浙教版七年级数学期末复习热考考点专题3.3 乘法公式（9大考点35题）原卷版+解析版

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12781" 一、用平方差公式计算 PAGEREF _Tc12781 \h 1
\l "_Tc29394" 二、平方差公式在简便运算的应用 PAGEREF _Tc29394 \h 1
\l "_Tc9905" 三、平方差公式在几何图形中的应用 PAGEREF _Tc9905 \h 2
\l "_Tc27100" 四、用完全平方公式计算 PAGEREF _Tc27100 \h 4
\l "_Tc31926" 五、完全平方公式在简便计算中的应用 PAGEREF _Tc31926 \h 4
\l "_Tc1282" 六、通过对完全平方公式变形求值 PAGEREF _Tc1282 \h 4
\l "_Tc26561" 七、完全平方公式在几何图形中应用 PAGEREF _Tc26561 \h 5
\l "_Tc21005" 八、求完全平方式中的系数 PAGEREF _Tc21005 \h 7
\l "_Tc2881" 九、完全平方式在几何图形中的应用 PAGEREF _Tc2881 \h 7
一、用平方差公式计算
1．下列各式不能使用平方差公式的是（ ）
A．2a+b2a−bB．2a−bb−2a
C．−2a+b−2a−bD．2a−b−2a−b
2．下列能用平方差公式计算的是（ ）
A．−x+5x−5B．−x+5−x−5
C．x+5x+5D．x+5−x−5
3．计算：5x+y5x−y= ．
4．若x+y=−6, x−y=3，则x2−y2= ．
二、平方差公式在简便运算的应用
1．利用平方差公式计算：12+1122+1124+1= ．
2．用简便方法计算：301×299．
3．计算：20252−2024×2026
4．利用整式乘法公式计算：
(1)982−4
(2)1252−126×124
三、平方差公式在几何图形中的应用
1．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图①），然后将剩余部分剪拼成一个平行四边形（图②）．这样操作能验证的等式是（ ）
A．a2+ab=aa+bB．(a−b)2=a2−2ab+b2
C．(a+b)2=a2+2ab+b2D．a2−b2=a+ba−b
2．如图，大正方形与小正方形的面积之差是45，点H在AB上，点I在FG上，则阴影部分的面积是 ．
3．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：
以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有 （填序号）
4．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．
(1)请表示图1中阴影部分的面积．
(2)小颖将图1中的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，如何表示这个长方形的面积？
(3)比较（1）（2）的结果，你能得到怎样的等式？
(4)对于图1阴影部分的面积，你还有其他计算方法吗？
5．如图1，在边长为a的正方形中作一个边长为ba>b的正方形，则余下的阴影部分拼成一个以a+b为长、a−b为宽的长方形，如图2．
【探究】
（1）请列式表示：
图1中阴影部分的面积为______，
图2中阴影部分的面积为______；
根据两图中阴影面积相等，可以得到乘法公式是： ．
【应用】
（2）根据（1）中的公式解决如下问题：
①若a2−b2=8，a−b=2，则a+b= ；
②计算：3+132+134+138+1⋯31024+1．
四、用完全平方公式计算
1．下列关于x−12计算正确的是（ ）
A．x2+1B．x2−1C．x2−2x+1D．x2+2x+1
2．化简：x+12−2x= ．
3．已知(3x+2)2=ax2+bx+4，则a−b的值为 ．
4．先化简，再求值：(a+3)2−(a+3)(a−3)，其中a=−13．
五、完全平方公式在简便计算中的应用
1．运用完全平方公式计算39.62的最佳选择是（ ）
A．(38+1.6)2B．(40−0.4)2C．(30+9.6)2D．(50−10.4)2
2．简便计算：422−42×24+122= ．
3．计算（用简便方法并写出解题过程）：
(1)499×501；
(2)10012−2002+1．
六、通过对完全平方公式变形求值
1．已知(a+b)2=6，(a−b)2=46，则ab的值为（ ）
A．10B．−10C．8D．−8
2．已知x−20232−x−20252=24，则x−20242的值是 ．
3．已知x+y=8,xy=12，
(1)求x2+y2的值
(2)求x−y的值
4．已知x+y=3,xy=1．求下列各式的值：
(1)x2+y2；
(2)x2+xy+y2
(3)x4+y4
七、完全平方公式在几何图形中应用
1．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
(1)根据图1，图2的面积关系，请你直接写出代数式：a+b2, a2+b2, ab之间的等量关系．
(2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知m+n2=25，m2+n2=20，求mn和m−n2的值；
②已知x>0，y>0，x2+4y2=7， xy=12，求代数式5−x5−2y的值．
2．现有边长分别为a、bba的大正方形内，左下角长方形的面积为S3，两张卡片重叠部分的面积为S4．若a2+b2=c2，请直接写出S3与S4的数量关系： ．
3．如图①是一个长为4b，宽为a的长方形（a>b），沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形，如图②所示．
(1)观察图②，请你写出a+b2，a−b2，ab之间的等量关系：______；
(2)根据（1）中的结论，若a+b=4，ab=3，求a−b；
(3)如图③，正方形ABCD的边长为x，AE=3，CG=5，长方形EFGD的面积是20，四边形NDGH和四边形MEDQ都是正方形，求图中阴影部分的面积．
4．【探索】
（1）观察图1，图2，请写出(a+b)2,(a−b)2,ab之间的等量关系：_______；根据（1）的结论，若x+y=4,xy=1,则(x−y)2的值是_______．
【应用】
（2）如图3，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE=DE，BE=CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，AC=16米，求种草区域的面积和．
【拓展】
（3）利用4张完全相同的小长方形纸片（长为a，宽为b）拼成如图所示的大长方形，记长方形ABCD的面积为S1，长方形EFGH的面积为S2．若不论AB的长为何值时，S1−S2永远为定值，求a、b之间的数量关系．
八、求完全平方式中的系数
1．若4x2+mx+9是一个完全平方，则m的值为（ ）
A．±12B．±6C．±36D．+6，−8
2．若x2−kx+25是一个完全平方式，则k= ．
3．如果4x2+12x+k（k是常数）是个完全平方式，那么k的值为 ．
4．已知x2−2(m+1)x+4m是关于x的完全平方式，则常数m= ．
九、完全平方式在几何图形中的应用
1．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
(1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若a＋b2=5，a−b=1，求ab的值；
(2)正方形ABCD、正方形AEFG如图②所示方式摆放，边长分别为x，y．若x2+y2=34，BE=2，请直接写出图中阴影部分的面积；
(3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式；
(4)已知 a+b=3，ab=1，利用3中的恒等式求a3+b32的值．
2．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块相同的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：__________________．
方法2：__________________．
请写出代数式：m+n2,m−n2，mn之间的等量关系是______．
(2)许多代数等式可以用图形的面积来表示．直接写出图3的面积所表示的代数等式；
(3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知a−b=3，ab是负整数，求(a+b)2的值．
3．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．

(1)用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
(2)若a−b=8，ab=13，求S1+S2的值；
(3)用a、b的代数式表示S3，并当S1+S2=36时，求出图③中阴影部分的面积S3．