专题07 圆（江西专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编(原卷版+解析版)

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题型02圆中证明与求解
题型03圆中切线证明与求解
题型01
圆中求解(选填题)
1．（2025·江西·模拟预测）已知是的弦，若的半径为，则弦的长不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】圆的基本概念辨析
【分析】本题考查了圆中弦长的定义，解题的关键是理解弦的定义．根据弦的定义：圆上任意两点之间的距离为弦长，最大的弦为直径，即可求解．
【详解】解：的半径为，
的直径为，
是的弦，
，
弦的长不可能为，
故选：A．
2．（2025·江西南昌·一模）如图，点，，半径为的经过点，，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用垂径定理求值、坐标与图形综合
【分析】本题考查矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及其应用是解题的关键．连接，过点作于点，轴于点，可得四边形是矩形，得出，，利用，，可得，，，利用垂径定理可得，则可得，利用勾股定理可得，即可得．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，轴于点，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
3．（2025·江西宜春·一模）一张直径为的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个三角形，以下四种裁剪图中，所标数据（单位：）长度不合理的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构成三角形的条件，三线合一定理，如选项A中图实所示，过点C作于D，设直线与半圆交于E，连接，设，则，由勾股定理可得方程，解方程求出，，；再证明，得到，则可证明，则此时满足点C在圆内，据此可判断A；同理可判断B、D；如选项C中图所示，过点C作于D，利用勾股定理求出的长，可证明，则点C在圆外，据此可判断C．
【详解】解：如选项A中图实所示，过点C作于D，设直线与半圆交于E，连接，
设，则，
由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，；
∵是半圆的直径，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴此时满足点C在圆内，故A不符合题意；

同理可得B、D两个选项中图形的裁剪合理；
如选项C中图所示，过点C作于D，
∴，
∴，
∴，
∴点C在圆外，故C选项中长度不合理，符合题意；
故选：C．
4．（2025·江西·模拟预测）火星和地球的赤道可以近似地看作一个圆，其中火星赤道的半径是地球的，若把它们的半径都增加，则赤道周长增加更多的是（ ）
A．地球B．火星C．一样多D．无法确定
【答案】C
【知识点】圆的周长和面积问题
【分析】本题的解题关键是认识到圆的周长公式中，周长的增加量仅与半径的增加量有关，而与原始半径的具体大小无关．这意味着，只要两个圆的半径增加相同的量，无论它们原本的半径大小如何，周长的增加量将是一样的．
【详解】解：地球赤道半径增加后的周长增加量为．
火星赤道半径增加后的周长增加量为．
从计算结果来看，无论地球还是火星，只要半径增加相同的量，周长的增加量是相同的，都等于．
故选：C．
5．（2025·江西·模拟预测）若正n边形的中心角为，则 ．
【答案】15
【知识点】求正多边形的中心角
【分析】本题考查了正多边形的中心角，由正n边形的中心角为，可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：∵正n边形的中心角为，
∴，
∴．
故答案为：15．
6．（2025·江西·模拟预测）如图，是的内接三角形，是它的一个外角，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角的定义及性质、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度
【分析】本题主要考查圆周角定理和圆的内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形的对角互补是关键．如图所示，在上取点E，连接，，根据三角形外角的性质求出，然后根据圆的内接四边形的对角互补求出，再根据圆周角定理进而求解即可．
【详解】解：如图所示，在优弧上取点E，连接，，
∵是它的一个外角，，
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，即，
∴．
故答案为：．
7．（2025·江西宜春·一模）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，且，则圆的半径为 ．
【答案】5
【知识点】用勾股定理解三角形、圆的基本概念辨析、坐标与图形综合
【分析】本题主要考查了勾股定理，圆的基本性质，坐标与图形，连接，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴圆的半径为5，
故答案为：5．
8．（2025·江西·模拟预测）如图，是上的点，，与交于点，，，，的半径为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了垂径定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
连接，易得，即可求出，连接，由垂径定理可得，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，设交于点H，如图：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∵
∴，即A是的中点，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得．
故答案为：．
9．（2025·江西·模拟预测）如图，直线直线， 点在直线上，点，在直线上，以的中点为圆心，的长为半径画弧交直线于点．若，，则的长为
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、求弧长
【分析】连接，证明为等边三角形，结合为的中点得，，，由勾股定理得，延长交直线于点，证明得，，进而求得，最后根据弧长公式即可求出的长．
【详解】解：如图，连接，
，，
为等边三角形，
又为的中点，
，，，
，
如图，延长交直线于点，
直线直线，
，
又，
，
，，
又，
，
，
，
的长为．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，弧长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
题型02
圆中证明与求解
10．（2025·江西新余·二模）如图，内接于，是的直径，交于点，的切线交的延长线于点，，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【知识点】垂径定理的推论、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据是的切线，得到，再根据，得到，根据是的直径，得到，得到是的垂直平分线，即可解答；
（2）证明，根据三角形相似的性质可求出的长，再利用等腰三角形三线合一的性质得出，最后证明，根据三角形相似的性质，即可解答．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴；
（2）解：∵，，，
，
∵是的直径，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定及性质，综合性强，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
11．（2025·江西·模拟预测）图1是某城市一座造型独特的桥梁，该桥因索塔为圆形而被称为“戒指桥”，图2是该桥索塔示意图，已知桥面在圆形索塔上的部分，为的中点，为圆心，连接．
(1)求证：；
(2)经测量，到的距离为，求该的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为
【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的推论
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握吹经定理．
（1）设与交于点，由为的中点，可得，推出，即可证明；
（2）连接，由题意可得：，根据垂径定理可得，设的半径为，则，在中，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：设与交于点，
为的中点，
，
，
；
（2）连接，
由题意可得：，
，
，
设的半径为，则，，
在中，由勾股定理可得：，即，
解得：，
的半径为．
12．（2025·江西·模拟预测）如图，正方形的边长为2，经过正方形上的点B，C，且与相切于点P．
(1)正方形的内切圆和外接圆的半径分别为______，______；
(2)求的半径；
(3)求图中阴影部分的面积．（参考数据：，）
【答案】(1)1，
(2)1.25
(3)
【知识点】三角形内心有关应用、正多边形和圆的综合、求扇形面积
【分析】此题主要考查了正多边形和圆，内心的性质，扇形面积公式．
（1）由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度；
（2）连接并延长，交于点E，连接．设的半径为，在中，由勾股定理列式计算即可求解；
（3）先求得，再利用扇形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点O作于点B．
∵正方形的边长为2，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
即外接圆半径为，内切圆半径为1；
故答案为：1，；
（2）解：如图，连接并延长，交于点E，连接．
∵是的切线，
∴，
由正方形可得，
∴，
∵，
∴，
设的半径为，则，
在中，有，
∴，
解得；
（3）解：由（2）知，
∴，
∵，
∴，
连接，
∴，
∴．
13．（2025·江西新余·一模）如图，是的直径，为的弦，于点E，连接并延长到点M，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【知识点】含30度角的直角三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理、已知余弦求边长
【分析】（1）根据圆周角定理，得，结合，可以证明，于是即可得证；
（2）根据，，，得，，根据，解答即可．
【详解】（1）证明：根据圆周角定理，得，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理，余弦函数的应用，熟练掌握定理是解题的关键．
14．（2025·江西·一模）如图，内接于，为直径，点D在上，过点D作切线与的延长线交于点E，，连接交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】解直角三角形的相关计算、切线的性质定理、用勾股定理解三角形、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题主要考查了切线的性质、平行线的性质和判定、勾股定理、锐角三角函数等知识点，正确的作出辅助线、构造直角三角形或平行线是解题的关键．
（1）如图：连接，由为的切线，根据切线的性质得到，由为的直径，得到，根据平行线的判定和性质可得，又因为得到，最后根据等量代换即可证明结论；
（2）如图：连接，则，由勾股定理得到，根据三角函数的定义得到，由求解即可．
【详解】（1）解：如图：连接，
∵为的切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
，
∴，
，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图：连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，．
15．（2025·江西·模拟预测）如图，是半圆的直径，为半圆上任意一点（不与点，重合），射线与直径的垂线相交于点，连接，已知．
(1)当时，分别求线段和的长．
(2)判断与的乘积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)与的乘积是定值，该定值为．
【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
（1）根据题意可得：，根据勾股定理可求出，证明，得到，即可求出；
（2）由（1）知，，得到，推出，即可判断．
【详解】（1）解：是半圆的直径，为半圆上任意一点，
，
，，
，
由题意可知，，
又，
，
，即，
；
（2）与的乘积是定值，
由（1）知，，
，
，
与的乘积是定值，该定值为．
16．（2025·江西·模拟预测）【课本再现】如图1， 是的切线， 为切点， 是的直径．若，
(1)求的度数．
(2)【变式设问】如图2，是的直径， 与相切于点为上一 点，的延长线与射线相交于点D， 若，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】证明某直线是圆的切线、应用切线长定理求证、圆与三角形的综合(圆的综合问题)
【分析】此题考查了切线的性质和切线长定理，三角形内角和定理，等腰三角形性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）利用圆的切线性质得到，由切线长定理知，得到 ，最后根据三角形内角和定理求出．
（2）连接 ，利用等腰三角形性质得到 ，推出 ．
结合已知条件，得到 ，从而判定是切线，根据切线长定理即可得证．
【详解】（1）是的切线
．
（2）根据题意，
如图，连接，
可得
，
又
是的切线
．
17．（2025·江西·模拟预测）课本再现
如图1，，，，垂足分别为，，与相等吗？为什么？
（1）完成上述课本习题．
知识应用
（2）如图2，的弦，的延长线相交于点，连接并延长．若，求证：为的平分线．
【答案】（1），见解析；（2）见解析
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、角平分线的判定定理、圆的基本概念辨析
【分析】本题主要考查了圆的基本概念，三角形全等的判定与性质、角平分线的判定．
（1）证明，根据于点，于点，即可证明；
（2）过点分别作，，垂足分别为，．同理（1）即可得出结论．
【详解】解：（1）．理由如下：
在和中，
，
．
又于点，于点，即分别是边上的高，
．
（2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为，．
，
同理可得：，
，，
为的平分线．
18．（2025·江西·二模）【课本再现】
（1）如图1，分别与相切于A，B两点，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】
（2）如图2，分别与相切于A，B两点，若．
①求的度数；
②若，求部分．
【答案】（1）；（2）①，②
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、求扇形面积
【分析】（1）连接，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出的度数，然后根据圆周角定理，即可推出的度数．
（2）①连接，根据切线的性质定理，可得，平分，，，因此，结合，即可求出的度数．
②在中，过点A作于点H，，，，，可求得，再证明是等边三角形，即，在中，，如答图1，连接，交于点G，易知，且，，根据即可求出答案．
【详解】解：（1）连接，如图所示，
分别与相切于A，B两点，
，
，
，
,，
故选：B．
（2）①如答图1，连接．
分别与相切，
，平分，，．
．
又，
，
．
②如答图2，在中，过点A作于点H．
在中，，，，
，，．
．
．
，，
是等边三角形．
．
在中，，
．
，
．
如答图1，连接，交于点G，易知，且，
．
．
【点睛】本题考查了切线的性质，四边形的内角和，圆周角定理，扇形的面积，解直角三角形的相关计算，正确作出辅助线是解题的关键．
题型03
圆中切线证明与求解
19．（2025·江西吉安·一模）如图，是三角形的外接圆，是的直径，点是延长线上一点，过点作的切线交的延长线于点，且满足．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、证明某直线是圆的切线
【分析】本题考查切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
（1）连接，根据，得出，从而可证得，再由切线的性质得出，则，从而可得，即可由切线的判定定理得出结论；
（2）设的半径为，则，，然后在中，由勾股定理，得，即，求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线．
（2）解：设的半径为，则，
又，，
，
在中，由勾股定理，得
，即，
解得：，
的半径为．
20．（2025·江西·二模）如图，是的直径，直线与相切于点，是上的一点，，延长，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留）
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半、证明某直线是圆的切线、求扇形面积
【分析】此题考查了切线判定和性质、扇形面积等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
（1）连接，，证明，推出，即可证明结论成立；
（2）作于点F，连接，证明是等边三角形，得到，求出，，则，，据此计算即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接，，
∵为的切线，
∴，
∵，，，
∴，
∴，即，
∵点B在上，
∴是的切线；
（2）解；如图，作于点F，连接，，
由可得：是斜边的中线，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴ ．
21．（2025·江西赣州·模拟预测）如图，在中，，为圆的直径．与圆相交于点．过点作于点延长线交圆于点．
(1)求证：为圆的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用垂径定理求值、证明某直线是圆的切线
【分析】（1）根据已知条件证得即可得到结论；
（2）如图，过点O作于点H，则，构建矩形，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，过点作于点，则，
四边形是矩形，
，，
∴，
∴，
，
∴，
。
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，矩形的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握切线的判定．
22．（2025·江西·模拟预测）如图，是的直径，是弦，平分交于点，过点作，交的延长线于点，连接交于点．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了切线判定，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点的应用，主要考查推理和计算能力．
（1）连接，推出，推出，根据切线判定推出即可；
（2）延长，交的延长线于点．证明，再证明可得结论．
【详解】（1）证明：如图，连接．
．
平分
．
，
．
是的半径，
是的切线．
（2）解：如图，延长，交的延长线于点．
，
．
设，则．
，
．
．
23．（2025·江西·模拟预测）如图，为的直径，点C在圆外，，，点D在的延长线上，连接、，分别交于点E、F．若，．
(1)求证：为的切线；
(2)连接并延长，交于点M，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】判断三边能否构成直角三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，圆周角，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．
（1）证明，求得，利用勾股定理的逆定理，得到，即可证明结论；
（2）利用三角形内角和定理，得到，利用直径得出，进而推出，则M为的中点，即可求解．
【详解】（1）证明：在与中，
∵，，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵在中，，，，
∴，．
∴，即为直角三角形，且．
∴为的切线．
（2）解：∵，，
∴．
又∵为的直径，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
∴M为的中点．
∴．
24．（2025·江西·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，延长至点，连接，使．
(1)求证：．
(2)试判断：是不是的切线？若是，请证明；若不是，请说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)是的切线，证明见解析
【知识点】证明某直线是圆的切线、利用两角对应相等判定相似
【分析】本题考查相似三角形的判定、切线的判定，熟练掌握判定方法是解得本题的关键．
（1）利用两角对应相等的两个三角形相似即可证明；
（2）连接，根据直径得到，可证明，得到，即可证明切线．
【详解】（1）证明：，，
；
（2）解：是的切线，证明如下：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
又是的半径，
是的切线．
25．（2025·江西抚州·一模）如图，菱形的边长是的直径，与交于点是上一点，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】证明某直线是圆的切线、半圆（直径）所对的圆周角是直角、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】（1）先由圆周角定理得，再结合菱形的性质证明，则，又因为是的直径，故是的切线．
（2）先设，再得，运用勾股定理列式，代入数值计算，得，再结合，得，则，即可作答．
【详解】（1）证明：如图，连接．
是的直径，
．
四边形是菱形，
．
．
在和中，
，
．
，
．
又是的直径，
是的切线．
（2）解：设，
．
由（1）可知，
．
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
．
，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
26．（2025·江西上饶·一模）如图，内接于，，AD是的直径，交BC于点E，过点D作，交AB的延长线于点F，连接BD．
(1)求证：DF是的切线．
(2)若，，求BD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由圆周角定理得，即，再由等腰三角形的性质和圆周角定理得，，则，然后由平行线的性质得，则，即，即可得出结论；
（2）证，得，则，即可求解．
【详解】（1）证明：是的直径，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）∵是的切线；
∴，
是的直径，
，
，
，
∴
，，
，
∴
，
．
27．（2025·江西宜春·一模）如图，是的直径．四边形内接于，，对角线与交于点E，在的延长线上取一点F，使，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)2
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）由，，证明得，然后求出即可证明是的切线；
（2）连接，，先证明得，，证明是等边三角形得，再证明是等边三角形得，然后证明，再根据相似三角形的性质即可得出的值．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，．
又∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接，．

由（1）可知，．
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，理解圆周角定理，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
28．（2025·江西景德镇·一模）如图，四边形内接于，对角线是直径，延长边，交于点，过点作于点，已知；
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】圆周角定理、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）连接，由，，得，可知，根据，可知，即可证明结论；
（2）根据直径所对圆周角为直角可知，由，可知，进而可得，解直角三角形得，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，而为半径，
∴是的切线；
（2）解：∵为直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴的半径为．
29．（2025·江西鹰潭·一模）如图，已知是的直径，为的内接三角形，为延长线上一点，连接于点，交于点．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)2
【知识点】等边三角形的判定和性质、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了切线的证明和解直角三角形，解题关键是熟练运用切线的判定定理进行证明，利用圆的性质得出等边三角形，运用三角函数求解；
（1）连接，根据和证明即可；
（2）根据得出，得出是等边三角形，再根据三角函数求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
∴
是的半径，
是的切线；．
（2）解：在中，，
，
是等边三角形，
，
是直径，
，
在中，．
30．（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，，D为斜边上一点，，以为直径作，过点O作，垂足为E，连接，．
(1)求证：是的切线．
(2)求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）由勾股定理得，则，而，则，求出，即可证明；
（2），然后证明，那么由，得到，则，继而由勾股定理得，则．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为半径，
∵，
∴是的切线；
（2）解：如图：
由上可得：，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理等知识点，进行角度转化是解题的关键．
31．（2025·江西景德镇·一模）如图，在中，，，延长至点，连接，，为的中点，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)若，的半径为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）连接，由可得，推出，结合，可得，推出，得到，推出，得到，进而得到，由，，可推出是的直径，即可得证；
（2）由（1）可知，是的直径，，得到，，设，，在中，根据勾股定理列方程求出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，即，
，，
，
为半圆弧，
是的直径，
，
是的切线；
（2）解：由（1）可知，是的直径，，
，，
的半径为，
，
，
设，，
在中，，即，
解得：，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，圆周角定理，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
32．（2025·江西宜春·一模）如图，是的一条对角线，且，的外接圆与边交于点．连结．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若的半径为5，且，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)6
【知识点】圆周角定理、证明某直线是圆的切线、已知圆内接四边形求角度、已知正切值求边长
【分析】（1）连接、，连接并延长交于点，可得垂直平分，则，由三角形内角和定理得出，由等边对等角以及圆周角定理得出，再根据平行四边形的性质得出，进而得出，进一步即可得出是的切线．
（2）由等边对等角，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质得出，即可证明．
（3）连接过点B作于点F，由等腰三角形三线合一的性质可知，由，设，，得出，最后根据勾股求解即可．
【详解】（1）证明：连接、，连接并延长交于点，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
即，
∵为的半径，
∴是的切线．
（2）证明：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵四边形是内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴；
（3）解：连接、，连接并延长交于点，
由（1）可知，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴设，，
∴，
在中，，
∴，
即，
解得：（舍去）或，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行四边形的性质，正切的定义，相似三角的判定，圆切线的判定，等腰三角形三线合一等知识，掌握这些性质是解题的关键．
33．（2025·江西南昌·一模）如图，四边形是菱形，是对角线上一点，以点为圆心，为半径画圆交于点，边与相切于点．
(1)①判断点和的位置关系，并说明理由；
②求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的周长．
【答案】(1)①点在上，理由见解析；②见解析
(2)
【知识点】利用菱形的性质证明、切线的性质和判定的综合应用、判断点与圆的位置关系、求弧长
【分析】（1）①连接，，根据菱形的性质得到三角形全等，利用全等三角形的性质求解；
②根据全等三角形的性质和切线的判定来求解；
（2）根据菱形的性质和圆周角定理求出，再利用含角的直角三角形性质求出，由勾股定理求出的长度，利用弧长公式求解．
【详解】（1）解：①点在上，理由如下：
连接，，
在菱形中，
，
∴，
∴．
又是半径，
∴点在上；
②∵，
∴．
又与相切，切点为，
∴，是半径，
∴，
∴，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
在菱形中，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
，
，
即，
∴，，
∴，
∴弧长，
∴．
【点晴】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，点和圆的位置关系，切线的判定和性质，含角的直角三角形性质，勾股定理，弧长公式，理解相关知识是解答关键．
34．（2025·江西·模拟预测）如图1，在中，直径，P是线段延长线上的一点，切于点C，D是上一点，切，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)当时（如图2），求的长；
(3)若四边形是菱形（如图2），求弧与线段围成的阴影图形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】求扇形面积、证明某直线是圆的切线、切线的性质定理、全等的性质和SSS综合（SSS）
【分析】（1）如图1，连接，则有，再证明可得，根据切线的性质可得，进而得到，即可证明结论；
（2）如图2，连接 ，由（1）可知， ，再证明四边形为正方形，再求出，由勾股定理可得，再根据线段的和差即可解答；
（3）如图3，连接，设，则，根据菱形的性质、切线的性质可得，进而得到，最后根据以及扇形的面积公式即可解答．
【详解】（1）证明：如图1，连接，则有．

在和中，
∴，
∴，
∵切于点C，
∴，
∴，即，
∴是的切线．
（2）解：如图2，连接 ，由（1）可知， ．

当时，四边形为矩形．
又∵，
∴四边形为正方形．
∵，
∴，即
∴，
∴．
（3）解：如图3，连接，设，则，

∵四边形是菱形，
∴．则，
∵是的切线，即．
∴，即．
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线的判定、勾股定理、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
35．（2025·江西·模拟预测）如图1，是菱形的边上的高，以点O为圆心，长为半径画圆．
(1)求证：是的切线．
(2)若点B在上，如图2．
①求的度数；
②已知菱形的边长为6，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①，②
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积
【分析】（1）根据菱形的性质得，结合平行线的性质得，因为是菱形的边上的高，得，即，即可作答．
（2）①根据四边形为菱形，得，证明为等边三角形．再结合，得，即可作答．
②结合是等边三角形，得，．根据勾股定理得，求出，因为，得．即可作答．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴．
∴点C在上，即是半径．
∵，
∴．
∵是菱形的边上的高，
∴．
∴，
即．
∵是半径，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接．
①∵点B在上，
∴．
∵四边形为菱形，
∴．
∴．
∴为等边三角形．
∴．
又，
∴．
②∵是等边三角形，
∴，．
在中，，，
∴，，
∴．
∵，
∴
∴．
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，切线的性质与判定，等边三角形的判定与性质，不规则图形的面积，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．