，乙同学因把c写错而得到x=-2y=1，则a+b+c＝ ．
【分析】由题意得到关于a，b的二元一次方程组，解得a，b的值，再将x=3y=2代入cx﹣7y＝8中求得c的值，然后将它们代入a+b+c中计算即可．
【解答】解：由题意可得3a+2b=2-2a+b=2，
解得：a=-27b=107，
将x=3y=2代入cx﹣7y＝8可得：3c﹣14＝8，
解得：c=223，
则a+b+c=-27+107+223=87+223=17821，
故答案为：17821．
【点评】本题考查解二元一次方程组，结合已知条件求得a，b，c的值是解题的关键．
3．（2023春•石河子期末）已知方程组ax+by=35x-cy=1，甲正确地解得x=2y=3，而乙粗心地把c看错了，得x=3y=6，试求出a，b，c的值．
【分析】把x=2y=3，x=3y=6代入方程ax+by＝3即可得到一个关于a，b的方程组，即可求得a，b的值，把x=2y=3代入方程5x﹣cy＝1即可求得c的值．
【解答】解：根据题意得：2a+3b=33a+6b=3，
解得：a=3b=-1，
把x=2y=3代入方程5x﹣cy＝1，得到：10﹣3c＝1，
解得：c＝3．
故a＝3，b＝﹣1，c＝3．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，方程的解的定义，正确理解定义是解题的关键．
4．（2023•拱墅区模拟）已知▲x+●y=1■x-7y=1是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是x=3y=-1，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x=-2y=1．”请你根据以上信息，把方程组复原出来．
【分析】设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，利用方程组解的意义列出关于a，b，c的方程组，解方程组即可得出结论．
【解答】解：设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，
∵这个方程组的解是x=3y=-1，
∴3a-b=13c+7=1，
∴c＝﹣2．
∵看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x=-2y=1，
∴﹣2a+b＝1，
∴-2a+b=13a-b=1，
解得：a=2b=5．
∴原方程组为2x+5y=1-2x-7y=1．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的意义是解题的关键．
5．（2024春•东安县期中）甲、乙两位同学在解方程组ax+3y=9bx-4y=4时，甲把字母a看错了得到方程组的解为x=4y=1；乙把字母b看错了得到方程组的解为x=3y=2．
（1）求a，b的正确值；
（2）求原方程组的解．
【分析】（1）由题意将x=4y=1代入bx﹣4y＝4，将x=3y=2代入ax+3y＝9，分别求解a、b即可；
（2）由（1）得方程组x+3y=9①2x-4y=4②，再由加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：（1）由题意，将x=4y=1代入bx﹣4y＝4，得4b﹣4＝4，
∴b＝2，
将x=3y=2代入ax+3y＝9，得3a+6＝9，
∴a＝1；
（2）x+3y=9①2x-4y=4②，
①×2﹣②，得y＝1.4，
将y＝1.4代入①得，x＝4.8，
∴方程组的解为x=4.8y=1.4．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．
6．（2023秋•北碚区校级期末）涵涵和轩轩同解一个二元一次方程组mx+ny=14①nx+my=2②，涵涵把方程①抄错，求得解为x=-1y=3，轩轩把方程②抄错，求得的解为x=3y=2，求方程组的正确解．
【分析】由于涵涵把方程①抄错，求得解满足方程②，轩轩把方程②抄错，求得的解满足方程①，进而求出m、n的值，再将原方程组变为x+2y=7①2x+y=1②，进而求出x、y的值得出正确的答案．
【解答】解：∵涵涵把方程①抄错，求得解为x=-1y=3，
∴x=-1y=3满足方程②，
即3m﹣n＝2；
又∵轩轩把方程②抄错，求得的解为x=3y=2，
∴x=3y=2满足方程①，
即3m+2n＝14；
因此有3m-n=23m+2n=14，
解得m=2n=4，
所以原方程组可变为2x+4y=144x+2y=2，
即x+2y=7①2x+y=1②，
①×2﹣②得，
3y＝13，
解得y=133，
把y=133代入①得，x+133×2＝7，
解得x=-53，
∴原方程组的正确的解为x=-53y=133．
【点评】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法、加减消元法、代入消元法是正确解答的关键．
7．（2024春•龙亭区校级期末）甲乙两名同学在解方程组ax+5y=104x-by=-4时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为x=-3y=-1；乙看错了方程组中的b，而得解为x=5y=4．
（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
（2）请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【分析】（1）甲看错了方程组中的a，把x=-3y=-1代入①，②，乙看错了方程组中的b，把x=5y=4代入①，②，从而求出a、b正确的值和错误的值；
（2）把a＝﹣2，b＝2代入原方程组，然后用加减消元法解出方程组的解．
【解答】解：（1）ax+5y=10①4x-by=-4②，
把x=-3y=-1代入①，②得，
﹣3×4﹣b×（﹣1）＝﹣4，
∴b＝8，
﹣3a+5×（﹣1）＝10．
∴a＝﹣5；
把x=5y=4代入①、②得，
5a+5×4＝10，
∴a＝﹣2，
4×5﹣4b＝﹣4，
∴b＝6；
∴甲把a看成了﹣5，乙把b看成了6；
（2）把a＝﹣2，b＝8代入原方程组，
原方程组为-2x+5y=10①4x-8y=-4②，
由②，得2x﹣4y＝﹣2③，
①+③，得y＝8，
把y＝8代入①，得x＝15，
∴原方程组的解：x=15y=8．
【点评】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
8．（2024春•长沙期中）甲、乙两人共同解方程组ax+5y=15①4x-by=-2②由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=-3y=-1，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5y=4，试计算a2024+(-110b)2025的值．
【分析】将x=-3y=-1代入方程组的第二个方程，x=5y=4代入方程组的第一个方程，分别求出a与b的值，即可求出所求式子的值．
【解答】解：把x=-3y=-1代入②，得﹣12+b＝﹣2，
解得b＝10；
把x=5y=4代入①，得5a+20＝15，
解得a＝﹣1；
所以a2024+(-110b)2025=(-1)2024+(-110×10)2025=1+(-1)2025=1-1=0．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是方程组中两个方程的公共解是解答本题的关键．
9．（2023秋•霍邱县月考）已知关于x、y的二元一次方程组2ax+y=5①x-by=2②．
（1）若a＝1，请写出方程①的所有正整数解；
（2）由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为x=-2y=1，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为x=1y=3，求a、b的值及原方程组的解．
【分析】（1）将a＝1代入方程，分别令x＝1，x＝2，求出对应的y的值即可；
（2）将x=-2y=1代入②式可求得a的值；将x=1y=3代入①式可求得b的值；从而得出原方程组，进一步解方程组即可．
【解答】解：（1）将a＝1代入方程可得：2x+y＝5，
当x＝1时，y＝3；
当x＝2时，y＝1；
当x＞2时，y＜1，没有符合条件的解；
∴该方程的正整数解为：x=1y=3，x=2y=1，
（2）将x=-2y=1代入②得：﹣2﹣b＝2，
解得：b＝﹣4，
将x=1y=3代入①得：2a+3＝5，
解得：a＝1，
∴原方程组为2x+y=5①x+4y=2②，
③×4﹣④得：7x＝18，
解得：x=187④×2﹣③得：7y＝﹣1，
解得：y=-17，
∴原方程组的解为：x=187y=-17．
【点评】本题考查了二元一次方程的整数解，解二元一次方程组；熟练掌握方程组的解与方程的关系是解决本题的关键．
题型五（培优） 二元一次方程（组）正整数解问题
1．（2023春•沧州期末）已知m为正整数，且二元一次方程组mx+2y=103x-2y=0有整数解，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．7
【分析】先解方程组求得方程组的解是：x=103+my=153+m，则3+m是10和15的公约数，且是正整数，据此即可求得m值．
【解答】解：mx+2y=10①3x-2y=0②，
①+②得：（3+m）x＝10，
解得x=103+m，
将x=103+m代入②得：y=153+m，
∵方程组有整数解时，3+m是10和15的公约数，
∴3+m＝±1或±5，
解得：m＝﹣2或﹣4或2或﹣8，
又∵m是正整数，
∴m＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了方程组的解，掌握解二元一次方程的步骤和理解3+m是10和15的公约数是关键．
2．（2023秋•东宝区期末）已知关于x，y的方程组x+2y-6=0x-2y+mx+5=0，若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，则m的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣1或3D．﹣1或﹣3
【分析】利用加减消元法解关于x、y的方程组得到x=12+m，利用有理数的整除性得到2+m＝±1，从而得到满足条件的m的值．
【解答】解：x+2y-6=0①x-2y+mx+5=0②，
①+②得（2+m）x＝1，
解得x=12+m，
∵x为整数，m为整数，
∴2+m＝±1，
∴m的值为﹣1或﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组．
3．若关于x，y的二元一次方程组2x+ay=122x-y=0有整数解，则满足要求的所有整数a的个数
为（ ）
A．0B．4C．8D．12
【分析】两方程相减消去x表示出y，根据方程组有整数解确定出整数a的个数即可．
【解答】解：消去x得：（a+1）y＝12，
当a+1≠0，即a≠﹣1时，y=12a+1，
可得x=6a+1，
由方程组有整数解，得到a+1＝±1，±2，±3，±6
解得：a＝0，﹣2，1，﹣3，2，﹣4，5，﹣7，
故选：C．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程左右两边相等的未知数的值．
4．（2023春•江汉区月考）若m为正整数，且二元一次方程组mx+2y=103x-2y=0有整数解，则m2+1的值为（ ）
A．5或10B．49C．4或49D．5
【分析】利用加减消元法易得x、y的解，由x、y均为整数可解得m的值．
【解答】解：解方程组mx+2y=103x-2y=0可得x=10m+3y=15m+3，
∵方程组mx+2y=103x-2y=0有整数解，
∴m+3＝±5或m+3＝±1，
解得m＝±2或m＝﹣4或m＝﹣8，
又m为正整数，
∴m＝2，
所以m2+1＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，涉及到因式分解相关知识点，解二元一次方程组有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
5．（2024春•鄞州区期中）若关于x、y的方程组ax+2y=52x+3y=0有整数解，则正整数a的值为 ．
【分析】先利用加减消元法解方程组，求出x，y，再根据方程组有整数解，列出关于a的方程，解方程求出a即可．
【解答】解：ax+2y=5①2x+3y=0②，
①×3得：3ax+6y＝15③，
②×2得：4x+6y＝0④，
③﹣④得：（3a﹣4）x＝15，
x=153a-4，
把x=153a-4代入②得：y=104-3a，
∵关于x、y的方程组ax+2y=52x+3y=0有整数解，
∴3a﹣4＝±1或±3或±5或±15，
4﹣3a＝±1或±2或±5或±10，
∴a＝1或3或-13或53，
∵a为正整数，
∴a＝1或3，
故答案为：1或3．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．
6．（2023春•西区期中）若关于x、y的方程组x+y=2ax+2y=8的解为整数，则满足条件的所有整数a的值的和为 ．
【分析】把a看作已知数由加减消元法求得x=4a-2，由方程组的解为整数，确定出a的值即可．
【解答】解：x+y=2①ax+2y=8②，
②﹣①×2得（a﹣2）x＝4，解得x=4a-2，
∵关于x、y的方程组x+y=2ax+2y=8的解为整数，
∴a＝﹣2，0，1，3，4，6，
∴满足条件的所有a的值的和为﹣2+0+1+3+4+6＝12．
故答案为：12．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
7．（2023春•合浦县期中）方程组x+y=-13x-2y=7的解满足2x﹣ky＝10（k是常数），
（1）求k的值．
（2）直接写出关于x，y的方程（k﹣1）x+2y＝13的正整数解
【分析】（1）先求出方程组的解，再代入方程，即可求出k值；
（2）把k的值代入方程（k﹣1）x+2y＝13，再求出正整数解即可．
【解答】解：（1）方程组x+y=-13x-2y=7的解为：x=1y=-2，
将x=1y=-2代入2x﹣ky＝10得：2+2k＝10，
解得：k＝4；
（2）把k＝4代入方程（k﹣1）x+2y＝13得：3x+2y＝13，
即y=13-3x2，
所以关于x，y的方程（k﹣1）x+2y＝13的正整数解为x=1y=5，x=3y=2．
【点评】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次方程和解二元一次方程，能求出k的值是解此题的关键．
8．（2023春•盐城月考）已知关于x，y的方程组nx+(n+1)y=n+2x-2y+mx=-5（n是常数）．
（1）当n＝1时，则方程组可化为x+2y=3x-2y+mx=-5．
①请直接写出方程x+2y＝3的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程x+y＝2，求m的值．
（2）当n＝3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
【分析】（1）①根据x，y为非负整数即可求出方程x+2y＝3的所有非负整数解；
②先解二元一次方程组x+2y=3x+y=2，然后把x、y的值代入方程x﹣2y+mx＝﹣5中即可求出m的值；
（2）把n＝3代入到原方程组，通过消元得到（5+2m）x＝﹣5，再根据方程组有整数解，且m为整数，分情况求解即可．
【解答】解：（1）①∵x，y为非负整数，
∴方程x+2y＝3的所有非负整数解为x=1y=1，x=3y=0；
②根据题意得x+2y=3①x+y=2②，
①﹣②得，y＝1，
把y＝1代入②得，x＝1，
∴方程组的解是x=1y=1，
将x=1y=1代入x﹣2y+mx＝﹣5中，得m＝﹣4；
（2）当n＝3时，原方程组可化为3x+4y=5①x-2y+mx=-5②，
②×2得，2x﹣4y+2mx＝﹣10③，
①+③得，5x++2mx＝﹣5，
整理得，（5+2m）x＝﹣5，
∵方程组有整数解，且m为整数，
∴5+2m＝±1或5+2m＝±5，
当5+2m＝1时，m＝﹣2，此时方程组的解是x=-5y=5；
当5+2m＝﹣1时，m＝﹣3，此时方程组的解是x=5y=-52（舍去）；
当5+2m＝5时，m＝0，此时方程组的解是x=-1y=2；
当5+2m＝﹣5时，m＝﹣5，此时方程组的解是x=1y=12（舍去）；
综上，整数m的值为﹣2或0．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，根据条件确定m的值是解题的关键．
9．（2024春•平湖市期末）已知关于x，y的方程组ax+2y=a+12x+2by=3，其中a，b为整数．
（1）若方程组有无穷多组解，求实数a与b的值；
（2）当b＝a﹣1时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由．
【分析】（1）先把①中y的值代入②，使方程变为只含x的一元一次方程，根据x的系数讨论方程组有无穷多组解时a的取值即可；
（2）要分类讨论，即2﹣a＝0和2﹣a≠0，再结合整数解的问题，进一步分析作答．
【解答】解：（1）依题意，ax+2y=a+1①，2x+2by②，
由①得，2y＝（1+a）﹣ax，③
将③代入②得2x+[（1+a）﹣ax]b＝3，
整理得出（2﹣ab）x＝3﹣b﹣ab，④
∵方程组有无穷多组解，
∴2﹣ab＝0且3﹣b﹣ab＝0时，
即ab＝2，则3﹣b﹣2＝0，
∴b＝1，a＝2
（2）解：没有，理由如下：
由（1）得（2﹣ab）x＝3﹣b﹣ab，
∵b＝a﹣1，
∴[2﹣a（a﹣1）]x＝3﹣（a﹣1）﹣a（a﹣1），
整理得（2﹣a）（a+1）x＝（2﹣a）（2+a），
①当2﹣a＝0时，即a＝2，b＝a﹣1＝1，
∵ax+2y=a+1①，2x+2by②，
∴此时方程组为2x+2y=2+1，2x+2y=3，
则x+y＝1.5，
∵x，y为整数，
∴原方程没有整数解，
②当2﹣a≠0时，即a≠2，此时（a+1）x＝（2+a），
若a+1＝0时，（a+1）x＝（2+a）显然无解，
若a+1≠0时，x=2+a1+a，代入ax+2y＝a+1得y=12(1+a)，
∵a为整数，
∴y=12(1+a)不可能为整数，
∴原方程无整数解；
综上：原方程没有整数解．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．