浙江省杭州市锦绣育才教育集团2024-2025学年下学期七年级期中 数学试题（含解析）

这是一份浙江省杭州市锦绣育才教育集团2024-2025学年下学期七年级期中 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了 下列各选项中计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间为100分钟．
2.答题前，请在答题卷制定位置内填写校名，姓名和班级，填涂考生号．
3.答题时，所有答案必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应．
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列现象是平移的是（ ）
A. 电梯从底楼升到顶楼B. 卫星绕地球运动
C. 纸张沿着它的中线对折D. 用投影仪把文字变换到屏幕上
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平移现象，熟练根据平移的定义联系实际生活是解题的关键．平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动，根据平移的定义分析即可．
【详解】解：A. 电梯从底楼升到顶楼，是平移，故该选项符合题意；
B. 卫星绕地球运动，不是平移，故该选项不符合题意；
C. 纸张沿着它的中线对折，不是平移，故该选项不符合题意；
D. 用投影仪把文字变换到屏幕上，不是平移，故该选项不符合题意；
故选：A．
2. 下列关于计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：C．
3. 若等式，是关于，的二元一次方程，则的值是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二元一次方程的定义，得|m|=1，m-1≠0，计算判断即可．
【详解】∵等式，是关于，的二元一次方程，
∴|m|=1，m-1≠0，
解得m=-1，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程即含有两个未知数且含未知数的项的次数为1的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
4. 下列各选项中计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．按照合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式，单项式除以单项式别进行计算，作出判断即可．
【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
5. 如图，直线与直线，分别交于点，，，，则1的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等，得出，进而根据邻补角互补，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴
故选：D．
6. 某班学生分组搞活动，若每组7人，则余下4人；若每组8人，则有一组少3人．设全班有学生x人，分成y个小组，则可得方程组（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题中的关键性的信息是：若每组人，则余下人；若每组人，则有一组少人．据此即可得出关于，的二元一次方程组．
详解】解：根据若每组人，则余下人，得方程；
根据若每组人，则有一组少人，得方程．
可列方程组为．
故选：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7. 用一块含60°角的直角三角板和一把直尺按图中所示的方式放置，其中直尺的直角顶点与三角板的60°角顶点重合，直尺两边分别与三角板的两条直角边相交，若，则的度数为（ ）
A. 25°B. 22.5°C. 20°D. 15°
【答案】C
【解析】
【分析】如图，根据题意得到∠C=90°，AB∥DE，∠CDF=60°．先根据三角形内角和求出∠ABC=40°，再根据平行的性质求出∠CDE=40°，即可求出∠2=20°．
【详解】解：如图，由题意得∠C=90°，AB∥DE，∠CDF=60°．
∵∠C=90°，∠1=50°，
∴∠ABC=180°-∠C-∠1=40°，
∵AB∥DE，
∴∠CDE=∠CBA=40°，
∵∠CDF=60°
∴∠2=∠CDF-∠CDE=20°．
故选：C
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，熟知两个定理并理解题意得到已知条件是解题的关键．
8. 已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于m，n的方程组的解是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将关于的方程组变形为，再根据关于的方程组的解可得，由此即可得出答案．
【详解】解：关于的方程组可变形为，
由题意得：，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了求二元一次方程组的解，正确发现两个方程组之间的联系是解题关键．
9. 如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）

A. 102°B. 108°C. 124°D. 128°
【答案】A
【解析】
【分析】先由矩形的性质得出∠BFE=∠DEF=26°，再根据折叠的性质得出∠CFG=180°-2∠BFE，∠CFE=∠CFG-∠EFG即可．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°，
故选A．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
10. 把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握整式混合运算的顺序和法则是解题的关键．
设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，根据图1和图2得出和，再利用得到，再表示出，代入计算即可．
【详解】解：将B向左推，可得如图，
设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，
根据图2是正方形，得，
即，
由图（2）两个A的位置，可得即，
∴图2正方形边长为
∴，
∵
∴
∴
∴
故选：C．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11. 已知，请你用含的代数式表示_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的解，先把当已知数求得即可求解．
【详解】解：，
∴
∴
故答案为：．
12. 流感病毒的直径约为，其中用科学记数法可表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13. 如图，若将木条绕点旋转后使其与木条平行，则旋转的最小角度为______．
【答案】##度
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．根据同位角相等两直线平行可得当时，，进而算出答案．
【详解】解：∵当时，
∴旋转的最小角度为，
故答案为：．
14. 对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是______．
【答案】9
【解析】
【分析】根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解．
【详解】解：由题意得：，
得：，
把代入得：，
∴
则，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
15. 利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值．对于多项式，当_____时，有最小值是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方的非负性，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．将多项式变形成，再结合求解即可．
【详解】解：，
由知，当时，多项式有最小值，
故答案为：；．
16. 图1是某折叠式靠背椅的实物图，支撑杆，可绕连接点O转动，椅面底部有根可以绕点H 动的连杆，段在转动过程中形状保持不变．图2是椅子合拢状态的侧面示意图，椅面和靠背平行，测得，，则靠背与水平地面的夹角________．如图3，打开时椅面 与地面平行，延长交于点H，平分．若，则________．

【答案】 ①. 80 ②. 105
【解析】
【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，平行线的性质，三角形内角和即可解答．
【详解】解：在图2中，∵ ，
∴，
又，
∴，
在图3中，∵，，
∴，
即，
又∵，
∴，
即，
即，
又∵平分，
∴，
又∵，
∴，
即，
故答案为：80；105．
【点睛】本题考查了三角形的外角等于不相邻的两内角和，平行线的性质，三角形内角和为，解题的关键是熟练掌握以上知识点及运用空间想象能力．
三、解答题（第17、18题各6分，第19、20题各8分，第21、22题各10分，第23、24题各12分，共72分）
17. 解方程组：
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用加减消元法解方程组得出答案．
（2）把前一个方程变形为2（x+1）=12y，利用整体代入消元解方程组得出答案．
【详解】解：（1），
②﹣①得：2y＝﹣2，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①得：x＝，
∴方程组的解为；
（2），
由得：，
得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴方程组的解为．
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组消元的基本思路和方法是解题关键．
18. 计算：
（1） ；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算、整式的四则混合运算等：
（1）先根据乘方、零次幂化简，然后再计算即可；
（2）利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式与单项式乘除运算法则化简求出答案．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
19. 完成下面的证明．
如图，与互补，，求证：．对于本题小丽是这样证明的，请你将她的证明过程补充完整．
证明：与互补，（已知）
∴．（_____________________）
．（__________________）
，（已知）
，（等量代换）即__________________．
．（__________________）
．（__________________）
【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行； 两直线平行，内错角相等
【解析】
【分析】此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理与性质．已知与互补，根据同旁内角互补两直线平行，可得，再根据平行线的判定与性质及等式相等的性质即可得出答案．
【详解】证明：与互补，（已知）
∴．（同旁内角互补，两直线平行）
．（两直线平行，内错角相等）
，（已知）
，（等量代换）即
．（内错角相等，两直线平行）
．（两直线平行，内错角相等）
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算－化简求值，解题的关键是掌握平方差公式，完全平方公式及去括号，合并同类项法则．先展开，再去括号，合并同类项，化简后整体代入求值．
【详解】原式

∵
∴
原式
21. 如图，已知，平分，且．
（1）请说明的理由．
（2）连结，若，且，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质；
（1）由和平分可得，再由可得，即可得到；
（2）由平行和可得进而得到，再由求出，即可求出的度数．
【小问1详解】
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
，
，
，
即，
．
22. 如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．
（1）由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，解决下列问题：
①两个正方形，如图3摆放，边长分别为．若，，求的值；
②求图中阴影部分的面积和．
【答案】（1）
（2）①的值为；②图中阴影部分的面积和为
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积之间的关系得到，，之间的等量关系式是解题的关键．
（1）根据大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，可得结论；
（2）①利用（1）中关系式计算可得结论；
②利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可．
【小问1详解】
解：∵大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，
∴．
∴．
故答案为：；
【小问2详解】
①∵，为正方形，边长分别为，
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
②．
23. 根据以下素材，探索完成任务：
【答案】任务1：7；5；2；任务2：方法②方法②的裁剪6根，方法③的裁剪5根；
任务3： 至少需要的费用为元，剩余材料为20dm
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组与二元一次方程程的应用，解题的关键是仔细审题，正确列出方程．
任务1：根据围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠；
任务2：利用方法②与方法③列出方程组求解即可；
任务3：根据题意先计算出所需不同尺寸的横杠，竖杠的数量，再每根的材料恰好可裁下2根、a根、b根的用料（无剩余），计算出a，b的值，最后用裁剪若干根的用料（可剩余）来补全即可．
【详解】解：任务1：（根）
方法①：当只裁剪长竖杠时，最多可裁剪7根．
（根），
方法②：当先裁剪下1根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠5根．
（根），
方法③：当先裁剪下2根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠2根．
任务2：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，依据题意得：
，解得：．
答：方法②和方法③各裁剪6根与5根长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料；
任务3：根据题意：需制作围栏：（副）
即的横杠：（根）
的竖杠：（根）
竖杠：（根）
长的围栏材料无剩余裁剪时：，即，
，
为正整数，
，
长的围栏材料无剩余裁剪可裁剪下2根、1根、2根的用料，
长的围栏材料有剩余裁剪时：（根），即可裁剪7根的竖杠，
需要长的围栏材料无剩余裁剪（根）
则的竖杠有：（根），的竖杠有：（根）
还需要的竖杠（根）
（根），则长的围栏材料有剩余裁剪3根，
共需要长的围栏材料（根）
剩余材料为：，
至少所需要费用：（元）．
24. 如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且．
（1）若，求的度数；
（2）如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连接，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】本题考查平行线性质和三角形内角和定理，综合性较强，画出辅助线是关键．
（1）过点B作直线，结合平行线性质即可得出结论．
（2）过点B作直线，结合平行线性质即可．
（3）结合题意分为①当点P在上时；②当点M在的延长线上时，两种情况画出图形，分类讨论即可．
【小问1详解】
解：如图1，过点作直线，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
，理由如下：
如图2，过点作直线，
由（1）得，，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
【小问3详解】
或理由如下：
当点M在上时，如图3（1），
在中，，
，
，
，
，
，
；
当点M在的延长线上时，如图3（2），
在中，，
，
，
，
，
，
，
综上，或．
素材1
某校“半亩方塘”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地，已知围栏的横杠长为，竖杠长为，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成．
素材2
为了深度参与学校蔬菜基地的建立，劳动实践小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏，已知这种规格的围栏材料每根长为，价格为50元/根．
解决问题
任务要求
解决办法
任务1
一根长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废）
方法①：当只裁剪长的用料时，最多可裁剪______根．
方法②：当先裁剪下1根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根．
方法③：当先裁剪下2根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根．
任务2
要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为（即需要制作8副围栏，需要的用料为：16个横杠，40个竖杠）．
劳动实践小组打算用“任务1”中的方法②和方法③完成裁剪任务，请计算：分别用“任务1”中的方法②和方法③各裁剪多少根长的围栏材料，才能恰好得到所需要的相应数量的用料？
任务3
劳动实践小组准备优化围栏：将横杠材料由每根调整为每根，再将其中两根竖杠材料由每根调整为每根（其它三根竖杠长度不变）．
若要搭建任务2中所需的围栏长度（），每根的材料恰好可裁下2根、a根、b根的用料（无剩余）或者若干根的用料（可剩余）．问：购买的材料至少需要多少费用？若材料有剩余，请求出剩余材料的长度，（剩余材料不可拼接）