江苏省徐州市九里中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江苏省徐州市九里中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，是平面内的一组基底，若向量与共线，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
3. （ ）
A. B. C. D.
4. 若三点共线，则（ ）
A. B. 5C. 0或D. 0或5
5. 在平行四边形ABCD中，设M为线段BC中点，N为线段AD上靠近D的三等分点，，，则向量（ ）
A. B. C. D.
6. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，已知，，若点为的外心，点满足的点，则（ ）
A. B. C. D. 3
8. 函数的单调递增区间是（ ）
A. (k∈Z)
B. (k∈Z)
C. (k∈Z)
D. (k∈Z)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设向量，则下列叙述正确的是（ ）
A. 若，则与的夹角为钝角
B. 最小值为2
C. 与垂直的单位向量只能为
D. 若，则
10. （多选）下列四个选项，化简正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 给出下列四个命题，其中正确是（ ）
A. 在中，，，若角为钝角，则实数取值范围为
B. 在中，若，则为等腰直角三角形
C. 在中，若，则在方向上的投影向量的模为
D. 在中，若，则点为的重心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，则在上的投影向量的坐标为______.
13. 已知sin(＋α)＝，α∈(－，0)，则cs(α－)的值为________．
14. 在边长为2的正方形，ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM＋DN＝MN，则的最小值是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，，且，．
（1）求向量、；
（2）若，，求向量，的夹角的大小.
16. 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求csβ的值．
17. 如图，已知等腰梯形，，，，.点满足，点在上，满足交于，设，.
（1）用，表示，并求的模；
（2）求的长.
18. （1）已知均为钝角，且，求的值．
（2）已知，且，求的值．
19. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且．
（1）求的值；
（2）若为线段上任意一点，求的取值范围．
江苏省徐州市九里中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合向量共线与垂直的坐标表示，逐项判定，即可求解.
【详解】由向量，，
对于A，由，所以向量与不共线，所以A错误；
对于B，由，所以与不垂直，所以B错误；
对于C，由，，可得，所以，所以C正确；
对于D，由，可得，所以向量与不共线，所以D错误.
故选：C.
2. 已知，是平面内的一组基底，若向量与共线，则实数的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，得到，列出方程组，即可求解.
【详解】由，是平面内的一组基底，向量与共线，
则存在实数使得，可得，解得.
故选：A.
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用，根据诱导公式进行化简，可得，然后利用两角差的正弦定理，可得结果.
【详解】由
所以
，
所以原式
所以原式
故
故选：D
【点睛】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.
4. 若三点共线，则（ ）
A. B. 5C. 0或D. 0或5
【答案】D
【解析】
分析】由题意可得，再利用向量共线求解即可.
【详解】因为，
若三点共线，则，
所以，
解得或5．
故选：D.
5. 在平行四边形ABCD中，设M为线段BC的中点，N为线段AD上靠近D的三等分点，，，则向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的加减法运算结合平面向量基本定理求解即可.
【详解】因为平行四边形ABCD中，设M为线段BC的中点，N为线段AD上靠近D的三等分点，
所以，
因为，，
所以
故选：B

6. 若，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将已知的两个等式两边分别平方相加，化简可得答案.
【详解】因为，，
所以，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
故选：B
7. 在中，已知，，若点为的外心，点满足的点，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据几何关系，转化向量，再计算数量积，结合数量积的几何意义，求数量积的值.
【详解】，
,
，
，
，
.
故选：D
8. 函数的单调递增区间是（ ）
A. (k∈Z)
B. (k∈Z)
C. (k∈Z)
D. (k∈Z)
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式和三角函数的和差公式将化为，然后可算出答案.
【详解】
由可得
所以该函数的单调增区间为 ()．
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设向量，则下列叙述正确是（ ）
A. 若，则与的夹角为钝角
B. 的最小值为2
C. 与垂直的单位向量只能为
D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】求出与夹角的余弦值可判断；向量的模可判断；单位向量可判断；向量模相等列出方程求解可判断.
【详解】对，当时，，因为，
所以与的夹角是钝角，故正确；
对，，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故正确；
对，设与垂直的单位向量为，
则，解得或
与垂直的单位向量为或，故错误；
对，若，可得：，
解得，故错误.
故选：.
10. （多选）下列四个选项，化简正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】运用差角公式及诱导公式计算即可判断各个选项.
【详解】对于A项，，故A项错误；
对于B项，，故B项正确；
对于C项，，故C项正确；
对于D项，，故D项正确.
故选：BCD.
11. 给出下列四个命题，其中正确的是（ ）
A. 在中，，，若角为钝角，则实数的取值范围为
B. 在中，若，则为等腰直角三角形
C. 在中，若，则在方向上的投影向量的模为
D. 在中，若，则点为的重心
【答案】CD
【解析】
【分析】根据角为钝角，转化为数量积的正负，以及不平行，确定的取值范围；根据数量积的公式，结合余弦定理，判断三角形的形状；根据向量模的公式，判断C，根据向量的运算，转化为几何关系，结合重心的定义，即可判断D.
【详解】A.若角为钝角，则，且与不平行，
则，且，解得：且，故A错误；
B. 若，则，两边平方得
，由余弦定理，
所以，所以，则，
所以为直角三角形，故B错误；
C.，所以在方向上的投影向量的模为，故C正确；
D.如图，点是的中点，，若，则，则三点共线，且，所以点是的重心，故D正确.
故选：CD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，则在上的投影向量的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的定义求在上的投影向量坐标即可.
【详解】由在上的投影向量为.
故答案为：
13. 已知sin(＋α)＝，α∈(－，0)，则cs(α－)的值为________．
【答案】－
【解析】
【分析】
由已知条件和角的范围，求得sin α＝－，再运用余弦的差角公式可求得答案.
【详解】由已知得cs α＝，sin α＝－，
所以cs(α－)＝cs α＋sin α＝－.
故答案为：－.
【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，余弦的差角公式，属于基础题.
14. 在边长为2的正方形，ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM＋DN＝MN，则的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意，以点A为原点，建立的平面直角坐标系，设点，其中，则向量求得，再由，整理得，利用基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，以点A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
设点，其中，则向量，
所以
又由，则，
整理得，
又由，
设，整理得，解得，
所以，所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中建立空间直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，，且，．
（1）求向量、；
（2）若，，求向量，的夹角的大小.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求，，进而可求；
（2）设向量，的夹角的大小为．先求出，，然后结合向量夹角的坐标公式可求．
【小问1详解】
解：因为，，，且，，
所以，，
所以，，
所以，；
【小问2详解】
解：设向量，的夹角的大小为．
由题意可得，，，
所以，
因为，所以．
16. 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求csβ的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .
【解析】
【分析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.
【详解】详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
点睛：三角函数求值的两种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
17. 如图，已知等腰梯形，，，，.点满足，点在上，满足交于，设，.
（1）用，表示，并求的模；
（2）求的长.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）表达出，平方后求出答案；
（2）由垂直关系得到.
【小问1详解】
等腰梯形，，，，，，
，
为的中点，，
作，垂足为，因为，，
所以，又，所以，
，
；
【小问2详解】
，
又，
在中，
.
18. （1）已知均为钝角，且，求的值．
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1）;（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后计算出的取值范围，利用和差角公式的余弦公式求出的值，即可得出.
（2）利用同角三角函数基本关系求出的值，然后根据，利用和差角公式的余弦公式求出的值，即可得出.
【详解】（1）由题意可知，所以，
所以，
所以，
所以，
（2）由得，，
所以，
，
，
所以
19. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且．
（1）求的值；
（2）若为线段上任意一点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值；
（2）设，其中，求出向量、的坐标，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【小问1详解】
解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，
则、、、，
因为，，，
所以，所以，所以点，
设，则，，
因为，所以，解得，
所以，，则．
【小问2详解】
解：由（1）知，，设，其中，
则，
所以，
因为，故当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
故的取值范围为．