江苏省徐州市九里中学2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试题（含解析）

这是一份江苏省徐州市九里中学2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）
A．10种B．20种C．25种D．32种
2．函数的导函数（ ）
A．B．C．D．
3．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数在区间上单调递减
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极大值
4．已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．函数的图象如图所示，且是的导函数，记，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．若函数在内无极值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．设，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题正确的是（ ）
A．
B．已知函数在R上可导，且，则
C．若函数都是可导函数，，则
D．一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在t＝2s时的瞬时速度是4m/s
10．函数满足，则正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（多选）如果函数对定义域内的任意两实数（）都有，则称函数为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 (结果用数值表示).
13．函数在区间上的最大值为
14．若函数在上是增函数，求实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？
(1)三位数；
(2)三位数的偶数．
16．已知函数，x∈R．
(1)过点做曲线的切线，求切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值．
17．已知函数在处有极大值.
(1)求实数的值；
(2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.
18．已知函数 fx=lnx+ax(a 为常数 ) ．
1 讨论函数 fx 的单调性；
2 不等式 fx＞1 在 x∈12,3 上恒成立，求实数 a 的最小整数值．
19．已知函数．
(1)当时，求的单调增区间；
(2)证明：当时，．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.
故选D.
2．【答案】B
【详解】由得，
故选B.
3．【答案】A
【分析】根据函数的单调性和导数值的正负的关系，可判断A、B；根据函数的极值点和导数的关系可判断C,D的结论．
【详解】在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确；
在区间上，故函数在区间上单调递增，故B错误；
当时，，可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故C错误；
当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数在处取得极小值，故D错误，
故选A.
4．【答案】C
【详解】由题可得，
∴，
，
将代入，得，
∴.
故选C．
5．【答案】B
【详解】设点
则可以把看成两点的斜率，
把看成曲线在点的切线斜率，
把看成曲线在点的切线斜率，
再作出图形进行数形结合分析：
由图可得，
即.
故选B.
6．【答案】C
【详解】因为在区间上单调递增，
所以，即在上恒成立，
令且，则，即在上单调递增，
所以，故.
故选C.
7．【答案】C
【详解】由函数在内无极值，得在内无变号零点，
而函数在上单调递增，则或，解得或，
所以实数a的取值范围是.
故选：C.
8．【答案】B
【详解】设，（），则.
令得，所以函数在区间单调递增.
因为，所以，
即，即，所以．
故选B.
9．【答案】BCD
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，由导数运算法则知，C正确.
对于D，由，求导得，因此质点在t＝2s时的瞬时速度是4m/s，D正确.
故选.
10．【答案】AC
【详解】依题意，令函数，求导得，函数在R上递减，
对于A，，，则，A正确；
对于B，，，则，B错误；
对于C，，，则，C正确；
对于D，，，则，D错误.
故选AC.
11．【答案】ACD
【详解】令，对于定义域上的任意，当，恒有，
即，可得函数在定义域内是单调递增函数，称函数为“F函数”．
对于A，，，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
不符合在定义域内是单调递增函数，则函数不是“F函数”．故A正确；
对于B，，，，
所以单调递增函数，则函数是“F函数”．故B错误；
对于C，，，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
不符合在定义域内是单调递增函数，则函数不是“F函数”．故C正确；
对于D，，，，
当时，，单调递减，不符合在定义域内是单调递增函数，
则函数不是“F函数”．故D正确.
故选ACD.
12．【答案】24
【详解】4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为.
13．【答案】
【详解】因为，所以为偶函数，
当时，，.
易知当时，，，则，
所以在上单调递增，所以在上的最大值为，
根据偶函数的性质可知，函数在区间上的最大值为.
14．【答案】
【详解】由已知在上恒成立，
即在上恒成立，设，
则，
所以当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，
所以.
15．【答案】(1)24
(2)12
【详解】（1）三位数有三个数位，故可分三个步骤完成：
第1步，排个位，从1，2，3，4中选1个数字，有4种方法；
第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；
第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理， 共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．
（2）分三个步骤完成：
第1步，排个位，从2，4中选1个，有2种方法；
第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；
第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．
故共有2×3×2＝12个三位数的偶数．
16．【答案】(1)；
(2)最大值是，最小值是1.
【详解】（1）函数，求导得，设过点的曲线的切线切点为，
而点不在曲线上，则，解得，
因此，，切线方程为，
所以所求切线方程为.
（2）当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
则，又，，
所以函数在区间上的最大值是，最小值是1.
17．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由函数，求导可得，
由函数在处取极大值，则，解得或，
当时，可得，
易知当时，；当时，，
则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去；
当时，可得，
易知当时，；当时，，
则此时函数在处取得极大值，符合题意.
综上所述，；
（2）由（1）可得函数，求导可得，
令，解得或，可得下表：
所以函数的极大值为，极小值为，
函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点，
如下图：
由图可得，则.
18．【答案】1当 a⩽0 时， fx 在 0,+∞ 上单调递增，当 a＞0 时，
fx 在 a,+∞ 上单调递增，在 0,a 上单调递减； 2 2.
【详解】1由题可得，f'x=1x−ax2=x−ax2 ， x∈0,+∞ ，
当 a⩽0 时， f'x＞0 ， fx 在 0,+∞ 上单调递增，
当 a＞0 时，令 f'x=0 ，解得 x=a ，
若 x＞a ， f'x＞0 ，故 fx 在 a,+∞ 上单调递增，
若 0＜x＜a ， f'x＜0 ， 故 fx 在 0,a 上单调递减，
综上，当 a⩽0 时， fx 在 0,+∞ 上单调递增，
当 a＞0 时， fx 在 a,+∞ 上单调递增，在 0,a 上单调递减.
2因为 fx＞1 在 x∈12,3 上恒成立，等价于 lnx+ax＞1 在 x∈12,3 上恒成立，即 a＞x−xlnx ， x∈12,3 ，
令 gx=x−xlnx ， x∈12,3 ，
则 g'x=−lnx ，
当 x∈12,1 时， g'x＞0 ， gx 单调递增，
当 x∈1,3 时， g'x＜0 ， gx 单调递减，
所以 gxmax=gx极大值=g1=1 ，
所以 a＞1 ，
故实数 a 的最小整数值是 2 ．
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）的定义域为，
当时，，则，解得，
当时，，故在单调递减；
当时，，故在单调递增，
故的单调增区间为．
（2）由，解得，
当时，，故在单调递减；
当时，，故在单调递增；
故，
设，
则，解得，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以，即，
所以，当时等号成立，
又，当时等号成立，
故，得证．
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增