专题16.6 期末复习之填空压轴题十五大题型总结-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）(原卷版+解析版)

这是一份专题16.6 期末复习之填空压轴题十五大题型总结-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）(原卷版+解析版)，文件包含专题166期末复习之填空压轴题十五大题型总结华东师大版原卷版docx、专题166期末复习之填空压轴题十五大题型总结华东师大版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共92页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21632" 【题型1 新定义下的实数运算】 PAGEREF _Tc21632 \h 1
\l "_Tc21445" 【题型2 与整式乘除有关的化简求值】 PAGEREF _Tc21445 \h 2
\l "_Tc6937" 【题型3 利用整式乘法解决图形面积问题】 PAGEREF _Tc6937 \h 2
\l "_Tc29483" 【题型4 利用因式分解解决最值问题】 PAGEREF _Tc29483 \h 3
\l "_Tc10361" 【题型5 利用因式分解解决整除问题】 PAGEREF _Tc10361 \h 4
\l "_Tc14573" 【题型6 由全等三角形的判定与性质求线段长度】 PAGEREF _Tc14573 \h 4
\l "_Tc31651" 【题型7 由全等三角形的判定与性质求角度】 PAGEREF _Tc31651 \h 5
\l "_Tc1981" 【题型8 与全等三角形有关的动点问题】 PAGEREF _Tc1981 \h 6
\l "_Tc5485" 【题型9 几何图形最值问题】 PAGEREF _Tc5485 \h 8
\l "_Tc2648" 【题型10 构造等腰三角形求值】 PAGEREF _Tc2648 \h 9
\l "_Tc30163" 【题型11 等腰三角形的存在性问题】 PAGEREF _Tc30163 \h 10
\l "_Tc10265" 【题型12 利用勾股定理解决面积问题】 PAGEREF _Tc10265 \h 11
\l "_Tc30933" 【题型13 利用勾股定理解决翻折问题】 PAGEREF _Tc30933 \h 12
\l "_Tc16100" 【题型14 判断能否构成直角三角形】 PAGEREF _Tc16100 \h 13
\l "_Tc14112" 【题型15 勾股定理的应用】 PAGEREF _Tc14112 \h 14
【题型1 新定义下的实数运算】
【例1】（23-24八年级·重庆·期末）如果一个四位自然数M=abcd满足a+c=2b+d，那么称这个四位数为“2倍和数”．例如：四位数8103，因为8+0=21+3，所以8103是“2倍和数”；又如：四位数9125，因为9+2≠21+5，所以9125不是“2倍和数”．若M=abcd是“2倍和数”，则M的最小值是 ；M=abcd是一个“2倍和数”，去掉其个位数字得到一个三位数M1=abc，记FM=b−d，若M1=abc是11的倍数，则FM的最大值与最小值的和为 ．
【变式1-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）对正整数 n ，规定 n!=n×n−1×n−2…×2×1 ，记 对正整数 n ，规定n!=n×n−1×n−2…×2×1 ，记S=1!×2!×…×24!，若正整数kk≤100使得S×k!为完全平方数，请写出一个符合条件的 k 的值：
【变式1-2】（23-24八年级·全国·单元测试）对于任何实数a，可用a表示不超过a的最大整数，如4=4，3=1．现对72进行如下操作：72第一次72=8第二次8=2第三次2=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
【变式1-3】（23-24八年级·湖南永州·期末）某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第k棵树种植在点xk处，其中x1=1，当k≥2时．xk=xk−1+T(k−13)−T(k−23),T(a)表示非负实数a的整数部分，例如T(3.5)=3,T(0.8)=0．按此方案，第2021棵树种植在点x2021处，则x2021= ．
【题型2 与整式乘除有关的化简求值】
【例2】（23-24八年级·四川眉山·阶段练习）如果整数x，y，z满足158x⋅169y⋅2710z=16，则代数式2x+yx−y的值为 ．
【变式2-1】（23-24八年级·四川成都·期中）若x2−5x+2=0，则2x3−7x2−11x+2020的值为 ．
【变式2-2】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）若am=20，bn=20，ab=20，则m+nmn= ．
【变式2-3】（23-24八年级·福建漳州·期中）已知a，b，x，y满足关系式ax+by=7，ay−bx=5，则a2+b2x2+y2的值为 ．
【题型3 利用整式乘法解决图形面积问题】
【例3】（23-24八年级·江苏连云港·期中）矩形ABCD内放入两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为S1；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为S2；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为S3，已知S1−S3=2， S2−S3=9，设AD−AB=m，则mb= ．

【变式3-1】（23-24八年级·浙江温州·期中）如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为4cm的正方形AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为S1，长方形ABCD的面积记为S2，已知：3S2－S1=96，则长方形ABCD的周长为 ．
【变式3-2】（23-24八年级·贵州六盘水·期中）有6张如图①的长为a，宽为b(a>b)的小长方形纸片，按图②方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a,b满足的数量关系是 ．
【变式3-3】（23-24八年级·浙江湖州·期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S1，每一个边长为b的小正方形面积记作S2，若S1=6S2，则ab的值是 ．
【题型4 利用因式分解解决最值问题】
【例4】（23-24八年级·四川成都·期末）已知a，b，c为整数，满足a+b+c=10，S=(10a+bc)(10b+ac)(10c+ab)≥2019，则S的最小值是 ．
【变式4-1】（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）已知等式x+ax+b+cx−7=x−3x+1对一切x都成立，a、b、c为整数．且a+b>0．则a−b的最小值是 ．
【变式4-2】（23-24八年级·重庆沙坪坝·阶段练习）若2x2+7xy−15y2+ax+by+3可以分解成两个一次整系数多项式的乘积，其中a、b为整数，那么a+b的最小值是 ．
【变式4-3】（23-24八年级·福建泉州·期中）已知：a，b，c都是正整数，且a+b+c=342，a−bc=331．abc的最大值为M，最小值为N，则M+N= ．
【题型5 利用因式分解解决整除问题】
【例5】（23-24八年级·重庆沙坪坝·阶段练习）对于一个三位正整数n，如果n满足：百位数字、十位数字与个位数字之和等于15，那称这个数为“月圆数”，例如：n1=843，8+4+3=15，∴843是“月圆数”； n2=133，…1+3+3=7≠15，∴133不是“月圆数”．若m，p都是“月圆数”， m=300+10a+b，p=100a+60+c(a，b，c均为1−9的整数），规定F(m,p)=m+p3，若s是m去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，t是p去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数，若s与t的和能被11整除，则F(m,p)的值为 ．
【变式5-1】（23-24八年级·四川成都·期末）已知312−1可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为 ．
【变式5-2】（23-24八年级·福建泉州·期中）若一个四位正整数abcd满足：a+c=b+d，我们就称该数是“交替数”，若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除，则满足条件的“交替数”m的最大值为 ．
【变式5-3】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成M×NM≥N，其中M与N都是两位数，M与N的十位数字相同，个位数字之和为6，则称此数为“如意数”，并把数A分解成A=M×N的过程，称为“完美分解”．例如，因为525=21×25，21和25的十位数字相同，个位数字之和为6，所以525是“如意数”．
（1）最小的“如意数”是 ；
（2）把一个“如意数”A进行“完美分解”，即A=M×N，M与N的和记为P，M与N的差记为Q，若PQ能被11整除，则A的值为 ．
【题型6 由全等三角形的判定与性质求线段长度】
【例6】（23-24八年级·山东淄博·期中）在钝角△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，这两条高所在的直线相交于点O，若BO=AC，BC=a，CD=b，则AD的长为 ．
【变式6-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF=12∠BAD，线段BE，EF，FD之间的数量关系是 ．
【变式6-2】（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为射线CB上的动点，AE=AD，且AE⊥AD，BE与AC所在的直线交于点P，若CD=3BD，则PC与AC的比值为 ．
【变式6-3】（23-24八年级·山东日照·阶段练习）如图，△ABC中，∠C=90°，角平分线AD、BE相交于P，AP=3PD，BD=3，则AE= ．
【题型7 由全等三角形的判定与性质求角度】
【例7】（23-24八年级·江苏南通·期末）如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB=72°，∠ABC=50°，并且∠BAD+∠CAD=180°，那么∠BDC的度数为
【变式7-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，O为△ABC内一点，且∠OCB=5°，∠ABO=25°，则∠OAC= .

【变式7-2】（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°，BD与CE交于点F，连接AF，则∠AFB的度数为 ．
【变式7-3】（23-24八年级·河北邢台·期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°,AD与BC交于点P（不与点B,C重合），点B,E在AD异侧，∠PAC和∠ACP的平分线相交于点I.

（1）PD的最大值为 ；
（2）当∠APC=75∘时，∠CAE的度数为 ；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为 .
【题型8 与全等三角形有关的动点问题】
【例8】（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E；QF⊥l于点F，设运动时间为t秒．
①当点P在AC上时，PC= （用含t秒代数式表示）；
②当t= 秒时，△PEC与△QFC全等．
【变式8-1】（23-24八年级·江西赣州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=8 cm,BC=12 cm，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和点Q分别以1 cm/s和3 cm/s的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．当点P运动 秒时，△PEC与△QFC全等．
【变式8-2】（23-24八年级·四川德阳·期末）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=22，AC=28，点P以每秒1个单位的速度按B−A−C的路径运动，点Q以每秒2个单位的速度按C−A−B的路径运动，在运动过程中过点P作PF⊥l于点F，点Q作QG⊥l于点G，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动t秒时△PFA≌△AGQ，则t的值是 ．
【变式8-3】（23-24八年级·河南周口·期末）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，BC=8cm，设运动时间为t，则当t= s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
【题型9 几何图形最值问题】
【例9】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为BC中点，AD=6，P为AB上一个动点，当P点运动时，PC+PD的最小值为 ．
【变式9-1】（23-24八年级·河南信阳·期末）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°,AB=8，O是AC的中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值为 ．
【变式9-2】（23-24八年级·四川绵阳·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D为AB的中点，P为BC上一动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是 ．
【变式9-3】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，∠BCD=15°，点P为射线CD上的动点，当PA−PB为最大值时，∠PAC的度数为 °．
【题型10 构造等腰三角形求值】
【例10】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，点P为△ABC内部一点，使得∠PBC=30°，∠PBA=8°，∠APB=150°，∠CAP=22°，则∠APC的度数为 °．
【变式10-1】（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）如图所示，在四边形ABCD中，∠DAC=12°，∠CAB=36°，∠ABD=48°，∠DBC=24°，则∠ACD= °．
【变式10-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，AD平分∠BAC，3∠ACB−∠ABC=360°，BE⊥AD交AD的延长线于点E，AB=16，BE=4.5，则AC= ．
【变式10-3】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，点F为CD上一点，连接AF交BD于点E，AF⊥AB，DE=DF，∠BAG=∠ABC=45°，AE=2EF，AB=20，则AF= ．
【题型11 等腰三角形的存在性问题】
【例11】（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在△ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，则满足条件的∠B的度数为 ．
【变式11-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，△ABC≌△A′B′C′，∠ABC=90°，∠A′=27°（0°