四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试卷（含解析）

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A卷
一、选择题（32分）
1. 下列有理数中最大的数是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据负整数指数幂化简，再根据有理数的大小比较法则进行比较，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴最大的数是．
故选：D
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，有理数的大小比较，熟练掌握负整数指数幂，有理数的大小比较法则是解题的关键．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据积的乘方运算法则和单项式乘单项式运算法则进行运算，即可获得答案．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了积的乘方运算和单项式乘单项式运算，熟练掌握和运用相关运算法则是解决本题的关键．
3. 如图，直线被直线所截，，，则（ ）．
A. 36°B. 54°C. 46°D. 44°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，求得，即可求得．
【详解】解：如图，
，
，
，，
，
．
故选B
【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握平行线的性质是解题的关键．
4. 如图，已知AB＝CD，若使△ABC≌△DCB，则不能添加下列选项中的（ ）
A. ∠ABC＝∠DCBB. BO＝CO
C. AO＝DOD. ∠A＝∠D
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形全等的判定条件对各选项进行判断即可．
【详解】解：由题意知，，，
A中，根据边角边，得到，故不符合题意；
B中，则由等边对等角可得，根据边角边，得到，故不符合题意；
C中AO＝DO，则，由等边对等角可得，根据边角边，得到，故不符合题意；
D中无法证明，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定．解题的关键在于熟练掌握三角形全等的判定条件．
5. 根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（ ）
A. AB＝3，BC＝6，CA＝8B. AB＝6，∠B＝60°，BC＝10
C. AB＝4，BC＝3，∠A＝30°D. ∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
【答案】C
【解析】
【分析】判断其是否为三角形，即两边之和大于第三边，之差小于第三边，两边夹一角，或两角夹一边可确定三角形的形状，否则三角形则并不是唯一存在，可能有多种情况存在．
【详解】解：A、符合全等三角形的判定定理，即能画出唯一的，故不符合题意；
B、根据三角形的判定定理，能画出唯一的，故不符合题意；
C、∠A并不是AB，BC的夹角，所以可画出多个三角形，不能画出唯一的，故符合题意；
D、根据判定，可以画出唯一的，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，解题的关键是知道只有符合全等判定方法的条件画出的三角形才都是一样的，也就是说是唯一的．
6. 已知，，m，n为正整数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算，熟练运用同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
先用同底数幂的乘法逆运算法则将变形为，再将，，代入即可计算．
【详解】解：，
将，代入得
；
故选：A．
7. 如图中，D在BC的延长线上，过D作于F，交AC于E．已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质及三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用数形结合的思想．
8. 若（ ），则括号内应填的代数式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方差公式进行分解因式，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴括号内应填的代数式是，
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式，熟记平方差公式，是解决此题的关键．
二、填空题（20分）
9. 已知，则的值是________．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式应用，换元法是解题的关键．设，换元后进行计算即可求解．
【详解】解：设，
∵，
∴，
即，
解得，
即的值为13．
故答案为：13．
10. 办公中常用的纸张一般A4纸其厚度为0.0075m，将0.0075用科学记数法表示为_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用负指数幂以及科学记数法的定义：（其中，n为整数）对0.0075进行表示即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了负指数幂与科学记数法表示绝对值小于1的数，熟知科学记数法的定义：（其中，n为整数）是解决本题的关键．
11. 如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么______．
【答案】##52度
【解析】
【分析】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解题的关键；由题意可知，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：，
∵，
∴；
故答案为．
12. 计算的结果是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据积的乘方，单项式除以单项式等知识解答即可．
【详解】解：，
故答案：．
13. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理．根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出答案即可．
【详解】解：在和中，
.
∴，
∴，
即就是的平分线，
故答案为：．
三、解答题
14. 计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算、实数的运算．熟练掌握运算法则是解题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．
（1）先利用零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方和绝对值进行计算，然后再算乘法和加法即可；
（2）先算积的乘方，再算单项式的乘除法即可；
（3）根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则可以将式子展开，然后合并同类项即可；
（4）根据完全平方公式和多项式乘多项式的法则计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
15. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，63
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式、平方差公式及单项式除以单项式，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式、平方差公式及单项式除以单项式进行化简，然后再代值求解即可．
【详解】解：原式
；
当，时，则原式．
16. 若是完全平方式，且，则的值是多少？
【答案】27或
【解析】
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
根据完全平方公式的特征判断即可得到b的值，即可解答．
【详解】解：∵是完全平方式，
，
解得：或，
当，时，，
当，时，，
故答案为：27或．
17. 如图，在中，，，，与相交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证；
（2）由（1）可得，则有，然后根据三角形的面积公式可进行求解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
18. 如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形

（1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于多少？
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法
方法
（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则 ．
【答案】（1）
（2），
（3）
（4）29
【解析】
【分析】本题主要考查我们的公式变形能力，如何准确地确定三个代数式之间的等量关系是解题的关键．
（1）观察图2，阴影部分的边长就是矩形的长与宽的差，即；
（2）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积；
（3）由（2）即可得出三个代数式之间的等量关系；
（4）将，，代入三个代数式之间等量关系即可求出的值．
【小问1详解】
解：图2中阴影部分的正方形的边长等于；
【小问2详解】
解：方法一、阴影部分的面积；
方法二、阴影部分的边长；故阴影部分的面积．
【小问3详解】
解： 三个代数式之间的等量关系是：；
【小问4详解】
解：．
故答案为：、；；29．
B卷
一．填空题（20分）
19. 若，，则的值为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用．利用平方差公式将原式分解为两个因式的积再代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
，
故答案为：．
20. 已知 ，则的值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键．
利用完全平方公式变形运算出和的值后，再代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴；
故答案为：．
21. 已知若，且，则：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求代数式的值、完全平方公式，首先利用完全平方公式求出，利用完全平方公式把展开，可得：原式，再把已知代数式的值代入计算即可．
【详解】解：，
，
整理得：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
22. 如图，是的中线，是的中线，是的中线，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形中线平分三角形面积，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．
由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．则可先求出，再求出，从而得到．
【详解】解：是的中线，
，
是的中线，
，
是的中线，
，
故答案为：．
23. 如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是 ________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质；证明三角形全等是解题的关键．
根据题意可得，根据可证明，根据全等三角形的性质得出，即可判断①正确；根据全等三角形的性质得出，根据三角形的外角性质推得，即可判断②正确；作于，于，则，根据证明，得出，根据角平分线的判定定理得出平分，即可判断④正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，①正确；
∵，
∴，，
由三角形的外角性质得：，
∴，②正确；
作于，于，如图
则，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分，④正确；
∵，
∴当时，平分，
假设，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
与矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故答案为：①②④．
二、解答题
24. 阅读下列解答过程：
已知：，且满足，求：的值．
解：∵，∴，
∴，即，
∴．
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知，且满足，
求：
（1）的值；
（2）的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，多项式乘以多项式，合并同类项法则等知识，熟练掌握完全平方公式，会根据完全平方公式进行变形是解题的关键．
（）先通过平方差公式，多项式乘以多项式，合并同类项法则进行运算，然后仿照阅读内容求出的值即可，
（）将（）中的值两边平方，然后根据完全平方公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（）得，
∴，
∴，
∴．
25. 如图，已知，点平面内一点，过点作射线、，与相交于点，与相交于点．
（1）如图1，当点在直线、之间区域内时，若，，求的度数；
（2）分别在、的内部作射线、交于点，使得，（且为整数）．
①如图2，当点在直线、之间区域内时，与交于点，若，，求的度数；
②如图3，当点在直线上方时，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示）．
【答案】（1）
（2）①②
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先得，再结合两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等，得，然后把，代入进行计算，即可作答．
（2）①依题意，易得，，再设，则，则，，得，结合，得出，然后代入，再结合，，解得，即；即可作答．
②延长到T，过点作，同理得，然后分别表示，，故，，运用，得出，，由（1）可知，代入数值化简，即可作答．
【小问1详解】
解：过点作，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴；
【小问2详解】
解：①过点G作，如图所示：
当时，，，
∴，，
设，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，，
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
②与的数量关系是，理由如下：
延长到T，过点作，如图所示：
∵，（且为整数），
∴，
设，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
由（1）可知
，
∴，
∴，
∴．
26. 如图1，点P、Q分别是等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点M．
（1）求证：；
（2）当点P、Q分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【答案】（1）见详解 （2）不变化，
（3）不变化，
【解析】
【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）由题意易得，，然后问题可求证；
（2）由（1）可知：，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求解；
（3）由题意易得，，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质及三角形外角的性质可进行求解．
【小问1详解】
证明：∵是等边三角形，
∴，
∵点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：不变化，理由如下：
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
即点P、Q分别在、边上运动时，不变化；
【小问3详解】
解：不变化，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴
即点P、Q继续运动时，不变化．