浙教版七年级数学期末复习热考考点专题5.2分式的运算（14大考点52题）原卷版+解析版

这是一份浙教版七年级数学期末复习热考考点专题5.2分式的运算（14大考点52题）原卷版+解析版，文件包含浙教版七年级数学期末复习热考考点专题52分式的运算14大考点52题原卷版docx、浙教版七年级数学期末复习热考考点专题52分式的运算14大考点52题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc27656" 一、分式乘法 PAGEREF _Tc27656 \h 1
\l "_Tc26524" 二、分式除法 PAGEREF _Tc26524 \h 3
\l "_Tc26845" 三、分式乘除混合运算 PAGEREF _Tc26845 \h 5
\l "_Tc25682" 四、分式的乘方 PAGEREF _Tc25682 \h 7
\l "_Tc8889" 五、含乘方的分式混合运算 PAGEREF _Tc8889 \h 9
\l "_Tc2531" 六、最简公分母 PAGEREF _Tc2531 \h 11
\l "_Tc3894" 七、同分母分式加减法 PAGEREF _Tc3894 \h 12
\l "_Tc10491" 八、异分母分式加减法 PAGEREF _Tc10491 \h 12
\l "_Tc4066" 九、整式与分式加减法 PAGEREF _Tc4066 \h 14
\l "_Tc27192" 十、已知分式恒等式，求未知数 PAGEREF _Tc27192 \h 15
\l "_Tc27399" 十一、分式加减法混合运算 PAGEREF _Tc27399 \h 17
\l "_Tc16984" 十二、分式加减法的应用 PAGEREF _Tc16984 \h 20
\l "_Tc21403" 十三、分式的四则混合运算 PAGEREF _Tc21403 \h 22
\l "_Tc11490" 十四、分式的化简求值 PAGEREF _Tc11490 \h 24
一、分式乘法
1．计算1+aa2⋅aa+1的结果是（ ）
A．1a2B．a+1aC．−1aD．1a
【答案】D
【分析】本题考查了分式的乘法运算，掌握其运算法则是关键．
根据分式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：1+aa2⋅aa+1=1a，
故选：D ．
2．计算：x2yx−y⋅x2−y2xy= ．
【答案】x2+xy
【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
首先将x2−y2运用平方差公式进行分解，然后约分即可．
【详解】解：x2yx−y⋅x2−y2xy=x2yx−y⋅x+yx−yxy=x2+xy．
故答案为：x2+xy．
3．计算：x2−y2x2+6xy+5y2⋅x+5yx2−2xy+y2．
【答案】1x−y
【分析】根据分式乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：x2−y2x2+6xy+5y2⋅x+5yx2−2xy+y2
=(x+y)(x−y)(x+y)(x+5y)⋅x+5y(x−y)2
=1x−y．
4．计算：
(1)−3abx⋅2x29a2b；
(2)5x−yx2−4y2⋅(2y−x)．
【答案】(1)−2x3a
(2)y−5xx+2y
【分析】本题考查分式的乘法运算，解题的关键是掌握分式乘法法则以及因式分解的方法．
（1）根据分式乘法法则将分子分母分别相乘，约去分子分母的公因式，从而得到最简结果；
（2）根据分式乘法法则将分子分母分别相乘，对于能因式分解的式子先因式分解，再约去分子分母的公因式，从而得到最简结果．
【详解】（1）原式=−3abx⋅x⋅2x3ab⋅3a
=−2x3a；
（2）原式=5x−y(x+2y)(x−2y)⋅[−(x−2y)]
=y−5xx+2y．
二、分式除法
1．分式2mm−n÷mm2−n2的化简结果为（ ）
A．−2m−2nB．2n−2mC．2m−2nD．2m+2n
【答案】D
【分析】本题考查了分式的除法，根据分式的除法运算进行计算，即可求解，熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：2mm−n÷mm2−n2
=2mm−n⋅m+nm−nm
=2m+2n
故选：D ．
2．若x2+1x−6÷x3+x□计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A．1x2−6B．x2−6C．x2−6xD．x−6
【答案】C
【分析】本题考查分式乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则是解题的关键．
先根据分式除法法则计算，再根据结果为整式，得出“□”中的式子的可能式，即可得出答案．
【详解】解：x2+1x−6÷x3+x□
=x2+1x−6⋅□xx2+1
=□xx−6，
∵运算结果为整式，
∴“□”中的式子应该是含有因式xx−6的式子，
只有选项C中x2−6x=xx−6符合题意，
故选：C．
3．在化简x2+xx2+2x+1÷xx−1后，要求x在−1，1，0，2中取一个数再求值，x只能取 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
先对分式进行化简，再根据分式有意义的条件进行分析求解即可．
【详解】解：x2+xx2+2x+1÷xx−1=xx+1x+12×x−1x=xx+1×x−1x=x−1x+1
∵x−1≠0，x+1≠0
∴x≠1，x≠−1
在化简过程中，消去了x，
因此x≠0．
因此，x只能取2．
故答案为：2．
4．计算：1x−2÷x+2x2−4= ．
【答案】1
【分析】本题考查了分式的除法运算，根据分式的除法法则计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：1x−2÷x+2x2−4=1x−2×x+2x−2x+2=1，
故答案为：1．
5．计算：
(1)x2−y2÷xy−y2x+y；
(2)m2−1m2+2m+1÷m2−m1+m．
【答案】(1)x2+2xy+y2y
(2)1m
【分析】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法运算法则是解题的关键．
（1）根据分式的除法运算法则计算即可；
（2）根据分式的除法运算法则计算即可．
【详解】（1）解：x2−y2÷xy−y2x+y
=x+yx−y÷yx−yx+y
=x+yx−y⋅x+yyx−y
=x+y2y
=x2+2xy+y2y；
（2）解：m2−1m2+2m+1÷m2−m1+m
=m+1m−1m+12÷mm−11+m
=m+1m−1m+12⋅1+mmm−1
=1m．
三、分式乘除混合运算
1．先化简，再求值：a+1a−2·a2−4a2+2a+1÷1a2−1其中a2+a=1．
【答案】a2+a−2，−1
【分析】本题考查分式的化简求值，除法变乘法，约分化简后，利用整体代入法进行计算即可．熟练掌握分式的乘除法则，是解题的关键．
【详解】解：原式=a+1a−2·a−2a+2a+12⋅a−1⋅a+1
=a+2a−1
=a2+a−2；
∵a2+a=1，
∴原式=1−2=−1．
2．计算：
(1)x2y÷−yx⋅(yx)2
(2)1x−1÷x+2⋅x−1x+2
【答案】(1)−x
(2)1x+22
【分析】此题考查了分式的混合运算．
（1）先计算分式的乘方，再计算乘除法即可；
（2）把分式的除法变为乘法计算即可．
【详解】（1）解：原式=x2y÷−yx⋅(yx)2
=x2y⋅−xy⋅y2x2
=−x；
（2）解：原式=1x−1÷(x+2)⋅x−1x+2
=1x−1⋅1x+2⋅x−1x+2
=1x+22
3．计算：
(1)x−yx+y2÷x−y2÷1x+y；
(2)x2−y2x2+2xy+y2⋅x+yx−y2÷x+yx；
(3)1−x3−x2÷3−2x−x29−x23⋅x2x2−2x−3；
(4)x−1x2−x−22÷x2−2x+12−x÷1x2+x2．
【答案】(1)1x+y
(2)xx−y
(3)x2x2−1
(4)x22−x
【分析】此题考查的是分式的乘除法，掌握其运算法则是解决此题的关键．
（1）（2）（3）（4）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简．
【详解】（1）解：x−yx+y2÷x−y2÷1x+y
=x−y2x+y2⋅1x−y2⋅x+y1
=1x+y．
（2）解：x2−y2x2+2xy+y2⋅x+yx−y2÷x+yx
=x+yx−yx+y2⋅x+y2x−y2⋅xx+y
=xx−y．
（3）解：1−x3−x2÷3−2x−x29−x23⋅x2x2−2x−3
=1−x23−x2⋅3+x33−x3−x+33x−13⋅x2x−3x+1
=x2x2−1．
（4）解：x−1x2−x−22÷x2−2x+12−x÷1x2+x2
=x−12x−22x+12⋅−x−2x−12⋅x2x+121
=x22−x．
四、分式的乘方
1．计算3aa−b2的结果是（ ）
A．6a2a2−b2B．9a2a2−b2C．6a2a−b2D．9a2a−b2
【答案】D
【分析】本题考查了分式的乘方运算，根据分式的乘方运算法则计算即可求解，掌握分式的乘方运算法则是解题的关键．
【详解】解：3aa−b2=3a2a−b2=9a2a−b2，
故选：D．
2．计算：3ab−22a−1b−1= ．
【答案】2b33a2
【分析】本题考查了分式的乘方，负整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键．
根据分式的乘方，负整数指数幂的运算法则即可求解．
【详解】解：原式=2a−1b3ab−2
=2b33a2，
故答案为：2b33a2．
3．计算：
(1)2a2b−c33；
(2)−3ab22c2d32．
【答案】(1)−8a6b3c9
(2)9a2b44c4d6
【分析】（1）根据分式的乘方运算法则计算即可；
（2）根据分式的乘方运算法则计算即可；
本题考查了分式的乘方运算，掌握分式的乘方运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式=2a2b3−c33
=8a6b3−c9
=−8a6b3c9；
（2）解：原式=−3ab222c2d32
=9a2b44c4d6．
4．观察：nm2=nm⋅nm=n2m2,nm3=nm⋅nm⋅nm=n3m3,…
解答下列各题：
(1)填空：nmk=___________（k是正整数）．
(2)计算：
①y3x2；
②2ba3÷ba2．
【答案】(1)nkmk；
(2)①y29x2；②8ba．
【分析】本题主要查了分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键．
（1）根据分式的乘方法则计算，即可；
（2）①根据分式的乘方法则计算，即可；②先计算乘方，再计算除法，即可．
【详解】（1）解：根据题意得：nmk=nkmk；
故答案为：nkmk
（2）解：①y3x2=y23x2=y29x2；
②2ba3÷ba2
=8b3a3÷b2a2
=8b3a3×a2b2
=8ba
五、含乘方的分式混合运算
1．化简x2y÷−yx×−yx2的结果是（ ）
A．−x B． −x2yC．yxD．x2y
【答案】A
【分析】此题考查了含乘方的分式乘除法混合运算．先乘方，再根据分式乘除混合运算法则计算即可．
【详解】解：x2y÷−yx×−yx2
=−x2y×xy×y2x2
=−x，
故选：A．
2．计算x2y2⋅−y2x3÷−yx4= ．
【答案】−x5
【分析】本题考查分式的乘除混合运算及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据幂的乘方计算，再根据分式的乘除法法则计算即可得答案．
【详解】解：x2y2⋅−y2x3÷−yx4
=x4y2⋅(−y6x3)÷y4x4
=−x4y2⋅y6x3⋅x4y4
=−x5．
故答案为：−x5
3．计算：
(1)2x3y2⋅3y4x3；
(2)a2−4b23ab2⋅aba−2b；
(3)4x2y÷2x−y2；
(4)3a−3b10ab÷a2−b215a2b2．
【答案】(1)3y16x
(2)a+2b3b
(3)y3
(4)9ab2a+b
【分析】（1）根据分式的运算法则计算即可；
（2）根据分式的运算法则计算即可；
（3）根据分式的运算法则计算即可；
（4）根据分式的运算法则计算即可；
本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式=4x29y2×27y364x3
=3y16x；
（2）解：原式=a+2ba−2b3ab2×aba−2b
=a+2b3b；
（3）解：原式=4x2y×y24x2
=y3；
（4）解：原式=3a−b10ab×15a2b2a+ba−b
=9ab2a+b．
六、最简公分母
1．分式y2x5和y5x2的最简公分母是（ ）．
A．10x7B．7x10C．10x5D．7x7
【答案】C
【分析】本题考查了最简公分母的计算，掌握最简公分母的计算方法是关键．
最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，由此即可求解．
【详解】解：分式y2x5和y5x2的最简公分母是10x5，
故选：C ．
2．分式x2ab、23b2、y9a2b的最简公分母是 ．
【答案】18a2b2
【分析】本题考查了分式的最简公分母，掌握最简公分母的计算是关键．
最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，由此即可求解．
【详解】解：分式x2ab、23b2、y9a2b的最简公分母是18a2b2，
故答案为：18a2b2 ．
3．分式13a2b和12ab2的最简公分母是 ．
【答案】6a2b2
【分析】本题考查了最简公分母，由题意可得两个分式的分母分别为3a2b和2ab2，再根据最简公分母的定义求解即可．
【详解】解：∵分式13a2b和12ab2的分母分别为3a2b和2ab2，
∴分式13a2b和12ab2的最简公分母是6a2b2，
故答案为：6a2b2．
七、同分母分式加减法
1．化简4m−2−m2m−2的结果是（ ）
A．−m−2B．m−2C．m−2m+2D．m+2m−2
【答案】A
【分析】根据同分母分式的减法计算即可．
本题考查了同分母分式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：4m−2−m2m−2
=4−m2m−2=2+m2−mm−2=−2+m=−2−m，
故选：A．
2．计算：x2x−1+2x−11−x= ．
【答案】x−1
【分析】本题考查的是分式的加减运算，先化为同分母，再计算即可．
【详解】解：x2x−1+2x−11−x=x2x−1−2x−1x−1=x−12x−1=x−1；
故答案为：x−1
3．化简：5x1−x−51−x的结果为 ．
【答案】−5
【分析】本题考查了同分母分式的加减运算，根据运算法则，分母不变，分子相加减即可，最后注意约分．
【详解】解：5x1−x−51−x=5x−51−x=−5(1−x)1−x=−5；
故答案为：−5．
八、异分母分式加减法
1．化简：2x2x2−1−xx+1
【答案】xx−1
【分析】本题主要考查了分式的加减法，先通分，把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，即可求解．
【详解】解：2x2x2−1−xx+1
=2x2x+1x−1−xx−1x+1x−1
=2x2−x2+1x+1x−1
=xx+1x+1x−1
=xx−1．
2．计算：32−2y2x−y+5y4x−2y．
【答案】3x−y2x−y
【分析】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，利用分式的加减运算法则计算即可．
【详解】解：原式=32−2y2x−y+5y22x−y
=32x−y−4y+5y22x−y
=6x−3y−4y+5y22x−y
=6x−2y22x−y
=23x−y22x−y
=3x−y2x−y．
3．下面是某同学计算1m−1−2m2−1的解题过程：
解：1m−1−2m2−1=m+1m+1m−1−2m+1m−1……①
=m+1−2……②
=m−1……③
上述解题过程从第_____步开始出现错误？请分析错因是_______________．
请写出完整的正确解题过程，并求出当m=−2时的值
【答案】②，计算同分母分式减法，分子与分子相减，分母不变，最后再约分化简；正确解题过程见解析；−1
【分析】本题考查异分母分式的加减运算，根据分母分式的加减法运算法则判断即可；先通分，然后分母不变，分子相减，最后将结果化为最简分式即可，再将m=−2代入计算即可．
【详解】解：从第②步开始出现错误，计算同分母分式减法，分子与分子相减，分母不变，最后再约分化简．
正确的解题过程为：
原式=m+1(m+1)(m−1)−2(m+1)(m−1)
=m+1−2(m+1)(m−1)
=m−1(m+1)(m−1)
=1m+1；
当m=−2时，原式=1−2+1=−1．
九、整式与分式加减法
1．计算a+1+1a−1的结果是（ ）
A．a2a−1B．aa−1C．a−1D．a2
【答案】A
【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ．
【详解】原式=a+1a−1a−1+1a−1
=a2−1a−1+1a−1
=a2a−1
故答案为：A．
2．计算4x+2+x−2的结果等于（ ）
A．1B．−1x2−4C．xx+2D．x2x+2
【答案】D
【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：4x+2+x−2 =4x+2+(x+2)(x−2)x+2=4+x2−4x+2=x2x+2
故选：D．
3．计算：x+1+x1−xx−3．
【答案】1−3xx−3
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式计算方法是解题的关键．先通分，再分子展开，合并化简，化为最简分式即可．
【详解】x+1+x1−xx−3
=x+1−x2x−3
=xx−3x−3+1−x2x−3
=xx−3+1−x2x−3
=x2−3x+1−x2x−3
=1−3xx−3
4．（1）计算：a2a−1−a−1
（2）计算：a−2a÷a2−4a2+a−1．
【答案】（1）1a−1（2）−1a+2
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键；
（1）根据分式的加减进行计算即可求解；
（2）先将除法转化为乘法然后计算加减即可求解．
【详解】解：（1）原式=a2a−1−a+1a−1a−1=a2−a2+1a−1=1a−1；
（2）原式=a−2a⋅aa+1a+2a−2−1=a+1a+2−1=a+1a+2−a+2a+2=−1a+2．
十、已知分式恒等式，求未知数
1．若ax+2+bx−2=4xx2−4恒成立，则a−2b的值是 ．
【答案】−2
【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先将等式的左边通分并化简得出ax−2+bx+2x2−4=4xx2−4，再根据等式恒成立得出a+bx−2a−b=4x，根据题意列二元一次方程组求解即可得出答案．
【详解】解：ax+2+bx−2=4xx2−4
ax−2x+2x−2+bx+2x+2x−2=4xx2−4
ax−2+bx+2x2−4=4xx2−4
∵ ax+2+bx−2=4xx2−4恒成立，
∴ax−2+bx+2=4x
∴ a+bx−2a−b=4x
∴a+b=4a−b=0，
∴a=2b=2
∴a−2b=2−2×2=−2
故答案为：−2．
2．已知3x2−7x+2x−1x+1=3+ax−1+bx+1是恒等式，请分别求a、b的值．
【答案】a=−1b=−6
【分析】本题考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含义”是解本题的关键．先把分式恒等式去分母可得3x2−7x+2=3x2+a+bx+a−b−3，再利用恒等建立方程组即可．
【详解】解：3x2−7x+2x−1x+1=3+ax−1+bx+1，
∴去分母可得：3x2−7x+2=3x+1x−1+ax+1+bx−1，
∴3x2−7x+2=3x2+a+bx+a−b−3，
由恒等式可得：
a+b=−7a−b−3=2，
解得：a=−1b=−6．
3．已知3x+4x2−x−2=Ax−2−Bx+1，其中A、B为常数，求4A−B的值．
【答案】13
【分析】本题考查了分式的减法、二元一次方程组，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．先计算等式右边的减法，再与等式的左边进行比较可得一个关于A,B的二元一次方程组，解方程组即可得．
【详解】解：Ax−2−Bx+1
=Ax+1x−2x+1−Bx−2x−2x+1
=Ax+Ax2−x−2−Bx−2Bx2−x−2
=A−Bx+A+2Bx2−x−2，
∵3x+4x2−x−2=Ax−2−Bx+1，
∴3x+4x2−x−2=A−Bx+A+2Bx2−x−2，
∴A−B=3①A+2B=4②，
由①×3+②得：3A+A−3B+2B=3×3+4，
所以4A−B=13．
十一、分式加减法混合运算
1．对于代数式m和n，定义运算“⊗”：m⊗n=3m−n+4mn，例如：4⊗2=3×4−2+44×2=74，若(x+1)⊗(x−2)=Ax+1+Bx−2，则2A−B= ．
【答案】−9
【分析】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，正确理解新定义运算的方法是解题的关键．根据新定义运算，求得(x+1)⊗(x−2)=2x+9(x+1)(x−2)，再计算得Ax+1+Bx−2=(A+B)x−2A+B(x+1)(x−2)，即得方程组A+B=22A−B=−9，即得答案．
【详解】∵(x+1)⊗(x−2)=3(x+1)−(x−2)+4(x+1)(x−2)=2x+9(x+1)(x−2)，
Ax+1+Bx−2=A(x−2)+B(x+1)(x+1)(x−2)=(A+B)x−2A+B(x+1)(x−2)，
∴A+B=22A−B=−9，
∴2A−B=−9．
故答案为：−9．
2．计算：
(1)23x2+34y−56xy；
(2)5a6b2c−7b12ac2+11c8a2b；
(3)x−1x+1−x+1x−1；
(4)aa−b+b2a(b−a)．
【答案】(1)8y+9x2−10x12x2y
(2)20a3c−14ab3+33bc324a2b2c2
(3)−4x(x+1)(x−1)
(4)a+ba
【分析】本题考查了分式加减法的混合运算，理解通分的运算法则，分式的加减法运算法则是解答关键．
（1）先通分，再利用分式加减法运算法则求解；
（2）先通分，再利用分式加减法运算法则求解；
（3）先通分，再利用分式减法运算法则求解；
（4）先变号，再通分，再利用分式减法运算法则求解．
【详解】（1）解：23x2+34y−56xy
=8y12x2y+9x212x2y−10x12x2y
=8y+9x2−10x12x2y
（2）解：5a6b2c−7b12ac2+11c8a2b
=20a3c24a2b2c2−14ab324a2b2c2+33b2c324a2b2c2
=20a3c−14ab3+33b2c324a2b2c2
（3）解：x−1x+1−x+1x−1
=x−1x−1x+1x−1−x+1x+1x+1x−1
=x2−2x+1−x2−2x−1x+1x−1
=−4xx+1x−1
（4）解：aa−b+b2a(b−a)
=aa−b−b2aa−b
=a2aa−b−b2aa−b
=a2−b2aa−b
=a−ba+baa−b
=a+ba．
3．计算：
(1)x2x−2−x−2；
(2)2x−2x2−1+2xx+1；
(3)x−2yx+y−x−yx+y+−x−4yx+4y．
【答案】(1)4x−2；
(2)2；
(3)−x+2yx+y．
【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
（1）原式先通分，再化简即可；
（2）先利用平方差公式，再化简即可；
（3）先对前两项进行计算，再对最后一项约分，接下来通分，再化简即可．
【详解】（1）解：原式=x2x−2−x2−4x−2
=4x−2；
（2）解：原式=2(x−1)(x+1)(x−1)+2xx+1
=2x+1+2xx+1
=2(x+1)x+1
=2；
（3）解：原式=x−2y−x+yx+y−x+4yx+4y
=−yx+y−1
=−y−x−yx+y
=−x+2yx+y．
4．化简：1−3a+2+a2−1a+22．
【答案】2a2+a−3a+22
【分析】本题考查分式的加减混和运算，根据分式的加减混和运算法则计算即可．
【详解】解：1−3a+2+a2−1a+22
=a+2−3a+2+a2−1a+22
=a−1a+2+a2−1a+22
=a−1a+2a+22+a2−1a+22
=a2+a−2+a2−1a+22
=2a2+a−3a+22．
十二、分式加减法的应用
1．小丽家和小明家到学校的路程都是3km，其中小丽家走的是平路，骑车速度是2vkm/h．小明家需要走1km的上坡路，2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h，那么小丽比小明在路上花费的时间（ ）h．
A．相同B．少16vC．多16vD．不确定
【答案】B
【分析】本题考查了分式加减的计算，解答本题的关键是读懂题意，用合适的分式表示出来．
【详解】解：∵小明上坡路走的时间：1vh，下坡路走的时间：23vh，
总时间为：1v+23v=53vh；
小丽花费的时间为：32vh，
∴53v−32v=16vh．
∴小丽比小明在路上花费的时间少16vh．
故选：B．
2．学校要买一批笔记本电脑，每台A型号电脑的价格是a万元，每台B型号电脑的价格是A型号电脑的2倍．现有资金100万元，全部用来买B型号电脑比全部用来买A型号电脑要少买多少台？
【答案】50a台
【分析】本题考查了分式运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
先表示B型号电脑的数量为1002a，A型号电脑电脑的数量为100a，然后即可列式计算．
【详解】解：由题意得，100a−1002a=100a−50a=50a（台），
答：电脑要少买50a台．
3．从甲地到乙地有两条路，每条路的长度都是3km，其中第一条路是平路，第二条有1km的上坡路、2km的下坡路．小强在上坡路上的骑车速度为xkm/h，在平路上的骑车速度为2xkm/h，在下坡路上的骑车速度为3xkm/h．
(1)当小强走第二条路时，他从甲地到乙地需要多少时间？
(2)他走哪条路花费时间少？少用多少时间？
【答案】(1)53xh
(2)走第一条路花费时间少，少16xh
【分析】本题考查了速度，路程，时间之间的关系，异分母分式的加减运算的实际应用，解题的关键是理解题意，掌握速度，路程，时间之间的关系．
（1）分别表示出上坡路的时间和下坡路的时间，然后相加即可；
（2）表示出走第一条路所用时间，然后作差求解即可．
【详解】（1）解：走第二条路所用时间：1x+23x=53xh；
（2）解：走第一条路所用时间：32xh
∴53x−32x=16xh
∴走第一条路花费时间少，少16xh．
4．现有铁丝和铜丝各一捆（可以称出每捆质量）．已知铁丝和铜丝的截面半径分别为r1cm和r2cm，请你设计一种方案，不用直接测量长度，就能计算这捆铁丝和这捆铜丝的长度差（注：铁的密度约为8g/cm3，铜的密度约为8g/cm3）．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了分式减法的实际应用，分别测量出铁丝的质量为m1g，铜丝的质量为m2g，根据质量等于密度乘以体积，体积等于截面面积乘以长度，分别可表示出铁丝和铜丝的长度，二者相减即可得到答案．
【详解】解：分别测量出铁丝的质量为m1g，铜丝的质量为m2g，
则铁丝的长度为m17.8πr12cm，铜丝的长度为m28πr22cm，
∵m17.8πr12−m28πr22
=8πm1r22−7.8πm2r1262.4π2r12r22
=40πm1r22−39πm2r12312π2r12r22
∴这捆铁丝和这捆铜丝的长度差为40πm1r22−39πm2r12312π2r12r22cm．
十三、分式的四则混合运算
1．化简：a+4a+1−a÷a2−4a+4a+1
【答案】2+a2−a
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．
【详解】解：原式=a+4−a2−aa+1÷a−22a+1
=2−a2+aa+1⋅a+1a−22
=2+a2−a．
2．化简：x2−xx2−2x+1÷x+1−x2x−1
【答案】−x
【分析】此题考查了分式的混合运算，先算括号再算除法，注意运用完全平方公式和平方差公式分解因式．
【详解】解：x2−xx2−2x+1÷x+1−x2x−1
=xx−1x−12÷x−1x+1−x2x−1
=xx−1÷x2−1−x2x−1
=xx−1÷−1x−1
=−xx−1⋅x−1
=−x．
3．先化简再求值：2−x+5x+2÷x2−6x+9x2+2x+x2x−3，其中x是从0，−1，−2中选取的一个合适的数．
【答案】−3xx−3；−34
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再选取合适的值代入计算即可求出值．
【详解】解：2−x+5x+2÷x2−6x+9x2+2x+x2x−3
=2−x2+x+52+x⋅x2+xx−32+x2x−3
=9−x22+x⋅x2+xx−32+x2x−3
=−x+3x−3x+2⋅xx+2x−32+x2x−3
=−x+3xx−3+x2x−3
=−3xx−3
∵x≠−2,0
∴x=−1时，原式=−−3−1−3=−34
4．已知代数式T=2+b+b22−b÷2+b2−b．
(1)化简T；
(2)原代数式的值能等于1吗？为什么？
【答案】(1)42+b
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查了分式的化简、解分式方程，熟练掌握分式的混合运算法则以及分式有意义的条件是解此题的关键．
（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则化简即可；
（2）根据题意得出42+b=1，求出b的值，根据分式有意义的条件进行判断即可．
【详解】（1）解：T=2+b+b22−b÷2+b2−b
=2+b2−b2−b+b22−b÷2+b2−b
=4−b2+b22−b×2−b2+b
=42+b；
（2）解：∵T=1，
∴42+b=1，
解得b=2，
当b=2时，2−b=0，原分式无意义，
∴原代数式的值能不能等于1．
十四、分式的化简求值
1．已知a2+3b2−7=0，求代数式a+ba−b−2ba+b÷1a2−b2的值．
【答案】7
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，以及代数式求值，正确把所求式子化简成3a2+3b2是解题的关键．
先把所求式子化简得到a2+3b2，再a2+3b2−7=0得出a2+3b2=7，由此即可得到答案．
【详解】解：原式=(a+b)2−2b(a−b)(a−b)(a+b)⋅(a−b)(a+b)
=a2+2ab+b2−2ab+2b2
=a2+3b2.
∵a2+3b2−7=0，
∴a2+3b2=7．
∴原式=7．
2．化简求值：a(2a+6)+a2−4a2−4a+4−12−a÷2a2−2a，其中a满足a2+3a−3=0
【答案】152
【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及分式的混合运算、因式分解、代数式的整体代入思想，解题的关键在于通过化简将复杂分式转化为简单表达式，并利用已知条件整体代入求值．先根据乘法公式和完全平方公式将a2−4、a2−4a+4因式分解，再进行约分、合并，然后将除法转化为乘法进行约分，最后合并同类项，将原式化简为5a2+3a2，由已知条件得a2+3a=3代入计算即可．
【详解】解：a(2a+6)+a2−4a2−4a+4−12−a÷2a2−2a
=a(2a+6)+a+2a−2a−22−12−a÷2aa−2
=a(2a+6)+a+2a−2+1a−2×aa−22
=a(2a+6)+a+3a−2×aa−22
=2a(a+3)+aa+32
=5aa+32
=5a2+3a2
∵a2+3a−3=0，
∴a2+3a=3，
∴5a2+3a2=5×32=152．
3．先化简，再求值：2a−ba+b−ba−b÷a−2ba+b，其中a=12,b=1．
【答案】2aa−b，−2
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a=12,b=1代入计算即可求出值．
【详解】解：2a−ba+b−ba−b÷a−2ba+b
=2a−ba−ba+ba−b−ba+ba+ba−b÷a−2ba+b
=2a2−ab−2ab+b2a+ba−b−ab+b2a+ba−b÷a−2ba+b
=2a2−4aba+ba−b⋅a+ba−2b
=2aa−2ba+ba−b⋅a+ba−2b
=2aa−b，
当a=12,b=1时，原式=2×1212−1=−2．
4．先化简，再求值：12−a+1÷a2−6a+9a−2，其中满足a=4．
【答案】1a−3，1
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：12−a+1÷a2−6a+9a−2
=12−a+2−a2−a÷a−32a−2
=a−3a−2⋅a−2a−32
=1a−3，
当a=4时，原式=14−3=1．
5．已知H=1b−1a÷a2−2ab+b22aba≠b≠0．
(1)化简H；
(2)若数轴上点A、B表示的数分别为a、b，且AB=4，求H的值．
【答案】(1)2a−b
(2)±12
【分析】本题考查了分式的化简求值，数轴上两点间距离等知识，解题的关键是：
（1）先计算括号内，然后把除法转化为乘法，最后约分即可；
（2）根据数轴上两点间距离公式求出a−b=±4，然后代入（1）中化简的结果计算即可．
【详解】（1）解：H=1b−1a÷a2−2ab+b22ab
=a−bab÷a2−2ab+b22ab
=a−bab⋅2aba−b2
=2a−b；
（2）解：∵数轴上点A、B表示的数分别为a、b，且AB=4，
∴a−b=4，
∴a−b=±4，
当a−b=4时，H=2a−b=24=12；
当a−b=−4时，H=2a−b=2−4=−12；
综上，H的值为±12．