四川省成都市树德实验中学2024-2025学年七年级下学期期中 数学试题（含解析）

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一、单选题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘、除法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据合并同类项，同底数幂的乘、除法，幂的乘方的运算法则逐项计算判断即可．
【详解】解：A. 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B. ，故该选项符合题意；
C. ，故该选项不符合题意；
D. ，故该选项不符合题意；
故选：B．
2. 即细颗粒物，指环境空气中直径小于等于米的颗粒物，其中用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数，由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，掌握表示方法是解题关键．
根据即可得到答案．
【详解】解：，
故选：C．
3. 若一个三角形的三边长分别为4，8，x，则x的值可能是（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的性质，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为4，8，x，
∴8﹣4＜x＜4+8，
即4＜x＜12，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形边的性质，抓住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的规律即可求解．
4. 下列事件是必然事件的为（ ）
A. 掷一枚骰子，3点朝上
B. 任意买一张足球票，座位号是5的倍数
C. 明天一定会下雨
D. 地球每天都在自转
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
根据必然事件，随机事件的定义逐项判断即可．
【详解】解：A. 掷一枚骰子，3点朝上，是随机事件，故该选项不符合题意；
B. 任意买一张足球票，座位号是5的倍数，是随机事件，故该选项不符合题意；
C. 明天一定会下雨，是随机事件，故该选项不符合题意；
D. 地球每天都在自转，是必然事件，故该选项符合题意；
故选：D．
5. 下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式的结构，根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握平方差公式的结构是解此题的关键．
【详解】解：A，C，D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
B中两项互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．
故选 B．
6. 如图，在与中，若，，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
根据所给条件可知，应加已知边的夹角或第三组边相等才可证明这两个三角形全等．
【详解】解：A、加上，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意；
B、加上，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意；
C、加上，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意．
D、加上可得，即，根据能证明这两个三角形全等，故此选项符合题意；
故选：D．
7. 如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（ ）

A. 30°B. 35°C. 40°D. 50°
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：已知m∥n，根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝70°.又因∠3是△ABD的一个外角，可得∠3＝∠2＋∠A.即∠A＝∠3－∠2＝70°－30°＝40°.故答案选C.

考点：平行线的性质.
8. 下列说法错误的是（ ）
A. 同旁内角互补
B. 同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行
C. 能完全重合的两个四边形全等
D. 在同一平面内，两条直线不平行一定相交
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理，全等四边形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据平行线的性质，平行公理，全等四边形等知识点逐项判断即可．
【详解】解：A.两直线平行，同旁内角互补，故该选项说法错误，符合题意；
B. 同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，正确，故该选项不符合题意；
C. 能完全重合的两个四边形全等，正确，故该选项不符合题意；
D. 在同一平面内，两条直线不平行一定相交，正确，故该选项不符合题意；
故选：A．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9. 计算___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据同底数幂的乘法，积的乘方的运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 若关于的二次三项式是完全平方式，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式的结构特征解答即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
11. 一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的7个黑球，5个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，则袋中红球的个数为 _____个．
【答案】13
【解析】
【分析】首先设红球的个数为x个，再利用白球的个数÷总个数＝0.2，计算即可得出答案．
【详解】解：设红球的个数为x个，
根据题意可得：，
解得：，
经检验得：是原方程的根．
故答案为：13
【点睛】本题考查了概率，解本题的关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
12. 如图，分别是△ABC的角平分线和高线，且，则________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，是基础题，准确识图找出各角度之间的关系是解题的关键．
根据三角形的内角和等于求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵是的高线，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 如图，若，，，则长为___．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形性质的应用，根据全等三角形性质求出，求出，即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：3．
三、解答题（本大题共6个题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算及有理数的混合运算．
（1）先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再算加法即可；
（2）先算积的乘方，再利用单项式乘以单项式法则计算，最后利用单项式除以单项式法则计算即可．
小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
15. （1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简及求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先运用平方差公式和去括号法则计算中括号内的式子，合并同类项再计算除法即可得最简结果；
（2）先利用完全平方公式和多项式乘多项式法则化简，再将，代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
，，
原式．
16. 某文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中发现，其中混入了若干支“HB”铅笔，店员进行统计后发现，每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据如下表：
（1）用等式表示，之间满足的数量关系_____________；
（2）从20盒铅笔中任意选取1盒．
①“盒中没有混入‘’”铅笔是_____________事件；（填“必然”“不可能”或“随机”）
②若“盒中混入1支‘’”铅笔的概率为，求和的值．
【答案】（1）
（2）①随机；②，
【解析】
【分析】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率，
（1）根据，求解即可；
（2）①根据事件的分类进行解答即可；
②利用概率公式列式计算即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
解：①“盒中没有混入‘’铅笔”是随机事件，
故答案为：随机；
②∵“盒中混入支‘’铅笔”的概率为，
∴，
∴，
∴，
则，．
17. 如图，已知，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
（1）设交于点，求出，得到，即可得到结论；
（2）由（1）知，得到，推出，得到，即可得到．
【小问1详解】
证明：如图，设交于点，
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，
，
，
，
，
．
18. 在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边在的右侧作等腰直角，．
（1）如图1，当点在线段上时，过点作于，求的长度；
（2）连接，交直线于点，
①如图2，当点运动到的延长线上时，求证：；
②点在运动过程中，若，请直接写出的长．
【答案】（1）
（2）①见解析②或
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）证明，即可得到；
（2）①作，交的延长线于点，先证明，得到，再证明，即可得到结论；
②当在线段上时，由①得，，得到，求出，得到；当点在延长线上时，作于点,求出，得到．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
，
等腰直角，
在和中，
，
；
【小问2详解】
①证明：如图，作，交的延长线于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
②解：当在线段上时，
由①得，，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
当点在延长线上时，
如图，作于点,同①得,,
,,,
,
,
,即,
,
,
,
,
;
综上所述的长为或．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19. 若，那么代数式的值为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了代数值求值，根据已知条件求出，再将所求代数式化简，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
20. 若则_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了同底数幂的除法和幂的乘方的逆用，根据法则变形为，再代入数值计算即可．
【详解】解：∵
∴
故答案为：
21. 观察图形的规律，第①个图形中共有3个小黑点，第②个图形中共有9个小黑点，第③个图形中共有18个小黑点，按照此规律第⑥个图形中共有___个小黑点．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了探索图形规律问题，总结出图形的变化规律是解题的关键．
根据所画出的图形中小黑点的个数，按照规律即可得到第⑥个图形中小黑点的个数．
【详解】解：由图形①、②、③可以看出，
第①个图形小黑点的个数：；
第②个图形小黑点的个数：；
第③个图形小黑点的个数：；
∴第⑥个图形小黑点的个数：．
故答案为：．
22. 一个三位数除以它的各位数字之和，商的最大值是___；商的最小值是___．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了三位数的结构，数字之和与商的关系，
设三位数为，得到，当，时，得出商的最大值是；因为，得到当时，商最小，商的最小值是；即可得到答案．
【详解】解：设三位数为，
它与其各位数之和的商为，
当，时，
商的最大值是；
，
，分子有最小值，分子有最大值，
当时，商最小，商最小值是；
故答案为：，．
23. 在中，，，点在射线上运动，连接，过点在的左侧作，连接，使得 ，连接，过点作于点，直线交射线于点，若，，则___．
【答案】
【解析】
【分析】如图，延长至，使，连接，作交于，过作交于，证明，，三点共线，，可得，，证明，，可得，进一步可得答案，当在射线上时，如图，同法解答即可.
【详解】解：如图，延长至，使，连接，，作交于，过作交于，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形的内角和为,
∴，
∴三点共线，
同理可得：，而，
∴，
∴，，
∵，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，
∵，
∴的面积为，
∴的面积为，
当在射线上时，如图，
同理可得：，与的面积为，
∴的面积为，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，四边形的内角和定理的应用，平行线的性质，等腰三角形的性质，难度很大，作出合适的辅助线确定需要的全等三角形是解本题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，答案写在答题卡上）
24. 如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）观察图②，请你直接写出下列三个式子：，，之间的等量关系式为 ；
（2）若m，n均为实数，且，，运用（1）所得到的公式求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）2
【解析】
【分析】本题考查完全平方式的应用及几何背景．
（1）由图象中长方形面积大正方形面积小正方形面积求解；
（2）根据求解；
（3）利用完全平方公式求解．
【小问1详解】
解：由图象可得：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：，
∵，
∴，
∴．
25. 在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如：，有，则是的“系数补角”．
【概念理解】
（1）若，的“系数补角”是 ；的“系数补角”是 ；
在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点，请解答下面（2）（3）题；
【初步认识】
（2）如图1，点是直线内一点，连接，，若是的“系数补角”，求的大小；
【问题解决】
（3）如图2，连接,若点为直线右边平面内一动点（点不在直线上），与两个角的平分线交于点，若，是的“系数补角”，请直接写出的度数（用含和的代数式表示）．
【答案】（1）;（2）（3）或或
【解析】
【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质等知识.
（1）根据“系数补角”的定义计算即可；
（2）求出，过点作，根据平行线的性质计算即可；
（3）分三种情况：当点在直线内部时，当点在直线下方时，当点在直线上方时；分别求解即可．
【详解】解：（1），
的“系数补角”；
的“系数补角”；
故答案为：；
（2）根据题意得，
，
如图，过点作，
，
，
，，
，
（3）如图，当点在直线内部时，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是的“系数补角”，
，即，
；
如图，当点在直线下方时，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
是的“系数补角”，
，即，
；
如图，当点在直线上方时，
同理可得，
，
是的“系数补角”，
，即，
；
综上所述，的度数为或或．
26. （1）如图1，已知，以为边向外分别作等边和等边，连接．试探究与的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，在四边形中，，连接，当是等边三角形时，探究线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在中，，是一个变化的角，以为边向外作等边，连接，试探究，随着的变化，的长是否存在最大值？若存在，求出长的最大值及此时的大小；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）,理由见解析（2）,理由见解析（3）存在，长的最大值为，
【解析】
【分析】本题考查l等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据题意得到，得到，
推出，即可得到；
（2），理由如下，延长，取，连接，可得到是等边三角形，推出，得到，即可得到；
（3）存在，以为边向外作等边，连接，证明，得到，推出，三点共线时，的值最大，最大值为，得到长的最大值为，此时．
【详解】解：（1），理由如下，
等边和等边，
，
，即，
，
（2），理由如下，
如图，延长，取，连接，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，即，
，
，
；
（3）存在，如图，以为边向外作等边，连接，
都是等边三角形，
，，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
三点共线时，的值最大，最大值为，
长的最大值为，此时．
混入“HB”铅笔数
0
1
2
盒数
6